非等差非等比數(shù)列通項(xiàng)公式的幾種基本求法

湖北

數(shù)列通項(xiàng)公式是高考中的重點(diǎn)內(nèi)容，求法也多種多樣，現(xiàn)將非等差非等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求法歸納整理如下.

一、和項(xiàng)關(guān)系法

【例1】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2n2-3n+k，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

【解】當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=-1+k；當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=2n2-3n+k-2(n-1)2+3(n-1)-k=4n-5.

若k=0，則a1=-1,符合an=4n-5(n≥2)；

若k≠0，則a1=S1=-1+k，不符合an=4n-5(n≥2).

所以當(dāng)k=0時(shí)，an=4n-5(n∈N*)；

【例2】若非零數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn(Sn≠0)，且a1=1,3an+1=Sn(n∈N*)，求此數(shù)列的通項(xiàng)公式.

又a1=1不適合此式，

【變式1】若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2+2n+3，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

【變式2】若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n-5an-85，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

二、累加、累乘法

【例3】已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=2,an=2·3n-1+an-1(n≥2)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

【解】由an=2·3n-1+an-1(n≥2),得an-an-1=2·3n-1,則an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=2+2·3+2·32+…+2·3n-1=3n-1.

故所求的通項(xiàng)公式為an=3n-1(n∈N*).

【變式1】若數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=2,2an+1=n(an-an+1)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

三、整體相減、相除法

【解】由a2+a7=16，得a3+a6=16，又a3a6=55且公差大于零，

所以a3=5,a6=11，由a6=a3+3d得公差d=2.

所以bn=2n(an-an-1)=2·2n=2n+1(n≥2)，③

又b1=2a1=2不適合③，

【例5】若數(shù)列{an}對(duì)任意n∈N*，都有a1·a2·a3·…·an=n2，求該數(shù)列通項(xiàng)公式.

【解】由a1·a2·a3·…·an=n2，①得a1·a2·a3·…·an-1=(n-1)2(n≥2)，②

【點(diǎn)評(píng)】如果條件關(guān)系式是由若干項(xiàng)的“和”或“積”的形式構(gòu)成的，一般采用這種整體相減(除)或整體代換的方法求其通項(xiàng)公式.

【變式】若數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=3,a1+2a2+3a3+…+nan=2n+1，求{an}的通項(xiàng)公式.

四、取倒數(shù)法

【點(diǎn)評(píng)】若條件遞推關(guān)系式是以分式形式給出的，一般采用取倒數(shù)的方法求其通項(xiàng)公式.

【變式1】已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足3anan+1=an-an+1且a1=2，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

五、轉(zhuǎn)化法

【例7】已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=3,an+1=2an+1，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

所以數(shù)列{an+1}是以a1+1=4為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列，所以an+1=4·2n-1=2n+1，

所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n+1-1(n∈N*).

所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n+1-1(n∈N*).

【另解】由an+1=2an+1,得an=2an-1+1(n≥2),兩式相減得an+1-an=2(an-an-1)(n≥2)，

所以an-an-1=4·2n-2=2n.

所以an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=3+22+23+…+2n=2n+1-1.

故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n+1-1(n∈N*).

【變式1】已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=5,an+1=2an+3n，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

【變式2】設(shè)數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=4,an=3an-1+2n-1(n≥2)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

【分析】設(shè)an+An+B=3[an-1+A(n-1)+B]，則an=3an-1+2An-3A+2B.

所以2A=2,-3A+2B=-1，解得A=B=1.則an+n+1=3[an-1+(n-1)+1].

所以an+n+1=6·3n-1=2·3n，則an=2·3n-n-1，

所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2·3n-n-1(n∈N*).

【點(diǎn)評(píng)】遞推式為an+1=pan+an+b(p為常數(shù))，變?yōu)閍n+1+x(n+1)+y=p(an+xn+y)，則{an+xn+y}為等比數(shù)列，采用待定系數(shù)法變形.

六、乘方、開(kāi)方法

【點(diǎn)評(píng)】如果條件遞推關(guān)系式中含有根式，一般要進(jìn)行乘方與開(kāi)方.

若an=an-1+2，即an-an-1=2，則{an}為等差數(shù)列，求得an=2n.

若an=-(an-1+2)，即an+1=-(an-1+1)，則{an+1}為等比數(shù)列，求得an=3·(-1)n-1-1，綜上，所求an=2n或an=3·(-1)n-1-1.

七、取對(duì)數(shù)法

所以數(shù)列{log3an-2}是以log3a1-2=-2為首項(xiàng),-2為公比的等比數(shù)列,

所以log3an-2=(-2)·(-2)n-1=(-2)n，即log3an=(-2)n+2.

所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=32+(-2)n(n∈N*).

【點(diǎn)評(píng)】如果條件遞推關(guān)系式的兩邊是積、商、冪的形式，一般對(duì)等式兩邊取對(duì)數(shù).

八、遞推法

【例10】已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1，且滿(mǎn)足an+1=3an+1，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

【點(diǎn)評(píng)】通過(guò)多次使用條件遞推關(guān)系式就可以把a(bǔ)n和a1的關(guān)系求出來(lái)，然后求出通項(xiàng)公式，也可以采用累加法或待定系數(shù)法求其通項(xiàng)公式.