項海圓

摘 要 人民教育出版社依據(jù)2017年版普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)出版了2020版高中數(shù)學(xué)新教材，對數(shù)列內(nèi)容進(jìn)行了刪減和補充，本文通過文本內(nèi)容、組織結(jié)構(gòu)、例題和習(xí)題難度三個方面對新、舊教材進(jìn)行對比分析，揭示數(shù)列內(nèi)容變化的差異，希望為教科書的改革提供參照。以古為鏡，經(jīng)世致用。

關(guān)鍵詞 數(shù)列 教材 比較研究

中圖分類號：G423.3? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A? DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2021.02.070

A Comparative Analysis of the New and Old Versions of High School Mathematics Textbooks from the Perspective of the New Curriculum Standards

——Take the humanist series as an example

XIANG Haiyuan

（College of Mathematics， Yunnan Normal University， Kunming， Yunnan 650500）

Abstract The People's Education Press published the 2020 edition of the New High School Math Textbook， which is based on the 2017 edition of the General High School math curriculum standards， this paper makes a comparative analysis of the new and old textbooks from three aspects： text content， organization structure， examples and difficulty of exercises， so as to reveal the differences in the changes of the contents of the sequence of numbers and to provide reference for the reform of textbooks. Take the ancient times as a mirror and apply it to the real world.

Keywords number series; textbooks; comparative research

0 引言

數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)——離散函數(shù)，是一種重要的數(shù)學(xué)模型。學(xué)習(xí)數(shù)列，不僅可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，還可以滲透素質(zhì)教育理念，使學(xué)生產(chǎn)生文化共鳴。伴隨基礎(chǔ)教育改革的深入，各出版社依據(jù)2017版普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（以下簡稱新課標(biāo)）下相繼出版了多個版本的數(shù)學(xué)教材，呈現(xiàn)出“百花齊放”的局面。不同版本的數(shù)學(xué)教材在數(shù)列的編寫上就會呈現(xiàn)出不同的特色和教學(xué)要求，老師也就會根據(jù)教科書的內(nèi)容合理安排教學(xué)。

本文選取2020年人教版（A版）選擇性必修第二冊第四章（簡稱新教材）和2007年人教版（A版）普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗教科書必修五第二章（簡稱舊教材）作為研究對象，主要從文本內(nèi)容、組織結(jié)構(gòu)、例題和習(xí)題難度的變化三方面展開。通過回顧和梳理新舊人教版高中數(shù)學(xué)數(shù)列內(nèi)容的差異，歸納其變化的特點及經(jīng)驗，期望對未來數(shù)學(xué)教科書數(shù)列內(nèi)容的變革有借鑒價值。

1 文本內(nèi)容的分析

1.1 新舊教材的宏觀分析

高中階段數(shù)列的學(xué)習(xí)主要是通過對等差數(shù)列和等比數(shù)列概念和性質(zhì)的研究，感受數(shù)學(xué)模型的現(xiàn)實意義與應(yīng)用，感受數(shù)列與函數(shù)的共性與差異，體會數(shù)學(xué)的整體性。[1]對比新教材和舊教材，可以發(fā)現(xiàn)，新教材在內(nèi)容上把數(shù)學(xué)歸納法編成單獨的一節(jié)作為選學(xué)內(nèi)容（不做考試要求）、課本上的例題與習(xí)題的數(shù)量上有所增加外，在知識點方面大同小異。兩者都是先介紹數(shù)列來源于生產(chǎn)和生活的需要，然后學(xué)習(xí)數(shù)列的基本概念和表示方法，并研究兩類特殊的數(shù)列——等差數(shù)列和等比數(shù)列，最終在頭腦中建立起數(shù)學(xué)模型。這種編排順序引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)列的學(xué)習(xí)，符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律。雖然知識點上具有相似性，但是，新舊教材在編寫順序、知識容量、重視程度上有一定的不同。

1.2 新舊教材的編排順序分析

新教材把高中課程分為必修課程和選擇性必修課程，而數(shù)列內(nèi)容編排在選擇性必修第二冊第四章中，共分為4節(jié)內(nèi)容，包括“數(shù)列的概念、等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法（選學(xué)）”，而舊教材把高中數(shù)學(xué)課程分成模塊和專題，數(shù)列作為必修五第二章內(nèi)容。與新教材相比，它把等差數(shù)列和等比數(shù)列分別拆分成兩節(jié)，而且數(shù)學(xué)歸納法則放在推理與證明里。同時，新教材把數(shù)列的前項和概念由之前的在等差數(shù)列的前項和這一節(jié)中調(diào)到了數(shù)列的概念和表示方法這一節(jié)中。所以，新教材在綜合難度上是高于老教材的，它的知識點與體系更加集中，模塊之間分類更加清晰，更加注重知識的整體性和相對獨立性，對于學(xué)生編碼記憶和培養(yǎng)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)也是優(yōu)于老教材的。此外，新教材把“數(shù)學(xué)歸納法”單獨成一節(jié)作為選學(xué)內(nèi)容，考慮了不同水平學(xué)生的需求，這也落實了新課標(biāo)的“高中數(shù)學(xué)課程要具有選擇性，提供多樣的課程供學(xué)生自主選擇”基本理念。[1]

