趙博強(qiáng)，李 永，周 成，王 戈，王寶軍，叢云天

(北京控制工程研究所，北京 100094)

0 引言

磁等離子體動(dòng)力推力器(Magnetoplasmadynamic thruster,MPDT)利用大電流電離推進(jìn)劑并注入能量，利用磁場(chǎng)和電場(chǎng)來(lái)加速等離子體而產(chǎn)生推力。MPDT屬于電推進(jìn)家族中的電磁推進(jìn)，與靜電推進(jìn)相比，能夠更容易做到大推力和大功率，并且效率更高。由國(guó)內(nèi)外已發(fā)表的研究成果可知，MPDT的功率可達(dá)2 kW～11 MW，比沖范圍2000～11 000 s，效率可達(dá)30%～70%。

目前，開(kāi)展MPDT研究的機(jī)構(gòu)有美國(guó)普林斯頓大學(xué)、NASA格倫研究中心、蘇聯(lián)能源設(shè)計(jì)局、火炬設(shè)計(jì)局等。這些單位開(kāi)展了最大功率達(dá)數(shù)兆瓦的大功率MPD推力器研究[1]。但迄今為止，附加場(chǎng)磁等離子體推力器并沒(méi)有達(dá)到令人滿意的效率和比沖。研究認(rèn)為，這是由于兩個(gè)方面的原因：附加磁場(chǎng)的均勻程度、形狀、強(qiáng)度都沒(méi)達(dá)到推力器最佳工作的參數(shù)；等離子體在推力器中的加速機(jī)制和損耗機(jī)制并未完全掌握。其中，加速機(jī)理是制約推力器研究最重要的一方面。

磁等離子體動(dòng)理推力器的推力理論目前還不成熟，相關(guān)的推力產(chǎn)生機(jī)理還不明確。針對(duì)推力器的試驗(yàn)結(jié)果有一些經(jīng)驗(yàn)、半經(jīng)驗(yàn)公式。FRADKIN，MYERS等[2-3]分別提出了基于經(jīng)驗(yàn)的推力公式。MIKELLIDES等[4-5]基于磁流體力學(xué)方程推導(dǎo)了推力器的仿真程序，利用MACH2代碼仿真了推力器。結(jié)果表明，利用磁流體方法可較好地仿真出推力器的工作狀況。雖然目前根據(jù)經(jīng)驗(yàn)和實(shí)驗(yàn)總結(jié)出的公式在一定情況下能夠和實(shí)驗(yàn)結(jié)果相吻合，但并不能完全準(zhǔn)確地描述推力器的工作情況。同時(shí)，經(jīng)驗(yàn)公式不能反映推力器內(nèi)部的加速機(jī)制，還需要進(jìn)一步利用等離子體理論推導(dǎo)。文獻(xiàn)[6]和文獻(xiàn)[7]中，提出了一些利用磁流體和粒子模擬方法進(jìn)行等離子體仿真的工作。文獻(xiàn)[6]利用磁流體方程，對(duì)NASA的100 kW推力器進(jìn)行了仿真，提出了一種基于密度的中心迎風(fēng)求解格式，取得了不錯(cuò)的效果。文獻(xiàn)[7]利用PIC/MCC方法，對(duì)自身場(chǎng)的推力器放電情況進(jìn)行了研究。從上述文獻(xiàn)可看出，目前MPD的仿真研究主要集中在推力器的幾何尺寸與推力的關(guān)系，以及數(shù)值求解方法的研究上，而就磁場(chǎng)對(duì)等離子體的研究較少?，F(xiàn)階段推力器中磁場(chǎng)強(qiáng)度不是很高，仿真磁場(chǎng)對(duì)推力器的影響還不多。隨著超導(dǎo)型磁等離子體推力器的出現(xiàn)，超導(dǎo)線圈極大地提高了附加磁場(chǎng)的強(qiáng)度[8]。研究附加磁場(chǎng)對(duì)推力器的影響就變得更加重要。

本文利用磁流體方程組，對(duì)磁等離子體動(dòng)力推力器進(jìn)行建模，提出了等離子體在磁場(chǎng)中電導(dǎo)率各向異性的建模方法，利用電導(dǎo)率模型，將磁場(chǎng)和等離子體耦合起來(lái)，從而對(duì)不同強(qiáng)度磁環(huán)境下的推力器進(jìn)行仿真。

