王棟

(西北工業(yè)大學(xué)航空學(xué)院,西安 710072)

引言

拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)的目的是在規(guī)定的區(qū)域內(nèi)和邊界條件下,以最優(yōu)的方式配置可用的材料,使結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能及響應(yīng)指標(biāo)在給定靜、動(dòng)力載荷作用下達(dá)到最優(yōu)[1-4].當(dāng)結(jié)構(gòu)的初始構(gòu)型設(shè)計(jì)無(wú)法借助于設(shè)計(jì)者以往的經(jīng)驗(yàn)可以確定時(shí),拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)能夠在給定的載荷和一定的應(yīng)力、位移等約束條件下搜尋出創(chuàng)新性的結(jié)構(gòu)構(gòu)型(即傳力路徑) 設(shè)計(jì),充分發(fā)揮材料的性能潛力,從而顯著提高工程設(shè)計(jì)的效率和質(zhì)量[5-6].傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題中,結(jié)構(gòu)所受的載荷環(huán)境、材料參數(shù)以及優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)、約束條件等均被認(rèn)為是確定性的,即所獲得的最優(yōu)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)都是基于相對(duì)理想狀態(tài)下的結(jié)果[6-10].然而在實(shí)際工程結(jié)構(gòu)中,不確定性因素卻是普遍存在和不可避免的,如材料的物理性能、模型幾何尺寸、邊界約束條件、外界施加的載荷等[11-17].這些系統(tǒng)參數(shù)即使是在小范圍內(nèi)隨機(jī)性地變化也無(wú)疑會(huì)對(duì)結(jié)構(gòu)的構(gòu)型設(shè)計(jì)產(chǎn)生巨大的作用,最終將對(duì)結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能和響應(yīng)造成一些不利的影響.若忽略設(shè)計(jì)參數(shù)的不確定性,依舊按照確定性情形對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì),所獲得的優(yōu)化結(jié)果抵抗結(jié)構(gòu)參數(shù)(物理、幾何)或載荷等不確定性因素的能力將會(huì)極大地減弱,甚至可能導(dǎo)致結(jié)構(gòu)功能的提前失效[17].為了使所設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)具有較強(qiáng)的抵抗不確定性因素的能力,使其能正常、穩(wěn)定地發(fā)揮預(yù)期的功能,設(shè)計(jì)者需要在結(jié)構(gòu)的初步設(shè)計(jì)階段就主動(dòng)地考慮這些不確定性因素的影響[16-18].

航空航天、汽車、橋梁等結(jié)構(gòu)在其服役期內(nèi)經(jīng)常受到各種時(shí)變載荷的作用,而一個(gè)時(shí)變的激勵(lì)通常能近似分解為幾個(gè)簡(jiǎn)諧激勵(lì).因此簡(jiǎn)諧激勵(lì)是一種非?；A(chǔ)和典型的動(dòng)載荷[7-8],研究簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)具有十分重要的理論和實(shí)際意義[19].然而,當(dāng)前大多數(shù)關(guān)于結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)拓?fù)鋬?yōu)化的研究都是基于確定性參量來(lái)構(gòu)建優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型,很少考慮工程實(shí)際中的不確定性因素,從而明顯降低了優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果的可靠性與可信度,難以滿足現(xiàn)代設(shè)計(jì)的需求[5-9].實(shí)際工程中,由于外部環(huán)境的變化,使得作用于結(jié)構(gòu)上的外載荷,包括其大小、方向與位置等都可能具有一定的隨機(jī)不確定性[20-23].而且相較于材料屬性、邊界條件等諸多不確定性因素,載荷不確定性對(duì)結(jié)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)型的影響更大.因此研究載荷不確定性對(duì)連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)的影響具有非?，F(xiàn)實(shí)的意義.

