四個平行共軸等大載流方線圈磁場的均勻性分析

昝會萍，張引科

(西安建筑科技大學(xué) 理學(xué)院,陜西 西安 710055)

勻強(qiáng)磁場在科學(xué)研究和工程領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用[1,2].常用亥姆霍茲線圈在小區(qū)域產(chǎn)生近似均勻的磁場[3]，該磁場在線圈軸線上線圈半徑大小的范圍內(nèi)有大于5%的起伏[4].昝會萍等[5,6]及曾曉英[7]提出了用3個平行共軸圓線圈產(chǎn)生勻強(qiáng)磁場的設(shè)想，3線圈系統(tǒng)的磁場在軸線上線圈半徑范圍內(nèi)的起伏小于1%.鄭珂等[8]與趙立強(qiáng)等[9]提出了方形亥姆霍茲線圈方案，當(dāng)2個線圈之間的距離是線圈邊長的0.5445倍時，在線圈中心附近沿線圈軸線方向0.343倍線圈邊長、垂直線圈軸線方向0.384倍線圈邊長的區(qū)域內(nèi)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的相對偏差小于1%；在軸線方向0.190倍線圈邊長、垂直線圈軸線方向0.222倍線圈邊長的區(qū)域內(nèi)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的相對偏差小于1‰[10].吳亞冬等[11]提出了用3個平行共軸方線圈產(chǎn)生勻強(qiáng)磁場的方法.本文建立了4個平行共軸等大載流方線圈磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度的表達(dá)式，得出了系統(tǒng)磁場均勻性最好的條件，對系統(tǒng)在3種具體情況下形成磁場的均勻性進(jìn)行了分析.與方形亥姆霍茲線圈的磁場相比，4個平行共軸等大載流方線圈的磁場均勻性更好、均勻區(qū)域范圍更大.

1 4個平行共軸等大載流方線圈的磁場

圖1所示為4個平行共軸等大載流方線圈，它由4個邊長均為2a的方線圈組成，方線圈平行于坐標(biāo)系的xOy坐標(biāo)面、中心在z軸上、各邊與x軸或y軸平行，中間兩個線圈距離xOy坐標(biāo)面均為d1、電流強(qiáng)度為I1，左右兩個線圈距離xOy坐標(biāo)面均為d2、電流強(qiáng)度為I2.

圖1 4個平行共軸等大載流方線圈

根據(jù)磁場疊加原理及方形亥姆霍茲線圈磁感應(yīng)強(qiáng)度的表達(dá)式，4個平行共軸等大載流方線圈磁感應(yīng)強(qiáng)度的3個分量分別是：

Bfx(x,y,z)=Btx(I1,d1;x,y,z)+
Btx(I2,d2;x,y,z)

(1)

Bfy(x,y,z)=Bty(I1,d1;x,y,z)+

Bty(I2,d2;x,y,z)

(2)

Bfz(x,y,z)=Btz(I1,d1;x,y,z)+

Btz(I2,d2;x,y,z)

(3)

在這3式中，Btx(I,d;x,y,z)，Bty(I,d;x,y,z)和Btz(I,d;x,y,z)分別是邊長為2a、間距為2d、電流強(qiáng)度為I的正方形亥姆霍茲線圈磁感應(yīng)強(qiáng)度的3個分

量，具體表達(dá)式參見文獻(xiàn)[12]中的式(1)—式(3).在z軸上的各點(diǎn)，4個線圈的磁場只有z分量，磁感應(yīng)強(qiáng)度為

(4)

其中

(5)

坐標(biāo)原點(diǎn)(即線圈系統(tǒng)中心)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

(6)

2 4個平行共軸等大載流方線圈形成勻強(qiáng)磁場的條件

4個平行共軸等大載流方線圈軸線上磁感應(yīng)強(qiáng)度函數(shù)Bfz0(z′)是z′的偶函數(shù).為了使線圈系統(tǒng)中心區(qū)域的磁場均勻性最好，可以使Bfz0(z′)對z′的低次偶數(shù)階導(dǎo)數(shù)在z′=0處的值等于零，由此確定參量α1，α2和β的取值，進(jìn)而得到4個方線圈形成最均勻磁場時線圈中的電流及線圈之間的距離必須滿足的關(guān)系，這就是4個平行共軸等大載流方線圈形成勻強(qiáng)磁場的條件.把函數(shù)Bfz0(z′)在z′=0處用泰勒級數(shù)展開，有

