夏夢頤，王應(yīng)明

(福州大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院 福建 福州 350116)

0 引言

在對模糊集理論[1]進(jìn)行深入研究后，Atanassov[2]提出了直覺模糊集(intuitionistic fuzzy set，IFS)概念，定義了隸屬度、非隸屬度和猶豫度來描述客觀事物的模糊性和不確定性，為直覺模糊集理論的形成奠定了堅實(shí)的基礎(chǔ)。因直覺模糊集具有良好的包容性及表達(dá)性，所以被廣泛應(yīng)用于多屬性決策領(lǐng)域，例如航空軍貿(mào)、應(yīng)急決策、醫(yī)療診斷、人力資源等[3-6]。

直覺模糊多屬性決策問題中，屬性權(quán)重對決策結(jié)果具有重大影響，其分配可分為兩類情況。一是權(quán)重完全已知的情況，即屬性權(quán)重是決策者主觀給出的：梅曉玲[7]構(gòu)造新的記分函數(shù)并引入相似度概念，利用已知權(quán)重對動態(tài)直覺模糊決策問題中的方案進(jìn)行加權(quán)集成并排序；李磊等[8]依據(jù)最小化最大妥協(xié)度的決策準(zhǔn)則，考慮含有決策主體權(quán)重的決策情景，給出個體偏好值的集結(jié)算法及決策方法。二是權(quán)重部分未知或完全未知的情況：汪峰等[9]給出了一種改進(jìn)的直覺模糊熵定義，通過建立非線性規(guī)劃模型得到屬性權(quán)重并利用協(xié)相關(guān)度對方案進(jìn)行排序；張洋銘等[10]采用投影法和直覺模糊熵確定權(quán)重信息，然后運(yùn)用直覺模糊物元多屬性決策方法進(jìn)行實(shí)例分析。而在現(xiàn)實(shí)情況中，決策問題往往伴隨著決策者的主觀偏好和決策問題的客觀條件，若單獨(dú)考慮一方來確定屬性權(quán)重分配，會使決策結(jié)果較為片面，不符合實(shí)際情況。

在決策信息集結(jié)方面，采用層次分析法、理想點(diǎn)法、選擇法等方法處理直覺模糊決策信息存在一定的局限性，容易造成決策信息部分流失的問題。證據(jù)推理是由Yang等[11]在證據(jù)理論的基礎(chǔ)上提出的一種融合不確定信息的方法。因其能夠很好保留整體決策信息的特點(diǎn)，在直覺模糊多屬性決策領(lǐng)域被廣泛運(yùn)用。包甜甜等[12]通過直覺模糊集統(tǒng)一不同類型的屬性值，提出了一種基于前景理論和證據(jù)推理的混合多屬性決策方法；代文鋒等[13]將證據(jù)推理方法運(yùn)用于直覺模糊多屬性群決策問題，彌補(bǔ)了現(xiàn)有直覺模糊信息融合的不足；劉文清等[14]在對不完全信息進(jìn)行補(bǔ)缺后，運(yùn)用證據(jù)推理方法融合直覺模糊決策信息，選擇最優(yōu)方案。

綜上所述，本文將在綜合考慮屬性客觀性和決策者主觀性的前提下，提出一種新的權(quán)重優(yōu)化公式，對屬性權(quán)重進(jìn)行優(yōu)化分配，使權(quán)重值更符合實(shí)際情況。其次，利用證據(jù)推理方法集結(jié)不確定性決策信息，再通過新的記分函數(shù)對方案進(jìn)行排序。最后，用算例對比分析本文方法的可行性。

1 預(yù)備知識

1.1 直覺模糊集

直覺模糊集由模糊集發(fā)展而來，是模糊集發(fā)展的一個分支，能夠很好地描述不確定信息。

定義1[2]假設(shè)直覺模糊集α={〈x,μα(x),να(x)〉|x∈Φ}，該式的含義可表述為非空集合Φ中有元素x屬于α，且其隸屬度為μα(x)，非隸屬度為να(x)，猶豫度為πα(x)=1-μα(x)-να(x)，其中μα:Φ→[0,1],να:Φ→[0,1]，且必須滿足0≤μα(x)+να(x)≤1,?x∈Φ。μα(x)和να(x)組成的有序?qū)?μα(x),να(x))稱為直覺模糊數(shù)。

定義2[1]設(shè)α={〈x,μα(x),να(x)〉，x∈Φ}，β={〈x,μβ(x),νβ(x)〉，x∈Φ}是兩個直覺模糊集，若μα(x)≥μβ(x)，να(x)≤νβ(x)，則α≥β，當(dāng)且僅當(dāng)μα(x)=μβ(x)，να(x)=νβ(x)時，α=β。