研究不確定性條件下結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)可采用基于可靠性的拓?fù)鋬?yōu)化方法(reliability-based topology optimization,RBTO)[11-12,19],或基于穩(wěn)健性的拓?fù)鋬?yōu)化方法(robust topology optimization,RTO)[14,20-22].若一個(gè)不確定性設(shè)計(jì)量的隨機(jī)變化性無(wú)法或難以用概率模型表示,如在結(jié)構(gòu)的初始設(shè)計(jì)階段,準(zhǔn)確地獲得不確定性變量的概率分布函數(shù)或特征參數(shù)都是一件十分困難的事,但卻可以簡(jiǎn)單地用一個(gè)有界的區(qū)間變量(bounded interval variable)來(lái)表示其隨機(jī)性的變化.此時(shí)采用旨在減小結(jié)構(gòu)響應(yīng)對(duì)不確定性設(shè)計(jì)量敏感性的穩(wěn)健性設(shè)計(jì)思想,完成對(duì)結(jié)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)型的優(yōu)化設(shè)計(jì),并使其具有較高的抵抗不確定性變量擾動(dòng)的能力.在結(jié)構(gòu)的初步設(shè)計(jì)階段,通常很難準(zhǔn)確獲知外激勵(lì)變化的分布模式,但其變化的界限卻較容易確定.因此,載荷的不確定性更適于采用“未知但有界(uncertain-but-bounded)”區(qū)間變量來(lái)描述[12-14,17-18].傳統(tǒng)考慮區(qū)間不確定性的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)采取的是嵌套雙循環(huán)模式,即內(nèi)循環(huán)采用區(qū)間分析的方法尋找不確定性變量的最大(差) 影響狀態(tài),外循環(huán)采用確定性的優(yōu)化策略實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)拓?fù)湓O(shè)計(jì)的更新與演化.本文采用靈敏度分析的方法研究外載荷作用位置的不確定性,按照確定性的優(yōu)化策略,通過(guò)單循環(huán)模式完成結(jié)構(gòu)在動(dòng)載荷作用下的穩(wěn)健性拓?fù)湓O(shè)計(jì).保證在外激勵(lì)作用位置出現(xiàn)擾動(dòng)時(shí),結(jié)構(gòu)的動(dòng)響應(yīng)不發(fā)生較大的改變.

本文基于材料屬性的有理近似方法(rational approximation of material properties,RAMP)建立連續(xù)體結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)諧響應(yīng)拓?fù)鋬?yōu)化模型,可有效地避免虛假局部模態(tài)的產(chǎn)生[21,24].以結(jié)構(gòu)動(dòng)柔順度最小化為目標(biāo)[8-9],以整體材料用量為約束條件,采用移動(dòng)漸近法(method of moving asymptotes,MMA)[25],以載荷擾動(dòng)區(qū)間內(nèi)最大絕對(duì)值靈敏度作為拓?fù)渥兞啃薷囊罁?jù),研究在簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下結(jié)構(gòu)強(qiáng)迫振動(dòng)穩(wěn)定階段響應(yīng)的拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題.在優(yōu)化求解過(guò)程中采用啟發(fā)式敏度過(guò)濾(sensitivity filter) 技術(shù)[1],保證優(yōu)化求解過(guò)程的穩(wěn)定性.最后用兩個(gè)典型優(yōu)化算例來(lái)證明本文所提方法的有效性,并與傳統(tǒng)確定性條件下的優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行對(duì)比來(lái)驗(yàn)證穩(wěn)健性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果的可靠性.

1 穩(wěn)健性拓?fù)鋬?yōu)化模型

1.1 線性振動(dòng)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅值

當(dāng)外激勵(lì)頻率遠(yuǎn)離結(jié)構(gòu)的固有頻率時(shí),結(jié)構(gòu)內(nèi)的阻尼影響很小,可以暫時(shí)忽略不計(jì).采用有限元法對(duì)連續(xù)體結(jié)構(gòu)進(jìn)行離散化處理.于是無(wú)阻尼結(jié)構(gòu)受迫振動(dòng)微分方程可表示為

式中,K和M分別是振動(dòng)系統(tǒng)的剛度和質(zhì)量矩陣,它們都是N×N階的實(shí)對(duì)稱矩陣,N表示結(jié)構(gòu)的自由度數(shù).u(t)和分別是結(jié)構(gòu)的位移和加速度響應(yīng)N維列陣.f(t)是系統(tǒng)所受外激勵(lì)列陣.假設(shè)結(jié)構(gòu)受到簡(jiǎn)諧外力的作用

其中,F(s)是外激勵(lì)幅值N維列陣,s表示外激勵(lì)的作用位置.由于s是一個(gè)不確定的變量,可在一定的區(qū)域內(nèi)隨機(jī)變化,因此外激勵(lì)幅值列陣F(s) 也具有一定的不確定性,優(yōu)化過(guò)程中將不斷發(fā)生改變.ω 是外激勵(lì)頻率(弧度/秒),是一個(gè)給定的量.

在簡(jiǎn)諧載荷作用下,線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)也是同一頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)

式中,U是結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)幅值列陣.由于不考慮結(jié)構(gòu)內(nèi)的阻尼,U是實(shí)數(shù),其中各項(xiàng)的正、負(fù)值與結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)性能以及激振頻率密切相關(guān).將式(3)代入方程(1),消去時(shí)間項(xiàng),則在頻域內(nèi)振動(dòng)系統(tǒng)響應(yīng)特征方程可表示為

其中,D(ω)=K-ω2M是振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)剛度矩陣,是激振頻率的函數(shù).若激勵(lì)頻率不等于系統(tǒng)的固有頻率,響應(yīng)特征方程(4) 的系數(shù)矩陣不會(huì)奇異.本文采用直接方法精確計(jì)算結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng),不必考慮模態(tài)截尾帶來(lái)的計(jì)算誤差和虛假模態(tài)的干擾[7,24].求解方程(4)可得結(jié)構(gòu)響應(yīng)的幅值列陣U,進(jìn)而可以得到時(shí)域內(nèi)結(jié)構(gòu)的動(dòng)響應(yīng)u(t).