(7)

式中，Bfz0(z′)對z′的二階導(dǎo)數(shù)、四階導(dǎo)數(shù)和六階導(dǎo)數(shù)在z′=0處的值分別是

(8)

(9)

(10)

式中

(11)

(12)

(13)

2.1 均勻性較低磁場的形成條件

為了使線圈中心區(qū)域磁場的均勻性較好，使Bfz0(z′)對z′的二階導(dǎo)數(shù)在z′=0處值等于零，即

g1(α1)+βg1(α2)=0

(14)

顯然

(15)

式(14)就是線圈系統(tǒng)在中心區(qū)域形成均勻性較低磁場的條件，在其滿足的情況下，線圈系統(tǒng)中心區(qū)域內(nèi)z軸方向的磁感應(yīng)強(qiáng)度分量表示為

(16)

其中

(17)

(18)

從數(shù)學(xué)上看，式(14)是關(guān)于α1、α2和β的超定方程，一般有無數(shù)組解.對于所研究的問題，可以要求β>0及α2>α1，考慮到函數(shù)g1(α)的特點(diǎn)，α1和α2的解存在區(qū)間分別是(0,0.5445)和(0.5445,+∞).表1和表2分別給出了用數(shù)值方法在電流相等和線圈間距相等兩種特殊條件下得到的式(14)的幾組解，也就是這兩種條件下線圈系統(tǒng)產(chǎn)生均勻性較低磁場時α1，α2和β的幾組取值.

表1 電流相同(即β=1)的4個線圈產(chǎn)生均勻性較低磁場時α1和α2的幾組取值

表2 間距相等(即α2=2α1)的4個線圈產(chǎn)生均勻性較低磁場時α1和β的幾組取值

2.2 均勻性較高磁場的形成條件

為了使線圈中心區(qū)域磁場的均勻性更佳，使Bfz0(z′)對z′的二階導(dǎo)數(shù)和四階導(dǎo)數(shù)在z′=0處的值同時等于零，也就是

g1(α1)+βg1(α2)=0

(19)

g2(α1)+βg2(α2)=0

(20)

顯然

(21)

式(19)和(20)就是線圈系統(tǒng)在中心區(qū)域形成較高均勻性磁場的條件，在其滿足的時，線圈系統(tǒng)中心區(qū)域z軸方向的磁感應(yīng)強(qiáng)度分量可以表示為

(22)

其中

(23)

(24)

表3給出了4個平行共軸等大載流方線圈產(chǎn)生均勻性較高磁場時α1，α2和β的幾組取值.

表3 4個平行共軸等大載流方線圈產(chǎn)生均勻性較高磁場時α1、α2和β的幾組取值

3 4個平行共軸等大載流方線圈磁場的均勻性分析

采用磁感應(yīng)強(qiáng)度相對偏差EB(x,y,z)描述磁場的均勻性，EB(x,y,z)定義為

(25)

它描述磁感應(yīng)強(qiáng)度B(x,y,z)對磁感應(yīng)強(qiáng)度B(0,0,0)偏離的相對程度.

3.1 電流相同或間距相等的4個線圈產(chǎn)生的均勻性較低磁場分析

圖2給出了電流相同的4個線圈產(chǎn)生的均勻性較低磁場在xOz坐標(biāo)面上的分布.此時，3個參量的取值分別是α1=0.4500，α2=1.4144和β=1.可以看出，xOz坐標(biāo)面上，相對于線圈系統(tǒng)中心點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度，在|x|<0.35a及|z|<0.7a的范圍內(nèi)，磁感應(yīng)強(qiáng)度x分量的起伏小于5%、z分量的起伏小于1%，磁場的均勻性總體較低.在|x|<0.35a及|z|<0.4a的范圍內(nèi)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的相對偏差小于1%、磁場與z軸的夾角小于1度，磁場的均勻性較低；在|x|<0.2a及|z|<0.22a的范圍內(nèi)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的相對偏差小于0.1%、磁場與z軸的夾角小于0.1度，磁場的均勻性較高；在|x|<0.11a及|z|<0.13a的范圍內(nèi)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的相對偏差小于0.01%、磁場與z軸的夾角小于0.01度，磁場的均勻性極高.