1 等離子體物理理論

分析等離子體主要有兩種方法：磁流體方法和動(dòng)理學(xué)方法[9]。由于磁等離子體推力器中等離子體濃度極大，滿足磁流體方程連續(xù)性假設(shè)。磁流體方程組由連續(xù)性方程、動(dòng)量方程、能量方程和麥克斯韋方程組和歐姆定律組成[10]。

連續(xù)性方程形式如下：

(1)

式中ρ為等離子體的密度，ρ=∑Nm;N和m分別為粒子的數(shù)密度和粒子的質(zhì)量；V為等離子體的速度矢量。

對(duì)于MPDT而言，假設(shè)在工作中推進(jìn)劑完全電離，在計(jì)算中需要考慮離子和電子兩種成分，對(duì)每一種成分都需要一個(gè)方程來(lái)對(duì)應(yīng)。

根據(jù)文獻(xiàn)[11]中記載，在距離陰極出口幾毫米地方的等離子體就已經(jīng)完全電離，且在文獻(xiàn)中觀察到等離子體電離率也遠(yuǎn)大于Saha方程計(jì)算結(jié)果[11]。本文的仿真區(qū)域中等離子體電離度很高，仿真時(shí)為了簡(jiǎn)化計(jì)算，忽略了推進(jìn)劑電離過(guò)程，認(rèn)為等離子體已經(jīng)完全電離。

動(dòng)量方程形式如下：

(2)

式中I為單位張量；p為壓力；τ為粘性應(yīng)力張量。

能量方程形式如下：

(3)

在不考慮多種組分的情況下，上述方程組包含5個(gè)方程、6個(gè)物理量，分別是ρ、V、T和p。為使方程組閉合，還需要補(bǔ)充等離子體的狀態(tài)方程。假設(shè)等離子體為理想氣體，那么狀態(tài)方程可表示為

p=p(ρ,T)=2NkT

對(duì)于單流體模型，假設(shè)離子溫度和電子溫度相同，雙流體模型認(rèn)為離子和電子處于不同的溫度。

在等離子體中，電磁場(chǎng)由麥克斯韋方程組來(lái)計(jì)算：

式中ρq為電荷密度；E和B分別為電場(chǎng)矢量和磁場(chǎng)矢量；J為電流密度矢量，由歐姆定律給出。

J=σ(E+u×B)+ρqu

(4)

而電磁場(chǎng)對(duì)流體的作用力根據(jù)洛倫茲力公式計(jì)算：

F=ρqE+J×B

(5)

2 磁化等離子體的電導(dǎo)率

當(dāng)一個(gè)離子和一個(gè)電子碰撞時(shí)，認(rèn)為離子和電子之間只存在庫(kù)侖力作用，假設(shè)離子使得電子運(yùn)動(dòng)方向偏轉(zhuǎn)90°時(shí)，認(rèn)為離子和電子發(fā)生了碰撞，離子和電子之間的庫(kù)侖力為

(6)

式中r0為碰撞截面半徑。

假設(shè)電子和離子之間是圓周運(yùn)動(dòng)，電子大約偏轉(zhuǎn)1/4個(gè)圓周，整個(gè)過(guò)程運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

碰撞截面為

(7)

電子和離子碰撞頻率為

(8)

等離子體的電阻率為

(9)

以上方程都是基于大角碰撞產(chǎn)生的電阻率。實(shí)際上，由于庫(kù)侖力是長(zhǎng)程力，小角碰撞可能更加頻繁。斯必澤證明，方程應(yīng)乘上一個(gè)修正因子[10]。

(10)

(11)

對(duì)于麥克斯韋分布的電子，可用KT/m來(lái)代替v2，因此有

(12)

(13)

根據(jù)以往的試驗(yàn)和文獻(xiàn)結(jié)果，lnΛ是一個(gè)和電子溫度和濃度有關(guān)的物理量，在電子溫度和濃度變化范圍很大時(shí)，lnΛ變化范圍比較小。因此，這里為了計(jì)算方便，假設(shè)lnΛ=10，對(duì)于MPDT中的等離子體，這個(gè)結(jié)果認(rèn)為足夠精確[10,12]。同時(shí)，MPDT中等離子體電子溫度KT≈4 eV可計(jì)算得到，等離子體碰撞頻率約為4.4×107s-1，等離子體的電阻率為5.284 4×10-5Ω·m。