1.2 結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型

實(shí)際工程結(jié)構(gòu)中,由于外載荷作用位置的不確定性,結(jié)構(gòu)的響應(yīng)幅值也具有一定的不確定性.本文以結(jié)構(gòu)有限元模型中單元的相對(duì)密度ρe作為設(shè)計(jì)變量,在給定設(shè)計(jì)區(qū)域的邊界與加載條件下,拓?fù)鋬?yōu)化的目標(biāo)函數(shù)設(shè)置為結(jié)構(gòu)的動(dòng)柔順度最小[7-8].根據(jù)動(dòng)態(tài)位移響應(yīng)的特點(diǎn),穩(wěn)健性拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題數(shù)學(xué)列式可表示為

式中,Cd是結(jié)構(gòu)的動(dòng)柔順度,是一個(gè)正定的值.動(dòng)柔順度不僅與外激勵(lì)的大小有關(guān),而且也與載荷作用位置密切相關(guān),即隨著外激勵(lì)位置s的變化而改變.sI是一個(gè)有界的區(qū)間變量,和分別代表區(qū)間的下限和上限[26-28].ρ是拓?fù)渥兞縩維列陣,n代表結(jié)構(gòu)的單元總數(shù).ρmin是為了避免結(jié)構(gòu)剛度矩陣奇異而設(shè)置的一個(gè)極小值,一般取ρmin=0.001.ve是單元的體積,fv是給定的材料體分比,即材料用量的上限.

以上模型與傳統(tǒng)的拓?fù)鋬?yōu)化模型最大區(qū)別在于:結(jié)構(gòu)的動(dòng)柔順度Cd不再是一個(gè)確切的目標(biāo)函數(shù),而是變成一個(gè)與區(qū)間變量sI有關(guān)的區(qū)間不確定值,因而也具有一定的隨機(jī)性.從而使得優(yōu)化設(shè)計(jì)過(guò)程更加復(fù)雜,但也真實(shí)地反映了工程實(shí)際情況.

為了合理地描述結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)性能,根據(jù)以往的研究結(jié)果,本文采用RAMP 模型對(duì)單元質(zhì)量和剛度矩陣進(jìn)行插值[21]

式中,q是插值模型的懲罰因子(q=5);m0和k0分別是實(shí)體材料單元的質(zhì)量和剛度矩陣.

1.3 結(jié)構(gòu)動(dòng)柔順度一階靈敏度的計(jì)算

當(dāng)外激勵(lì)作用位置s在有界區(qū)間內(nèi)隨機(jī)變化時(shí),根據(jù)文獻(xiàn)[29]的定義,只需在外激勵(lì)的名義(理想)作用點(diǎn),如區(qū)間的中點(diǎn)

處,對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行分析,計(jì)算結(jié)構(gòu)的動(dòng)響應(yīng).并在單元層面上計(jì)算結(jié)構(gòu)的動(dòng)柔順度Cd0

因此,其對(duì)單元的相對(duì)密度 ρe的一階導(dǎo)數(shù)靈敏度可由下式計(jì)算得到

其中,ue是單元的動(dòng)響應(yīng)幅值列陣.de=ke-ω2me是單元的動(dòng)剛度矩陣.由RAMP 模型材料插值函數(shù)可得

于是,通過(guò)一次有限元分析計(jì)算,即可獲得振動(dòng)結(jié)構(gòu)的名義動(dòng)柔順度Cd0及其對(duì)拓?fù)湓O(shè)計(jì)變量的一階導(dǎo)數(shù)靈敏度值.但當(dāng)外激勵(lì)的作用點(diǎn)發(fā)生偏移時(shí),結(jié)構(gòu)的動(dòng)柔順度將不再依靠有限元重復(fù)計(jì)算而得到.

2 外載荷位置不確定性的影響

2.1 載荷位置移動(dòng)對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)柔順度的影響

在復(fù)雜的載荷環(huán)境下,雖然已經(jīng)假設(shè)外激勵(lì)的大小和方向保持不變,但當(dāng)載荷作用位置發(fā)生改變時(shí),結(jié)構(gòu)的傳力路徑亦將發(fā)生改變.即外激勵(lì)作用位置的變化必然引起結(jié)構(gòu)動(dòng)柔順度的變化.若能夠獲得結(jié)構(gòu)動(dòng)柔順度對(duì)載荷位置的一階和二階導(dǎo)數(shù),則可以利用二階泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)公式,得到外激勵(lì)作用位置發(fā)生改變以后,結(jié)構(gòu)動(dòng)柔順度Cd(s)的顯性表達(dá)式.即可避免有限元計(jì)算的重復(fù)運(yùn)行,減少振動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)響應(yīng)方程的求解.