(a) | Bx|/Bf00m的分布

圖3是間距相等的4個線圈產(chǎn)生的均勻性較低磁場在xOz坐標(biāo)面上的分布.此時，3個參量的取值分別是α1=0.3500、α2=0.7000和β=2.1695.可以發(fā)現(xiàn)，xOz坐標(biāo)面上，相對于線圈系統(tǒng)中心點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度，在|x|<0.2a及|z|<0.7a的范圍內(nèi)，磁感應(yīng)強(qiáng)度x分量的起伏小于5%、z分量的起伏小于1%，磁場的均勻性總體較低；在|x|<0.32a及|z|<0.38a的范圍內(nèi)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的相對偏差小于1%、磁場與z軸的夾角小于1度，磁場的均勻性較低；在|x|<0.18a及|z|<0.2a的范圍內(nèi)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的相對偏差小于0.1%、磁場與z軸的夾角小于0.1度，磁場的均勻性較高；在|x|<0.13a及|z|<0.11a的范圍內(nèi)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的相對偏差小于0.01%、磁場與z軸的夾角小于0.01度，磁場的均勻性極高.

3.2 4個線圈產(chǎn)生的均勻性較高磁場分析

圖4為4個線圈產(chǎn)生的均勻性較高磁場在xOz坐標(biāo)面上的分布.此時，3個參量的取值分別是α1=0.2500、α2=0.9966和β=2.4033.可以發(fā)現(xiàn)，在xOz坐標(biāo)面上，相對于線圈系統(tǒng)中心點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度，在|x|<0.3a及|z|<0.7a的范圍內(nèi)，磁感應(yīng)強(qiáng)度x分量的起伏小于1%、z分量的起伏小于1%，磁場的均勻性總體較高.在|x|<0.53a及|z|<0.63a的范圍內(nèi)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的相對偏差小于1%、磁場與z軸的夾角小于1度，磁場的均勻性較低；在|x|<0.4a及|z|<0.5a的范圍內(nèi)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的相對偏差小于0.1%、磁場與z軸的夾角小于0.1度，磁場的均勻性較高；在|x|<0.3a及|z|<0.35a的范圍內(nèi)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的相對偏差小于0.01%、磁場與z軸的夾角小于0.01度，磁場的均勻性極高.可見，4線圈磁場無論在均勻性還是在方向性方面，都明顯優(yōu)于方形亥姆霍茲線圈磁場.

(a) |Bx|/Bf00m的分布

4 結(jié)論

用4個平行共軸等大載流方線圈在小區(qū)域產(chǎn)生勻強(qiáng)磁場的方法簡單易行，對4線圈系統(tǒng)在3種具體情況下磁場均勻性的分析表明，建立的4線圈系統(tǒng)磁感應(yīng)強(qiáng)度表達(dá)式和產(chǎn)生均勻性最佳磁場的條件是正確的和可行的.主要結(jié)論有：1)在最佳條件下，4個平行共軸等大載流方線圈在線圈中心區(qū)域內(nèi)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度對中心處磁感應(yīng)強(qiáng)度的相對偏差與(z/a)6成正比.2)在最佳狀態(tài)下，4線圈系統(tǒng)能夠在大約|z|<0.35a及|x|<0.3a的范圍內(nèi)，產(chǎn)生磁感應(yīng)強(qiáng)度相對偏差小于0.01%、磁場方向偏差小于0.01度的磁場.3)與方形亥姆霍茲線圈相比，四線圈的磁場在均勻性、方向性等方面都有明顯優(yōu)勢.

(a) |Bx|/Bf00m的分布