上面公式為傳統(tǒng)的無(wú)磁場(chǎng)條件下等離子體的電導(dǎo)率，在存在磁場(chǎng)的情況下[12]，等離子體電導(dǎo)率為

(14)

其中

2.1 在弱磁場(chǎng)條件下ωce τ≤1

在弱磁場(chǎng)下垂直方向的電導(dǎo)率為

(15)

其中

霍爾電導(dǎo)率為

(16)

其中

平行磁場(chǎng)方向電導(dǎo)率為

σ‖=σ

(17)

(18)

2.2 在強(qiáng)磁場(chǎng)條件下ωce τ≥1

在強(qiáng)磁場(chǎng)下垂直方向的電導(dǎo)率為

(19)

其中

lnΛ3=lnΛ(ve3)

霍爾電導(dǎo)率為

(20)

式中c為光速。

平行磁場(chǎng)方向電導(dǎo)率為

σ‖=σ

(21)

3 AF-MPDT仿真方程組

磁等離子體推力器的仿真環(huán)境在低真空下進(jìn)行，仿真時(shí)，電子和離子溫度不相同。因此，利用雙流體MHD方程組，對(duì)MPDT進(jìn)行仿真[13-16]。

首先是電子和離子的質(zhì)量守恒方程組：

(22)

(23)

式中ne和ni分別為電子和離子的密度；ue和ui分別為電子和離子的速度；m和M分別為電子和離子的質(zhì)量。

MPDT工作條件是低真空情況下，且在推力器放電腔體內(nèi)推進(jìn)劑完全電離，假設(shè)在仿真區(qū)域內(nèi)部為完全電離等離子體，只存在電子和離子。因此，連續(xù)性方程有兩個(gè)。

電子和離子的質(zhì)量守恒方程組為

(24)

(25)

式中Mei為電子離子動(dòng)量交換項(xiàng)。

式中νei為電子離子碰撞頻率。

電子和離子的能量守恒方程組為

(26)

(27)

其中

4 仿真

推力器模型如圖 1所示。其中，左上角不規(guī)則區(qū)域?yàn)橥屏ζ鞣烹娗缓陀鹆鲄^(qū)，深入放電腔的為陰極，放電腔左邊壁為陽(yáng)極。右側(cè)矩形區(qū)域?yàn)榇啪€圈。剩余部分為仿真空間中磁場(chǎng)的自由空間。

圖1 磁等離子體動(dòng)力推力器模型

由于磁流體方程組是非線性的方程組，無(wú)法求解方程組的解析解，且在強(qiáng)磁場(chǎng)、高密度等離子體中，等離子體狀態(tài)變化非常劇烈。因此，需要使用高分辨率的求解格式來(lái)對(duì)方程組進(jìn)行數(shù)值求解[17-20]。

下面是對(duì)推力器不同工作情況下的仿真分析。工作條件為推進(jìn)劑質(zhì)量流量40 mg/s，工作電流320 A，中心磁場(chǎng)強(qiáng)度為1.54 T，仿真得到的工作電壓236 V，離子速度約為46 800 m/s，計(jì)算得到推力約為1.87 N，功率約為75.5 kW。計(jì)算結(jié)果如圖2所示。

(a)Ion velocity under central magnetic field strength 1.54 T (b)Current density at 1.54 T for central magnetic field strength

推進(jìn)劑質(zhì)量流量40 mg/s，工作電流320 A，中心磁場(chǎng)強(qiáng)度為0.66 T，仿真得到的工作電壓160 V，離子速度約為43 000 m/s，計(jì)算得到推力約為1.72 N，功率約為51.2 kW。計(jì)算結(jié)果如圖3所示。

(a)Ion velocity under central magnetic field strength 0.66 T (b)Current density at 0.66 T for central magnetic field strength

推進(jìn)劑質(zhì)量流量40 mg/s，工作電流320 A，中心磁場(chǎng)強(qiáng)度為0.53 T，仿真得到的工作電壓152 V，離子速度約為42 000 m/s，計(jì)算得到推力約為1.68 N，功率約為48.6 kW。計(jì)算結(jié)果如圖4所示。