在載荷名義作用點(diǎn)周圍一個(gè)較小的鄰域內(nèi),利用二階泰勒展開(kāi)公式,得到載荷位置發(fā)生改變以后,結(jié)構(gòu)動(dòng)柔順度Cd的近似表達(dá)式

式中,Δs=s-s0表示載荷作用位置的改變量.?Cd0/?s和?2Cd0/?s2分別是在名義作用點(diǎn)s0,動(dòng)柔順度對(duì)外載荷位置的一階和二階導(dǎo)數(shù).

對(duì)于常用的四結(jié)點(diǎn)雙線性平面應(yīng)力單元,文獻(xiàn)[30] 已經(jīng)推導(dǎo)出了外載荷對(duì)其位置(坐標(biāo)) 的一階導(dǎo)數(shù)計(jì)算公式.于是在名義作用點(diǎn),結(jié)構(gòu)的動(dòng)位移響應(yīng)幅值列陣U對(duì)外激勵(lì)位置的一階導(dǎo)數(shù),可由方程(4)兩邊對(duì)s求一階微分得到

其中,?F(s0)/?s表示外激勵(lì)對(duì)其作用位置的一階導(dǎo)數(shù).

將結(jié)構(gòu)的名義動(dòng)柔順度改寫(xiě)成

則動(dòng)柔順度對(duì)載荷位置的一階導(dǎo)數(shù)可表示為

據(jù)此,可進(jìn)一步計(jì)算結(jié)構(gòu)的動(dòng)柔順度Cd0對(duì)載荷作用位置的二階導(dǎo)數(shù)

將式(10)、式(16)和式(17)代入式(13),即可利用該顯性表達(dá)式快速計(jì)算由于外激勵(lì)位置的移動(dòng)而引起結(jié)構(gòu)動(dòng)柔順度的改變值,以及對(duì)拓?fù)湓O(shè)計(jì)變量,即單元相對(duì)密度ρe的一階導(dǎo)數(shù)

其中,式(18)右邊第一項(xiàng)由式(11)計(jì)算得到,第二、三項(xiàng)可由式(11)分別對(duì)外載荷作用位置s連續(xù)微分得到

根據(jù)以上推導(dǎo)結(jié)果,即可利用式(18) 計(jì)算當(dāng)外激勵(lì)作用位置發(fā)生改變以后,結(jié)構(gòu)的動(dòng)柔順度對(duì)所有設(shè)計(jì)變量的一階靈敏度,這使得動(dòng)態(tài)優(yōu)化設(shè)計(jì)效率大為提高.

2.2 載荷位置移動(dòng)對(duì)優(yōu)化方法的影響

由于外激勵(lì)作用點(diǎn)的不確定性,振動(dòng)結(jié)構(gòu)的動(dòng)柔順度及其一階導(dǎo)數(shù)也都存在一定的不確定性,即動(dòng)柔順度對(duì)設(shè)計(jì)變量的靈敏度隨載荷作用點(diǎn)的移動(dòng)而改變.但是根據(jù)MMA 優(yōu)化算法[25],每次迭代只能選取一個(gè)動(dòng)柔順度的靈敏度值進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì),因此在運(yùn)用拓?fù)鋬?yōu)化算法時(shí)會(huì)遇到一定的困難.為了提高結(jié)構(gòu)對(duì)外載荷位置擾動(dòng)的抵抗能力,文獻(xiàn)[29] 提出在載荷位置不確定區(qū)間內(nèi),按照絕對(duì)值最大的原則選取目標(biāo)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)靈敏度值.從結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析角度來(lái)看,動(dòng)柔順度對(duì)設(shè)計(jì)變量一階導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值越大,說(shuō)明單元密度的改變引起動(dòng)柔順度值的變化也越大.以此為基礎(chǔ)開(kāi)展結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì),可以充分考慮載荷作用位置隨機(jī)變化對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)柔順度(或動(dòng)剛度)的影響.在保證外激勵(lì)作用區(qū)間完整的基礎(chǔ)上,本文采用外激勵(lì)F(s)是在3 個(gè)特殊作用點(diǎn),即名義作用點(diǎn)s0和不確定區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)和的靈敏度值,近似代替其在整個(gè)區(qū)間內(nèi)的變化情況,即用這3 個(gè)作用位置覆蓋整個(gè)外載荷作用點(diǎn)的不確定區(qū)域.每次迭代時(shí)選取三者中絕對(duì)值最大的靈敏度對(duì)設(shè)計(jì)變量進(jìn)行更新,實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)拓?fù)涞难莼?/p>

此外,還要利用靈敏度過(guò)濾技術(shù),對(duì)動(dòng)柔順度靈敏度進(jìn)行再分配,以便消除優(yōu)化過(guò)程中的棋盤(pán)格現(xiàn)象,確保優(yōu)化結(jié)果的可行和可靠性[28].

