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      數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

      2021-06-24 08:06:39洪偉強(qiáng)
      關(guān)鍵詞:人文價(jià)值數(shù)形結(jié)合思想數(shù)學(xué)素養(yǎng)

      洪偉強(qiáng)

      【摘要】高考大綱明確指出:高考是在考查基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí),注重能力的考查,確立以能力立意命題的指導(dǎo)思想,將知識(shí)、能力和素質(zhì)融為一體,全面考查學(xué)生的綜合素質(zhì).這就要求我們的教學(xué)要寓知識(shí)、技能、方法、思想于一體,在教學(xué)過(guò)程中不斷進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的滲透,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng),充分展現(xiàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值和人文價(jià)值.本文論述了應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解題的方法,通過(guò)例題講述這一重要數(shù)學(xué)思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用,并說(shuō)明了運(yùn)用這種思想解題的有效性與優(yōu)越性.

      【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合思想;滲透;數(shù)學(xué)素養(yǎng);數(shù)學(xué)思想;人文價(jià)值

      在教育教學(xué)實(shí)踐中,我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生在解題時(shí)往往不愿作圖,或作不好圖,不善用圖,常常在解題時(shí)束手無(wú)策,陷入困境.實(shí)踐證明,如果充分利用數(shù)形結(jié)合思想尋找解題思路,便能使問(wèn)題化難為易,化繁為簡(jiǎn),從而得解.所謂數(shù)形結(jié)合思想,就是根據(jù)數(shù)學(xué)問(wèn)題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系,在分析其代數(shù)含義的基礎(chǔ)上揭示其幾何意義,使數(shù)量關(guān)系和空間圖形巧妙和諧地結(jié)合起來(lái),并且充分利用這種結(jié)合尋找解題思路,使問(wèn)題得到解決的數(shù)學(xué)思想方法.它可以使代數(shù)問(wèn)題幾何化,幾何問(wèn)題代數(shù)化.華羅庚先生說(shuō)過(guò):數(shù)缺形時(shí)少直觀,形少數(shù)時(shí)難入微;數(shù)形結(jié)合百般好,隔離分家萬(wàn)事休.

      高中數(shù)學(xué)中常用到數(shù)形結(jié)合的題型主要有:一是有關(guān)取值范圍及最大值、最小值的問(wèn)題;二是用代數(shù)方法較復(fù)雜、較難或無(wú)法下手的問(wèn)題.常用的“結(jié)合”有:一是利用某些數(shù)學(xué)概念具有的幾何意義;二是利用函數(shù)與圖像的對(duì)應(yīng)關(guān)系;三是利用曲線與方程、不等式的對(duì)應(yīng)關(guān)系等.

      高中數(shù)學(xué)中常用到數(shù)形結(jié)合的“形”是:數(shù)軸、坐標(biāo)軸(系)、圖像、圖形、單位圓等.

      1 數(shù)軸

      1.1 借助數(shù)軸進(jìn)行集合的運(yùn)算

      例1 設(shè)A={x| |x-a|<2},B=x2x-1x+2<1,若AB,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

      解析 解不等式得A=(a-2,a+2),B=(-2,3),

      要使AB,借助數(shù)軸,如圖1,

      則a-2≥-2且a+2≤3,則0≤a≤1,

      即a的取值范圍是0≤a≤1.

      評(píng)注 我們?cè)谇蠛瘮?shù)的定義域、解不等式組時(shí)常常借助數(shù)軸,它比較直觀、形象.

      1.2 借助數(shù)軸解有理高次不等式

      例2 解不等式x2+2x-23+2x-x2

      解析 移項(xiàng),整理,將原不等式化為

      x3-x2-x-2-(x2-2x-3) <0 (x-2)(x2+x+1)(x-3)(x+1) >0x-2(x-3)(x+1) >0

      借助數(shù)軸,如圖2,利用數(shù)軸標(biāo)根法,可得原不等式的解集為{x| -13}.

      1.3 借助數(shù)軸求函數(shù)的最值

      例3 求函數(shù)y=|x-2|+|x+3|的最小值.