1.2 證據(jù)推理

證據(jù)推理由證據(jù)理論發(fā)展而來，克服了證據(jù)理論中存在的悖論現(xiàn)象，能夠較好融合各類不確定信息并盡可能保留決策信息不流失，被廣泛應(yīng)用于多屬性決策領(lǐng)域。

定義4[16]證據(jù)推理法中，設(shè)有n個評價等級構(gòu)成辨識框架Θ，記為Θ={Hn，n=1,2,…,N}；各個屬性是決策問題方案集中的證據(jù)，記為ei(i=1,2,…,I)。則證據(jù)ei的評價結(jié)果可以表示為

S(ei)={(Hn,βn,i),n=1,2,…,N},i=1,2,…,I，

(1)

2 問題描述

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3 決策方法

3.1 基于直覺模糊熵和相似度的屬性權(quán)重優(yōu)化

優(yōu)化權(quán)重需要考慮兩個部分，一是決策者主觀確定的權(quán)重，二是屬性自身客觀確定的權(quán)重。一般而言，主觀權(quán)重都是根據(jù)決策者經(jīng)驗或者環(huán)境條件直接給出的，而客觀權(quán)重由決策信息的具體情況決定。在直覺模糊數(shù)的背景下，可以通過直覺模糊熵和直覺模糊相似性兩方面來綜合考慮屬性的客觀權(quán)重。

直覺模糊熵是對直覺模糊集不確定性的定量描述，用以衡量直覺模糊集的模糊程度。直覺模糊熵越大，說明該直覺模糊集不確定程度越高。張毛銀等[17]對比分析了現(xiàn)有計算直覺模糊熵方法存在的不足，利用核概念來描述隸屬度與非隸屬度之間產(chǎn)生的偏差，再結(jié)合猶豫度提出了一種新的直覺模糊熵計算方法。

(3)

其中：ηj(Ai)=|μj(Ai)-νj(Ai)|表示直覺模糊數(shù)〈μj(Ai),νj(Ai)〉的核；πj(Ai)=1-μj(Ai)-νj(Ai)表示直覺模糊數(shù)〈μj(Ai),νj(Ai)〉的猶豫度。由此可以得出屬性Cj的直覺模糊熵為E(Cj)。

直覺模糊相似度是對兩個直覺模糊集相似性的定量描述，用以衡量直覺模糊集的相似程度。直覺模糊相似度越高，說明不同直覺模糊集越相似。Song等[18]對比發(fā)現(xiàn)已有的直覺模糊相似度測量方法會出現(xiàn)與直覺相反的結(jié)果，通過界定隸屬度與非隸屬度的上下界并結(jié)合猶豫度，提出了一種符合人們直覺判斷的新的直覺模糊相似度測量方法。

(4)

其中：α≠β，表示比較兩個不同屬性的相似度，所以某個特定屬性Cj的相似度需要將包含該屬性的相似度比較進(jìn)行結(jié)合，

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3.2 基于證據(jù)推理的直覺模糊信息融合

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(8)

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結(jié)合證據(jù)推理融合公式，將所有屬性對應(yīng)的決策信息進(jìn)行融合。

(12)

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故可得到方案Ai的評價結(jié)果，表示為S(Ai)={(Hq,βq,i),q=1,2}，其中不確定性表示為βH,i，

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將融合信息進(jìn)行整理得到方案Ai的直覺模糊數(shù)為〈μi,νi〉，其中：μi=β1,i；νi=β2,i。

3.3 基于新的記分函數(shù)的方案大小排序

直覺模糊數(shù)可以通過記分函數(shù)比較大小。在綜合考慮隸屬度、非隸屬度和猶豫度三者的情況下，本文引用了一種新的記分函數(shù)計算方法[19]，較為客觀合理地確定不同直覺模糊數(shù)的大小。記分函數(shù)越大，說明相應(yīng)的直覺模糊數(shù)越優(yōu)。

定義5[19]設(shè)任意直覺模糊集α={〈x,μα(x),να(x)〉|x∈Φ}，稱

(18)

為直覺模糊集的記分函數(shù)，其中：

H是直覺模糊交叉熵[20]，用來表示隸屬度和非隸屬度的交互情況。

將上述步驟得到的方案Ai的直覺模糊數(shù)為〈μi,νi〉，通過此方法得到相應(yīng)的記分函數(shù)φ(Ai)，比較大小，得出最優(yōu)方案。

通過上述方法，本文的決策流程為步驟1～4。

步驟1運(yùn)用公式(3)～(5)，分別計算出屬性Cj直覺模糊熵E(Cj)和直覺模糊相似度T(Cj)。

步驟3將直覺模糊數(shù)與證據(jù)推理模型相結(jié)合，運(yùn)用公式(7)～(17)對不同屬性的決策信息進(jìn)行融合，得到方案Ai的直覺模糊數(shù)為〈μi,νi〉。