3 算例分析

3.1 簡(jiǎn)支平板結(jié)構(gòu)

簡(jiǎn)支平板結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)區(qū)域幾何尺寸及邊界約束如圖1 所示,厚度為10 mm.理論上,結(jié)構(gòu)在設(shè)計(jì)區(qū)域底邊中點(diǎn)處承受一個(gè)集中簡(jiǎn)諧力f(t)=10ejωtkN 的作用,外激振頻率150 Hz(ω=2π×150 rad/s).但是由于加載環(huán)境的復(fù)雜性,外激振實(shí)際作用在距離中點(diǎn)±10 mm 點(diǎn)某個(gè)不確定點(diǎn)上.將設(shè)計(jì)區(qū)域均勻劃分成90×40 的有限元網(wǎng)格,采用四結(jié)點(diǎn)平面應(yīng)力單元.假設(shè)材料的彈性模量E=200 GPa,密度ρ=7800 kg/m3,泊松比ν=0.3.材料體積約束系數(shù)fv=0.3.取過(guò)濾半徑為單元尺寸的1.5 倍,優(yōu)化過(guò)程收斂條件設(shè)置為相鄰兩次迭代各設(shè)計(jì)變量的最大改變量小于0.01[25].初始設(shè)計(jì)時(shí)假設(shè)材料均勻分布在設(shè)計(jì)域內(nèi),此時(shí)結(jié)構(gòu)的第一階固有頻率為262.63 Hz.

圖1 簡(jiǎn)支平面矩形板結(jié)構(gòu)Fig.1 A simply supported rectangular panel

圖2 分別示出了確定性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)(deterministic topology optimization,DTO)和穩(wěn)健性設(shè)計(jì)所獲得的結(jié)構(gòu)最優(yōu)構(gòu)型.可見(jiàn),雖然兩種優(yōu)化策略得到的結(jié)構(gòu)構(gòu)型基本類似,但細(xì)節(jié)設(shè)計(jì)還是有較大差異的.與確定性優(yōu)化設(shè)計(jì)相比,穩(wěn)健性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)主要有以下幾個(gè)特點(diǎn).

圖2 兩種設(shè)計(jì)策略結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果對(duì)比Fig.2 Comparison of the topology optimizations on two different design strategies

(1)有更多的材料聚集在外載荷名義作用點(diǎn)附近(12:8 個(gè)單元寬度),這使得外激勵(lì)作用區(qū)域得到顯著加強(qiáng),以便能更有效地抵抗外激勵(lì)位置的擾動(dòng).毋庸置疑,這是考慮外載荷作用位置不確定性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)的必然結(jié)果[22,27,29].

(2) 內(nèi)側(cè)(中間) 兩根斜撐桿(或構(gòu)件) 的上端出現(xiàn)了分岔,導(dǎo)致與外緣構(gòu)件連接處呈現(xiàn)圓滑過(guò)渡.內(nèi)側(cè)斜撐桿是豎向外力從作用點(diǎn)向約束支承點(diǎn)(基礎(chǔ))傳遞的主要路徑.當(dāng)外激勵(lì)的作用點(diǎn)固定不動(dòng)時(shí),外激勵(lì)將沿著斜撐桿先傳到結(jié)構(gòu)的外緣,然后再傳遞到結(jié)構(gòu)的支承點(diǎn),整個(gè)傳力路徑都是對(duì)稱的.但是當(dāng)外激勵(lì)的作用點(diǎn)發(fā)生不確定性變化時(shí),外激勵(lì)沿內(nèi)側(cè)斜撐桿以及整個(gè)結(jié)構(gòu)的傳遞都不再是均勻?qū)ΨQ的了.在斜撐桿的上部將沿著不同的路徑傳遞到外緣構(gòu)件,以均衡外載荷的傳遞,抵消外激勵(lì)作用位置的變動(dòng)對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)柔順度(動(dòng)剛度)影響.

(3) 內(nèi)側(cè)兩根斜撐桿底部的截面尺寸明顯增大,外側(cè)兩根斜撐桿的截面尺寸略有減小,而上、下水平構(gòu)件的截面尺寸幾乎未變.內(nèi)側(cè)兩根斜撐桿與載荷作用點(diǎn)直接相連,主要抵御在豎直方向上的外力.外激勵(lì)作用位置的變化會(huì)直接導(dǎo)致內(nèi)側(cè)斜撐桿截面上的內(nèi)力分布不均勻,而較大截面尺寸的斜撐桿有助于外載荷更加有效地傳遞出去.因?yàn)榭捎玫牟牧鲜且欢ǖ?因此這一部分增加的材料只能從外側(cè)斜撐桿調(diào)配得到,這就導(dǎo)致了外側(cè)兩根斜撐桿截面尺寸的減小.