(a)Ion velocity under central magnetic field strength 0.53 T (b)Current density at 0.53 T for central magnetic field strength

推進(jìn)劑質(zhì)量流量40 mg/s，工作電流320 A，中心磁場(chǎng)強(qiáng)度為0.2 T，仿真得到的工作電壓120 V，離子速度約為34 000 m/s，計(jì)算得到推力約為1.36 N，功率約為38 kW。計(jì)算結(jié)果如圖5所示。

(a)Ion velocity under central magnetic field strength 0.2 T (b)Current density at 0.2 T for central magnetic field strength

仿真模擬了在恒定電流的情況下，通過(guò)調(diào)節(jié)推力器的附加磁場(chǎng)強(qiáng)度，得到不同工況下推力器參數(shù)。仿真了中心磁場(chǎng)1.54、0.53、0.66、0.2 T情況下推力器的工作情況。表1為仿真結(jié)果的匯總。

表1 仿真結(jié)果

根據(jù)理論分析[21-22]，在磁場(chǎng)中，等離子體電導(dǎo)率出現(xiàn)各項(xiàng)異性，在推力器的軸向方向上電導(dǎo)率最大，電子和離子主要集中朝這個(gè)方向運(yùn)動(dòng)。

通過(guò)仿真可看出，在電流恒定的情況下，增強(qiáng)磁場(chǎng)，可使得電壓增大，推力器工作的總功率增加，比沖和推力都增加。隨著磁場(chǎng)強(qiáng)度的增加，推力器的效率會(huì)隨著磁場(chǎng)的增加，先升高、再降低，說(shuō)明磁場(chǎng)在0.6 T附近是當(dāng)前推力器最好的磁場(chǎng)強(qiáng)度范圍，適當(dāng)?shù)拇艌?chǎng)能夠提高能量注入的效率，低強(qiáng)度的磁場(chǎng)不能很好地約束等離子體，而過(guò)強(qiáng)的等離子體會(huì)導(dǎo)致等離子體電阻過(guò)大，能量損耗過(guò)大，也會(huì)導(dǎo)致效率降低。因此，磁場(chǎng)強(qiáng)度還需要和推力器尺寸相匹配，才能得到更好的效果。

根據(jù)理論和實(shí)驗(yàn)仿真還可推斷出，在電壓恒定的情況下提高磁場(chǎng)，可使推力器的電流密度降低，功率下降，等離子體獲得的能量降低，但等離子體仍能保持較高的比沖，且電流降低可減少在熱量在推力器總的產(chǎn)生，可減小陰極的燒蝕，并減輕電源的工作負(fù)擔(dān)，對(duì)提高推力器的工作壽命和可靠性都有好處。

5 結(jié)論

本文通過(guò)磁流體力學(xué)方程組和等離子體理論，對(duì)磁等離子體推力器的磁流體模型進(jìn)行推導(dǎo)，通過(guò)磁化等離子體電導(dǎo)率模型，將磁場(chǎng)和等離子體耦合起來(lái)，建立了在不同強(qiáng)度磁場(chǎng)環(huán)境下的磁流體模型，并對(duì)該模型進(jìn)行了仿真。

通過(guò)仿真結(jié)果可看出，推力器比沖和電壓隨著磁場(chǎng)的增加而增加，這個(gè)結(jié)論和文獻(xiàn)中是相符的。通過(guò)對(duì)推力器加速機(jī)理進(jìn)行了分析，認(rèn)為由于磁場(chǎng)導(dǎo)致等離子體電阻率增加，導(dǎo)致了更多的能量注入，且磁場(chǎng)對(duì)等離子體運(yùn)動(dòng)有約束作用，使得更多的等離子體沿著軸向噴出，從而提高了推力器的比沖和功率。在磁場(chǎng)增強(qiáng)之后，導(dǎo)致效率降低的問(wèn)題還需要進(jìn)一步的研究。

本文利用磁流體模型和電導(dǎo)率模型，對(duì)磁等離子體動(dòng)力從理論上初步分析了磁場(chǎng)對(duì)推力器的影響，在工程上可為推力器的設(shè)計(jì)提供進(jìn)一步的仿真依據(jù)，為以后的推力器設(shè)計(jì)和優(yōu)化提供參考。