1.3 新舊教材內(nèi)容變動分析

依據(jù)新課標(biāo)，新教材刪除了信息技術(shù)應(yīng)用和與程序框圖的聯(lián)系，筆者主要認(rèn)為，“算法初步”已經(jīng)從高中數(shù)學(xué)教材中刪去，那么數(shù)列內(nèi)容也必然做出相應(yīng)的調(diào)整;新教材也刪除了“擺動數(shù)列”的概念，擺動數(shù)列的相關(guān)知識很少，而且與高中數(shù)學(xué)其他知識也少有聯(lián)系，刪除該內(nèi)容，對學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)沒有什么影響。而把“數(shù)學(xué)歸納法”單獨成一節(jié)放在數(shù)列這一章中，作為選學(xué)內(nèi)容不做考試要求，數(shù)學(xué)歸納法是推理與證明中常見的證明方法，對培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)有著極大的推動作用，但是對于大部分學(xué)生來說，數(shù)學(xué)歸納法也是復(fù)雜難懂的?；诖?，將它列為選學(xué)內(nèi)容，讓不同水平的學(xué)生有選擇的學(xué)習(xí)，既照顧了學(xué)優(yōu)生對于數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練，也減輕了學(xué)困生的學(xué)習(xí)壓力，使數(shù)學(xué)課程更加具有針對性。

新教材加強了對數(shù)學(xué)概念和表示、數(shù)列與函數(shù)的聯(lián)系的教學(xué)要求。新教材先是通過三個實際的例子引入數(shù)列的基本概念，然后回顧函數(shù)的相關(guān)知識，將數(shù)列定義為特殊的函數(shù)，然后類比函數(shù)，用三種方式來表示數(shù)列（表格、圖像、解析式），依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性給出遞增數(shù)列和遞減數(shù)列的定義，最后通過例題和習(xí)題引導(dǎo)給出遞推數(shù)列和數(shù)列的前項和的概念。這種方式突出了知識的基礎(chǔ)性，同時數(shù)列作為承上啟下的內(nèi)容，既加強了與函數(shù)的聯(lián)系，又為后面的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)，有利于學(xué)生對數(shù)列本質(zhì)屬性的把握，形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。而舊教材在數(shù)列的概念與表示這一節(jié)，在內(nèi)容素材上則顯得十分單薄，沒有新教材那么緊湊和充實。而且新教材數(shù)列與函數(shù)的聯(lián)系是貫穿整個數(shù)列這一章中，在每一節(jié)內(nèi)容中都突出強調(diào)了，以文字的形式敘述數(shù)列與函數(shù)的聯(lián)系，而舊教材把函數(shù)與數(shù)列的聯(lián)系是放在探究中的，需要同學(xué)自己歸納，并沒有直接敘述出來。

綜上，通過對比新舊教材發(fā)現(xiàn)，新教材更加注重知識結(jié)構(gòu)的體系化，注重知識之間的相互聯(lián)系，尤其是強調(diào)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)性，這也符合新課程的“高中數(shù)學(xué)課程具有基礎(chǔ)性”的基本理念（新舊教材內(nèi)容變動分析見表1）。

2 新舊教材組織結(jié)構(gòu)對比

2.1 教材中的題目更具有針對性和分層性

通過對新教材的分析后發(fā)現(xiàn)，新教材中的題目主要分成三類：例題、練習(xí)和習(xí)題。而習(xí)題又分成“復(fù)習(xí)鞏固、綜合運用和拓廣探索”三個維度。例題和練習(xí)是課本的重要組成部分，是學(xué)生理解和鞏固所學(xué)知識的重要工具。新教材在每一個知識點后面都對應(yīng)了相應(yīng)的例題和練習(xí)，并且例題給出了詳細(xì)的分析和講解，有的題目還給出了多種解法，有利于學(xué)生在學(xué)習(xí)完知識點后及時得到相應(yīng)的鞏固和練習(xí)，例題和練習(xí)是對學(xué)生最基本的要求，對于習(xí)題，不同水平的學(xué)生選擇適合自己維度的題目進(jìn)行相應(yīng)的練習(xí)，有利于教師進(jìn)行因材施教和減輕學(xué)生的學(xué)業(yè)壓力，更加注重題目的針對性，而不是“一刀切”的做法。

舊教材中，題目的數(shù)量并不是很多而且只是籠統(tǒng)的把題目分成“例題、練習(xí)、習(xí)題”三塊。而且當(dāng)中的很多題目，現(xiàn)在看來都已經(jīng)顯得有點“過時”了。而新教材中的題目更加符合“與時俱進(jìn)”的理念，增加了“新時代”的元素，有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