      解析 |x-2|+|x+3|的幾何意義是:在數(shù)軸上求一點(diǎn)P,使其到兩定點(diǎn)-3和2的距離之和最小,顯然當(dāng)點(diǎn)P在-3和2之間時(shí),其距離之和最小,最小值是5.

      評(píng)注 這里運(yùn)用了絕對(duì)值的幾何意義.

      2 函數(shù)的圖像

      高中階段的函數(shù)有:基本初等函數(shù)(I)、基本初等函數(shù)(II).前者包括:正(反)比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù);后者是指三角函數(shù),主要是正(余)弦函數(shù)、正切函數(shù)等.我們要熟練掌握它們的圖像的特征,以及它們的平移、對(duì)稱和翻折等變換.

      2.1 借助函數(shù)的圖像求函數(shù)的定義域

      例4 設(shè)0≤a<1時(shí),函數(shù)f(x)=(a-1)x2-6ax+a+1恒為正,求f(x)的定義域.

      分析 若將f(x)改寫成g(a)(0≤a<1),可知g(a)的圖像是一條線段(無(wú)右端點(diǎn)),且位于a軸上方.

      解析 設(shè)g(a)=(a-1)x2-6ax+a+1=(x2-6x+1)a+1-x2(0≤a<1),則g(a)是定義在[0,1)上的一次函數(shù)或常函數(shù),故其圖像是條線段(有左端點(diǎn)無(wú)右端點(diǎn)).由已知,得g(a)>0恒成立,故線段應(yīng)在a軸的上方,如圖3,則g(0)>0且g(1)≥0,即1-x2>0且x2-6x+1+1-x2≥0,所以-1

      評(píng)注 將f(x)改寫成g(a),利用g(a)的圖像使本題迅速得解.

      2.2 借助函數(shù)的圖像求函數(shù)的值域(最值)

      例5 如果奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[3,7]上是增函數(shù),且最小值為5,那么f(x)在區(qū)間[-7,-3]上是(? ).

      A.增函數(shù)且最小值為-5

      B.增函數(shù)且最大值為-5

      C.減函數(shù)且最小值為-5

      D.減函數(shù)且最大值為-5

      解析 利用函數(shù)的性質(zhì),作出其草圖,如圖4,則選B.

      例6 求函數(shù)y=x2+2x+2+x2-6x+13的最小值.

      解析 此題應(yīng)研究式子的幾何意義.

      y=x2+2x+2+x2-6x+13? =x+12+1+x-32+4? =x+12+0-12+x-32+0-22.

      其幾何意義是:在x軸上求一點(diǎn)P(x,0),使其到兩定點(diǎn)A(-1,1), B (3,2)的距離之和最小.

      如圖5,作B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′3,-2,

      連接AB′,與x軸相交于P,則

      ymin=|AB′|=(-1-3)2+(1+2)2=5.

      評(píng)注 這里利用了式子的幾何意義,使代數(shù)問(wèn)題的解答簡(jiǎn)單明了,也極大拓寬了我們的解題思路.首先要揭示代數(shù)問(wèn)題的幾何含義,把代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成幾何問(wèn)題,然后將符合題設(shè)條件的幾何圖形畫出來(lái),最后對(duì)直觀的幾何圖形進(jìn)行觀察、思考,使我們可以更清晰地找出解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

      2.3 借助函數(shù)圖像求方程的根的問(wèn)題

      例7 方程 lg x=sin x的實(shí)根有個(gè).

      解析 此方程無(wú)法用代數(shù)的方法將其根求出,只能借助函數(shù)y=lg x和y=sin x在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖像,觀察交點(diǎn)個(gè)數(shù),得到原方程根的個(gè)數(shù).

      如圖6,可見(jiàn)它們有3個(gè)交點(diǎn),故方程lg x=sin x的實(shí)根有3個(gè).

      例8 已知0

      A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.1個(gè)或2個(gè)或3個(gè)

      解析 在同一平面直角坐標(biāo)系里作出函數(shù)y=a|x|和y=|logax|的圖像,如圖7,立即可得它們有2個(gè)交點(diǎn),故選B.

      例9 已知a是實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)=2ax2+2x-3-a.如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[-1,1]上有零點(diǎn),求a的取值范圍.