表1 列出了兩種設(shè)計(jì)策略結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)值結(jié)果.首先,考慮外激勵(lì)作用位置不確定性的穩(wěn)健性拓?fù)湓O(shè)計(jì),名義最小動(dòng)柔順度Cd0比確定性優(yōu)化相應(yīng)結(jié)果稍大一些(1.64%).這是因?yàn)橛幸徊糠植牧嫌脕?lái)加強(qiáng)載荷作用區(qū)域,以抵抗外激勵(lì)作用位置的擾動(dòng);還要一部分材料用來(lái)在斜撐桿的上部構(gòu)造額外的傳力路徑,增加載荷傳遞的可靠性.因此在相同材料體分比條件下,為了提高結(jié)構(gòu)抵抗外載荷擾動(dòng)的能力,結(jié)構(gòu)的動(dòng)剛度會(huì)有一定的損失,但這部分損失可以通過(guò)適當(dāng)?shù)卦黾咏Y(jié)構(gòu)材料得到有效補(bǔ)償[27].

實(shí)際上,在相同的材料體積約束下,動(dòng)柔順度的名義最小值,與其對(duì)不確定性設(shè)計(jì)參量的敏感性分別是一對(duì)矛盾的兩個(gè)方面.因此,在它們之間存在有一定的相互制約性,過(guò)度地強(qiáng)調(diào)一方必然會(huì)導(dǎo)致另一方性能的弱化或缺失.而優(yōu)化設(shè)計(jì)過(guò)程就是要在相互妥協(xié)中找到矛盾雙方最佳的解決方案.本例中,只要將優(yōu)化結(jié)果的結(jié)構(gòu)材料體分比增大到fv=0.306,就可以將穩(wěn)健性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)的名義最小動(dòng)柔順度降到與確定性優(yōu)化設(shè)計(jì)相同的結(jié)果,見(jiàn)表1 的最后一行所示.

其次,考慮外激勵(lì)不確定性的穩(wěn)健性拓?fù)湓O(shè)計(jì)收斂過(guò)程明顯增長(zhǎng).由于每次優(yōu)化迭代選取的動(dòng)柔順度對(duì)拓?fù)湓O(shè)計(jì)變量一階導(dǎo)數(shù)都是絕對(duì)值最大的,單元之間靈敏度值分散性增大,利用基于梯度的優(yōu)化算法獲得穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果更加困難.因此,穩(wěn)健性優(yōu)化迭代過(guò)程會(huì)顯著增長(zhǎng).

從表1 的后二列可知,當(dāng)外載荷作用位置發(fā)生改變以后,結(jié)構(gòu)的動(dòng)柔順度較之其名義值均有所增大,即結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)剛度均有所降低.當(dāng)外載荷移到其不確定位置區(qū)間的左(或右) 端點(diǎn)時(shí),此時(shí)作用點(diǎn)的偏移量相對(duì)于板的寬度最大(1.11%).對(duì)于穩(wěn)健性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì),結(jié)構(gòu)的動(dòng)柔順度變化率遠(yuǎn)低于確定性優(yōu)化的結(jié)果,特別是在保持結(jié)構(gòu)的動(dòng)柔順度名義最小值相同的設(shè)計(jì)情形下.此外,如果由于某種原因,外激勵(lì)作用點(diǎn)發(fā)生更大的偏移,確定性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)動(dòng)柔順度將快速增大,遠(yuǎn)大于穩(wěn)健性優(yōu)化的結(jié)果,如圖3 所示.這表明采用本文提出的穩(wěn)健性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)后,結(jié)構(gòu)抵抗外載荷作用位置擾動(dòng)的能力有了顯著地增強(qiáng).即在不(或者少)增大結(jié)構(gòu)材料用量的基礎(chǔ)上,結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的穩(wěn)健性明顯提高.由此可見(jiàn),在結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)中考慮載荷不確定性是非常有必要的.