步驟4運(yùn)用直覺模糊數(shù)的記分函數(shù)φ(α)確定方案Ai的大小，通過排序選出最優(yōu)方案。

4 算例分析

假設(shè)某作戰(zhàn)隊伍需要購買一批武器進(jìn)行戰(zhàn)斗，有3家武器供應(yīng)商提供了相應(yīng)的武器方案Ai，i=1,2,3。武器購買專家主要從3個方面考察武器方案的優(yōu)越性：突擊能力C1、反應(yīng)能力C2、機(jī)動能力C3，均用直覺模糊數(shù)表示考察結(jié)果。專家A1的考察結(jié)果分別為C1=<0.5,0.3>，C2=<0.6,0.2>，C3=<0.5,0.1>；專家A2的考察結(jié)果分別為C1=<0.6,0.1>，C2=<0.5,0.4>，C3=<0.5,0.3>；專家A3的考察結(jié)果分別為C1=<0.7,0.2>，C2=<0.6,0.2>，C3=<0.5,0.2>。其中，專家給出各屬性權(quán)重為ω=(0.3,0.3,0.4)。

步驟1對屬性權(quán)重進(jìn)行優(yōu)化，結(jié)合公式(3)～(5)，先后計算出各屬性的直覺模糊熵E(Cj)，E(C1)=0.446，E(C2)=0.510，E(C3)=0.546；直覺模糊相似度T(Cj)，T(C1)=0.978，T(C2)=0.986，T(C3)=0.985。

步驟3利用證據(jù)推理對各個方案中的不同屬性的評價信息進(jìn)行融合，根據(jù)公式(7)～(17)計算得出各個方案的綜合評價，A1=〈0.595,0.193〉，A2=〈0.542,0.312〉，A3=〈0.616,0.239〉。

步驟4根據(jù)定義4給出的記分函數(shù)運(yùn)算方法，計算出各個方案的記分函數(shù)，進(jìn)行排序比較，選出最具有優(yōu)越性的方案。解得，φ(A1)=1.469，φ(A2)=1.239，φ(A3)=1.450，A1?A3?A2，故A1方案最優(yōu)。

結(jié)合專家給出各屬性權(quán)重為ω=(0.3,0.3,0.4)，利用文獻(xiàn)[14]的方法，得到三種方案的直覺模糊評價分別為A1=〈0.592,0.184〉，A2=〈0.577,0.266〉，A3=〈0.648,0.186〉，最后通過貼近度計算得到C(A1)=0.667，C(A2)=0.634，C(A3)=0.698，又因為貼近度越大，方案越優(yōu)，故A3方案最優(yōu)。

兩種方法的比較如表1所示。

表1 文獻(xiàn)[14]方法與本文方法結(jié)果對比

經(jīng)過對比，發(fā)現(xiàn)本文方法得到結(jié)果與文獻(xiàn)[14]方法得到結(jié)果存在差異，其主要原因有兩點(diǎn)：一是文獻(xiàn)[14]沒有考慮權(quán)重的客觀性，而是直接采用了文中的主觀權(quán)重進(jìn)行證據(jù)推理計算，使得運(yùn)算結(jié)果出現(xiàn)偏差；二是文獻(xiàn)[14]的方案排序方法是比較直覺模糊數(shù)的貼近度，其計算公式中缺少對直覺模糊數(shù)猶豫度的考量，無法表現(xiàn)排序的全面性，使得排序結(jié)果出現(xiàn)偏差。綜上所述，本文方法從權(quán)重和排序兩方面對解決直覺模糊多屬性決策問題進(jìn)行優(yōu)化，所選方案更符合實(shí)際需求，更為客觀合理。

5 結(jié)論

因直覺模糊集的兼容性，可以把不同類型的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為直覺模糊數(shù)且不出現(xiàn)信息缺失的情況，所以直覺模糊多屬性決策問題涵蓋范圍很廣。本文提出了一種基于直覺模糊數(shù)和證據(jù)推理的多屬性決策方法。該方法將直覺模糊熵、直覺模糊相似度以及主觀權(quán)重相結(jié)合，通過熵權(quán)法優(yōu)化修正屬性權(quán)重，使各屬性權(quán)重分配更為合理。其次，利用證據(jù)推理方法融合直覺模糊信息，避免信息缺失的情況。最后，引入一種新的記分函數(shù)，綜合考慮方案的隸屬度、非隸屬度和猶豫度對方案進(jìn)行排序，選擇出最優(yōu)方案。算例驗證了本文方法的可行性，通過與其他方法的對比凸顯了本文方法的優(yōu)越性，在直覺模糊多屬性決策領(lǐng)域具有一定的應(yīng)用價值。