      解 若a=0,f(x)=2x-3,顯然在 [-1,1]上沒(méi)有零點(diǎn),所以 a≠0.

      由題,Δ=4+8a(3+a)=8a2+24a+4=0,得a=-3±72.

      ①當(dāng)a=-3-72時(shí),y=f(x)恰有一個(gè)零點(diǎn)在[-1,1]上;

      ②當(dāng) f(-1)·f(1)=(a-1)(a-5)≤0,即1≤a≤5時(shí),y=f(x)也恰有一個(gè)零點(diǎn)在[-1,1]上;

      ③當(dāng)y=f(x)在[-1,1]上有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí),作圖8、圖9,則得

      a>0,Δ=8a2+24a+4>0,-1<-12a<1,f(1)≥0,f(-1)≥0,或a<0,Δ=8a2+24a+4>0,-1<-12a<1,f(1)≤0,f(-1)≤0,

      解得a≥5或a<-3-72.

      因此a的取值范圍是a≥1或a≤-3-72 .

      評(píng)注 一元二次方程的實(shí)根分布問(wèn)題常借助一元二次函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)特征來(lái)轉(zhuǎn)化求解.

      2.4 借助函數(shù)的圖像解不等式

      例10 利用函數(shù)圖像解不等式:4-x2>-x-1.

      解析 令y=4-x2,它的圖像是以原點(diǎn)為圓心、半徑為2的半圓,如圖10.

      畫出直線y=-x-1.設(shè)直線與半圓的交點(diǎn)為A,

      則不等式的解為xA

      解方程4-x2=-x-1(-2≤x≤-1),

      其解為xA=-1-72,

      所以原不等式的解集為x-1-72

      評(píng)注 該不等式為無(wú)理不等式,若將其轉(zhuǎn)化為有理不等式組求解,要分類討論,比較復(fù)雜,而利用圖像、不等式與方程之間的關(guān)系解題,就比較簡(jiǎn)潔、直觀.

      3 數(shù)形結(jié)合思想在解析幾何中的應(yīng)用

      只有對(duì)解析幾何中定義、定理、公式以及圓錐曲線的方程、幾何性質(zhì)非常熟悉,才能夠靈活轉(zhuǎn)化.

      例11 設(shè)P是雙曲線x23-y2=1右支上一點(diǎn),F(xiàn)2為右焦點(diǎn),已知A(3,1),求|PA|+|PF2|的最小值.

      解析 本題應(yīng)由幾何意義求解.設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為F1,由雙曲線的第一定義知,

      |PF1|-|PF2|=2a=23,

      所以|PF2|=|PF1|-23,

      所以PA+|PF2|=|PA|+|PF1|-23≥|AF1|-23=26-23.

      當(dāng)且僅當(dāng)A,P,F(xiàn)1三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào).

      高中數(shù)學(xué)具有知識(shí)量大、難度大、綜合性強(qiáng)、系統(tǒng)性強(qiáng)、理論性強(qiáng)、對(duì)能力的要求高等特點(diǎn),所以在整個(gè)教學(xué)過(guò)程中,教師要時(shí)時(shí)刻刻滲透數(shù)學(xué)思想.數(shù)形結(jié)合的思想就是一個(gè)很重要的數(shù)學(xué)思想,也是分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的有力工具.在教學(xué)中,教師要善于捕捉知識(shí)之間的聯(lián)系,促成它們的轉(zhuǎn)化,要經(jīng)常鼓勵(lì)學(xué)生多類比,多聯(lián)想,多總結(jié),由簡(jiǎn)單到復(fù)雜,由低級(jí)向高級(jí),由模仿到創(chuàng)新,不斷構(gòu)建、完善自己的知識(shí)體系.這樣做一方面有利于學(xué)生牢固地掌握基礎(chǔ)知識(shí),同時(shí)有利于學(xué)生思維品質(zhì)的優(yōu)化,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

      數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí),不僅僅要善于解題,還要掌握具體問(wèn)題中滲透的本質(zhì)思想,挖掘更高層次的規(guī)律和方法,并升華為一類問(wèn)題的共性,然后用這個(gè)共性解決所有相關(guān)的問(wèn)題,這就是數(shù)學(xué)思想.

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