表1 結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果以及動(dòng)柔順度隨載荷位置變化情況Table 1 Optimized results and the dynamic compliance variations

圖3 結(jié)構(gòu)動(dòng)柔順度隨外激勵(lì)作用位置變化情況Fig.3 Variation of the structural dynamic compliance caused by the external loading point disturbances

比較結(jié)構(gòu)的前三階固有頻率可以發(fā)現(xiàn),結(jié)構(gòu)的低階固有頻率,特別是其第一階固有頻率,經(jīng)過(guò)拓?fù)鋬?yōu)化后都得到明顯提高,如表2 所示.這使得激勵(lì)頻率更加遠(yuǎn)離結(jié)構(gòu)的共振區(qū),結(jié)構(gòu)的阻尼作用基本可以忽略.在當(dāng)前激勵(lì)頻率下,結(jié)構(gòu)的總體動(dòng)剛度較初始設(shè)計(jì)有了顯著增大,從而使結(jié)構(gòu)的動(dòng)響應(yīng)幅值急劇減小.此外,在相同材料體分比約束條件下,穩(wěn)健性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)固有頻率要略小于確定性優(yōu)化的結(jié)果,這也是為了提高結(jié)構(gòu)響應(yīng)的穩(wěn)健性,有效抵抗外激勵(lì)作用位置擾動(dòng)的必然結(jié)果.

表2 簡(jiǎn)支平板結(jié)構(gòu)前三階固有頻率比較Table 2 Comparison of the first three natural frequencies of the rectangular panel structure

3.2 MBB 梁結(jié)構(gòu)

圖4 所示為MBB 梁結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)區(qū)域及尺寸,左、右兩端完全固定,假設(shè)其厚度為10 mm.理想狀況下,一個(gè)集中簡(jiǎn)諧力f(t)=10ejωtkN 施加在梁上邊緣的中點(diǎn)處,外激振頻率是200 Hz.但實(shí)際上外載荷作用在中點(diǎn)周圍±20 mm 區(qū)間內(nèi)某個(gè)不確定的點(diǎn)上.將結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)區(qū)域均勻劃分成150×25 的有限元網(wǎng)格.體積約束系數(shù)fv=0.35,材料性能參數(shù)與上例相同.初始設(shè)計(jì)時(shí),將所給的材料均勻分布在整個(gè)設(shè)計(jì)區(qū)域內(nèi).

圖4 MBB 梁設(shè)計(jì)區(qū)域及外激勵(lì)Fig.4 Design domain of MBB beam and the external force

圖5 分別示出了確定性和穩(wěn)健性優(yōu)化設(shè)計(jì)得到的最優(yōu)結(jié)構(gòu)構(gòu)型設(shè)計(jì).可以看到,兩種設(shè)計(jì)策略得到的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果依然存在較大的差別.與前例相同,穩(wěn)健性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)驅(qū)使更多的材料聚集在外載荷作用點(diǎn)附近(14:6 個(gè)單元寬度).當(dāng)外激勵(lì)偶然偏離名義作用點(diǎn)時(shí),較寬的受載區(qū)域能有效應(yīng)對(duì)外激勵(lì)位置移動(dòng)的影響,以便更可靠地將外載荷傳遞到基礎(chǔ).在確定性優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí),中間兩根斜桿張成90°的夾角.表明外激勵(lì)先沿著相互正交的兩個(gè)方向傳遞到下弦,然后再傳遞到固定基礎(chǔ)上.而在穩(wěn)健性優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí),中間兩根斜桿張得角度更大,夾角超過(guò)了100°.此外,確定性優(yōu)化設(shè)計(jì)中間兩根斜桿的截面尺寸較小,外側(cè)斜桿的截面尺寸較大.而穩(wěn)健性優(yōu)化設(shè)計(jì)中間斜桿的截面尺寸,特別是上部靠近外激勵(lì)作用點(diǎn)處較大,外側(cè)斜桿以及下弦中間的截面尺寸則變小,以滿足對(duì)材料體積的約束.

圖5 兩種策略結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果對(duì)比Fig.5 Comparison of the topology optimizations on two different design strategies

圖5 兩種策略結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果對(duì)比(續(xù))Fig.5 Comparison of the topology optimizations on two different design strategies(continued)

表3 給出了兩種設(shè)計(jì)策略的優(yōu)化數(shù)值結(jié)果.與前例一樣,此時(shí)的穩(wěn)健性拓?fù)湓O(shè)計(jì)動(dòng)柔順度名義最小值Cd0仍比確定性優(yōu)化結(jié)果稍大一些(6.07%),即結(jié)構(gòu)的動(dòng)剛度有一些損失.但這同樣可以通過(guò)適當(dāng)?shù)卦黾咏Y(jié)構(gòu)材料(fv=0.375)得到有效補(bǔ)償.表3 的后四列給出了拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)后,結(jié)構(gòu)動(dòng)柔順度隨外激勵(lì)作用點(diǎn)移動(dòng)的變化情況.可以看到,雖然外激勵(lì)作用位置相對(duì)于梁結(jié)構(gòu)的跨度最大擾動(dòng)只有1.33%,但是確定性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)動(dòng)柔順度的變化率相當(dāng)高,遠(yuǎn)大于穩(wěn)健性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)相應(yīng)的變化率.因此可知,運(yùn)用本文所提方法獲得的優(yōu)化構(gòu)型設(shè)計(jì),極大地提高了結(jié)構(gòu)的動(dòng)響應(yīng)對(duì)外激勵(lì)作用位置擾動(dòng)的抵抗能力.