2.2 新教材更加注重與舊知和生活的聯(lián)系

新教材在知識的安排上更加注重和已有知識以及生活的聯(lián)系。無論是數(shù)列的概念、等差數(shù)列的概念還是等比數(shù)列的概念，都是通過大量的與我們生活息息相關(guān)的例子來引入的，這種引入方式，考慮到了學(xué)生已有的相關(guān)知識經(jīng)驗，讓學(xué)生對新知識不會感覺到突兀，也符合“數(shù)學(xué)來源于生活，數(shù)學(xué)服務(wù)與生活”的理念。例如，等差數(shù)列的概念就是由北京天壇、衣服尺碼、海拔與大氣溫度和銀行貸款的例子引入的;等比數(shù)列是由古巴比倫的泥版、《莊子·天下》、細(xì)菌分裂、銀行存款利率引入的。新教材中的例題和習(xí)題也處處滲透與生活和舊知的聯(lián)系。例如，在等比數(shù)列一節(jié)中的例10和例11中，將等比數(shù)列與生活中的垃圾填埋和牧場養(yǎng)牛結(jié)合起來。

舊教材中關(guān)于“遞增數(shù)列和遞減數(shù)列”的概念是直接給出來的，而新教材是類比函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)增函數(shù)得到遞增數(shù)列，由單調(diào)減函數(shù)得到遞減數(shù)列，由常值函數(shù)得到常數(shù)列。這種新知識與舊知識互相聯(lián)系，消除了學(xué)生心理上的障礙，使學(xué)生能更好的理解數(shù)列的內(nèi)容，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的邏輯性。

2.3 新教材更加注重數(shù)學(xué)文化的滲透

數(shù)學(xué)文化是指數(shù)學(xué)的思想、精神、語言、方法、觀點，以及他們的形成和發(fā)展。[1]數(shù)學(xué)教學(xué)的核心就是數(shù)學(xué)文化的教學(xué)。通過對比新舊教材，新教材刪除了信息技術(shù)應(yīng)用和探究與發(fā)現(xiàn)等數(shù)列應(yīng)用方面的拓展，以題目的方式呈現(xiàn)給學(xué)生，只保留了“閱讀與思考”版面。在“閱讀與思考”中拓展了有關(guān)數(shù)列背景素材，展示了古人的聰明才智和數(shù)學(xué)文化的魅力。新教材也有意識的在習(xí)題中滲透數(shù)學(xué)文化，例如在本章第一節(jié)中的習(xí)題5講述的就是古希臘畢達(dá)哥拉斯派的數(shù)學(xué)家們用沙粒和小石子來研究數(shù)列。這種有選擇的刪改，滲透了數(shù)學(xué)文化，符合新課標(biāo)“數(shù)學(xué)文化貫穿于高中數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)中”的理念。[1]

3 例習(xí)題綜合難度比較

本文選取新教材114個題目和老教材103個題目作為樣本，根據(jù)鮑建生課程綜合難度比較模型，[2]計算新教材和老教材的例題和習(xí)題的難度，利用Excel軟件得到雷達(dá)圖（如圖1），最后給出綜合評價。

通過觀察雷達(dá)圖可知，新教材關(guān)于數(shù)列的綜合難度是高于老教材的，主要原因是新教材把數(shù)列放在選擇性必修里，更加強調(diào)學(xué)生數(shù)列知識的靈活運用。具體來看，新教材在探究水平、推理水平和背景水平對學(xué)生提出了更高的要求。新教材強調(diào)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)探究和推理的水平，數(shù)列是來源于我們的生產(chǎn)和生活，關(guān)注數(shù)學(xué)知識豐富的背景素材。新教材對學(xué)生的運算要求略有下降，也刪除了一些機械的數(shù)學(xué)運算的題目，而把更多的精力放在教授最基本的數(shù)學(xué)知識，注重培養(yǎng)學(xué)生探究和推理的能力。在知識水平上，新教材除了把數(shù)學(xué)歸納法列為選學(xué)內(nèi)容，其它未做改變。綜上，我們可以發(fā)現(xiàn)，以數(shù)學(xué)邏輯為體系，內(nèi)容為主型，重視課程的基礎(chǔ)性和數(shù)學(xué)文化是未來數(shù)學(xué)教材編寫的趨勢。

4 結(jié)束語

通過對新舊教材數(shù)列的文本內(nèi)容、組織結(jié)構(gòu)、例題和習(xí)題的難度比較三個維度的分析，新教材的知識點與體系更加集中，知識之間的分類與聯(lián)系更加清晰，更加關(guān)注學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象和合作探究的能力。此次改版充分考慮到了學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，重視與生產(chǎn)生活的聯(lián)系，在總體平穩(wěn)的基礎(chǔ)上又有很大的進(jìn)步，落實了“學(xué)生發(fā)展為本，立德樹人，提升素養(yǎng)的”新課標(biāo)理念。[1]

參考文獻(xiàn)

[1] 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2017.

[2] 鮑建生.中英兩國初中數(shù)學(xué)期望課程綜合難度的比較[J].全球教育展望，2002，31（09）：48-52.