表3 MBB 梁結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果以及動(dòng)柔順度變化情況Table 3 Optimized results and the dynamic compliance variations

表4 給出了優(yōu)化前后結(jié)構(gòu)的前三階固有頻率.初始設(shè)計(jì)時(shí),外激振頻率與結(jié)構(gòu)的第一階固有頻率比較接近.經(jīng)過(guò)拓?fù)鋬?yōu)化后,結(jié)構(gòu)的第一階固有頻率得到顯著地提高,使得激勵(lì)頻率遠(yuǎn)離結(jié)構(gòu)的共振區(qū).圖6分別繪出了兩種載荷作用狀況下,結(jié)構(gòu)的名義動(dòng)柔順度Cd0迭代收斂曲線,同時(shí)還示出了每隔30 迭代步的中間構(gòu)型和最終優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果.值得注意的是,在結(jié)構(gòu)穩(wěn)健性優(yōu)化設(shè)計(jì)過(guò)程中,中間構(gòu)型設(shè)計(jì)始終都有較多的材料聚積在外激勵(lì)作用區(qū)間周圍,以增強(qiáng)結(jié)構(gòu)抵抗外激勵(lì)作用點(diǎn)的隨機(jī)擾動(dòng).

表4 MBB 梁結(jié)構(gòu)前三階固有頻率比較Table 4 Comparison of the first three natural frequencies of the MBB beam structure

圖6 兩種設(shè)計(jì)策略拓?fù)鋬?yōu)化收斂過(guò)程Fig.6 Convergence curves of the structural dynamic compliance on the two design strategies

4 結(jié)論

本文研究了在外激勵(lì)作用位置不確定條件下,連續(xù)體結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)穩(wěn)健性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題.由于在結(jié)構(gòu)的初步設(shè)計(jì)階段,很難獲知外載荷變化的分布規(guī)律,本文將外激勵(lì)作用位置的不確定性用有界區(qū)間變量表示.通過(guò)靈敏度分析,借助二階泰勒展開(kāi)公式,將結(jié)構(gòu)動(dòng)柔順度及其對(duì)拓?fù)渥兞康囊浑A靈敏度,均表示成激勵(lì)作用位置變化量的顯函數(shù).運(yùn)用有理近似材料性能模型和移動(dòng)漸近算法,以絕對(duì)值最大的動(dòng)柔順度靈敏度作為變量修改設(shè)計(jì)的依據(jù),充分考慮載荷位置的不確定性對(duì)結(jié)構(gòu)構(gòu)型設(shè)計(jì)的影響.本文用兩個(gè)典型結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)穩(wěn)健性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)算例,驗(yàn)證了所提優(yōu)化策略的可行性,分析了考慮外激勵(lì)作用位置的不確定性對(duì)結(jié)構(gòu)構(gòu)型優(yōu)化設(shè)計(jì)的影響,并比較了結(jié)構(gòu)的動(dòng)柔順度對(duì)外激勵(lì)位置擾動(dòng)的抵抗能力.研究結(jié)果如下:

(1)考慮載荷作用位置不確定性條件下得到的穩(wěn)健性結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì),不僅載荷作用點(diǎn)周圍的材料會(huì)增多,而且拓?fù)錁?gòu)型設(shè)計(jì)也與確定性條件下的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果明顯不同,使所得結(jié)構(gòu)在載荷位置隨機(jī)擾動(dòng)情況下具有更可靠的傳力路徑.

(2)當(dāng)載荷作用位置發(fā)生擾動(dòng)時(shí),穩(wěn)健性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)動(dòng)柔順度變化率遠(yuǎn)低于相應(yīng)的確定性優(yōu)化結(jié)果.充分表明所得到的結(jié)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)型抵抗外激勵(lì)位置擾動(dòng)的能力更強(qiáng),結(jié)構(gòu)性能更加穩(wěn)健.

(3)在相同體積約束情況下,穩(wěn)健性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)的名義最小動(dòng)柔順度稍大于相應(yīng)的確定性拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果.這是因?yàn)樾枰靡徊糠植牧霞訌?qiáng)外激勵(lì)作用區(qū)域,并且還要構(gòu)造額外的傳力路徑.因而結(jié)構(gòu)穩(wěn)健性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)會(huì)損失一部分動(dòng)剛度,以換取其抵抗載荷位置擾動(dòng)能力的提高.但這部分損失的結(jié)構(gòu)動(dòng)剛度,可以通過(guò)增加少許結(jié)構(gòu)材料而得到有效彌補(bǔ),并且其對(duì)外載荷位置擾動(dòng)的敏感性會(huì)進(jìn)一步降低.