• 
    

    
    

      99热精品在线国产_美女午夜性视频免费_国产精品国产高清国产av_av欧美777_自拍偷自拍亚洲精品老妇_亚洲熟女精品中文字幕_www日本黄色视频网_国产精品野战在线观看 ?

      Equal-Width波方程的高精度守恒差分格式

      2021-06-29 07:08:26鐘瑞華程宏何育宇
      關(guān)鍵詞:對式將式差分

      鐘瑞華,程宏,何育宇

      (閩南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,福建漳州363000)

      1984年,Morrison 等[1]提出了Equal-Width 波方程,該方程多應(yīng)用于模擬一維波在具有色散過程的非線性介質(zhì)中的傳播.隨后,許多人對該方程進行了大量的研究.Gardner 等[2]用三次Β-樣條有限元方法模擬了電子束發(fā)射過程中孤立波的遷移和相互作用.Zaki[3]用Petrov-Galerkin 方法求解修正的Equal-Width方程,并使用五次Β-樣條有限元模型模擬孤子的產(chǎn)生、運動和孤立波的相互作用.Abdulkadir[4]采用線性Galarkin 有限元方法對Equal-Width 波方程進行了研究. Rui[5]利用平面動力系統(tǒng)分支理論方法研究了Equal-Width 波方程的孤波解和周期解.

      本文考慮如下Equal-Width波方程的初邊值問題

      其中μ是給定的正常數(shù).可以驗證,式(1)-式(3)具有如下守恒律

      首先建立式(1)-式(3)的三層線性差分格式,在時間上和空間上分別達到二階和四階精度,并證明所建立的差分格式的守恒性、收斂性和穩(wěn)定性,數(shù)值結(jié)果驗證了理論分析的可靠性.

      1 差分格式的構(gòu)造

      對求解區(qū)域[α,β]×[0,T]進行網(wǎng)格剖分,取空間步長h=(β-α)/J,時間步長τ=T/N,其中J、N為正整數(shù),記網(wǎng)格點xj=α+jh(0 ≤j≤J),tn=nτ(0 ≤n≤N).記

      對任意un、vn∈定義如下記號[6]:

      對式(1)-式(3)考慮如下差分格式:

      其中

      式(6)-式(8)可展開為一個五對角矩陣的線性方程組,可用“追趕法”求解.

      由于式(6)-式(8)是三層線性隱式格式,所以需要下面的兩層格式來計算u1

      2 差分格式的守恒性

      引理1[7]對任意的un、vn∈,則

      當(dāng)un=vn時,有

      引理2[7]對任意的un∈,則

      引理3[7]對任意的un∈則有

      引理4[7](離散Sobolev不等式)對任意的un∈Z0h,存在兩個正常數(shù)a和b,使得

      定理1設(shè)則式(6)-式(8)滿足質(zhì)量守恒和能量守恒,即

      證明將式(6)兩端同時乘以h后對j從1到J- 1求和,根據(jù)邊界條件,得

      由Qn的定義,對上式的n遞推即可得Qn=Qn-1= …=Q0.

      將式(9)與2uˉn作內(nèi)積,由引理1可得

      由En的定義,對式(10)的n遞推即可得En=En-1= …=E0.

      3 差分格式解的存在唯一性和有界性

      定理2式(6)-式(8)的解un是唯一存在的.

      證明u0由式(7)確定,用C-N格式計算u1,則u0和u1是唯一確定的.設(shè)u0,u1,…,un(n≤N- 1)是唯一可解的,考慮式(4)中的un+1,我們有

      將式(11)與un+1作內(nèi)積,又由引理2和引理3得

      即||un+1||= 0,從而差分格式是唯一可解的.

      定理3設(shè)則式(6)-式(8)的解滿足

      證明由引理3和定理1,可得

      其中

      由于μ是正常數(shù),即||un||≤C,||unx||≤C, 根據(jù)引理4,有 ||un||∞≤C.

      4 差分格式解的收斂性與穩(wěn)定性

      引理5[7](離散Gronwall不等式)假設(shè){Gn/n≥0} 是非負(fù)數(shù)列,且滿足

      其中A和B均為非負(fù)數(shù),則Gn=AeBnk,n= 0,1,2,….

      定理4設(shè)u0∈H02[α,β],u(x,t)∈C6,3[α,β],式(6)-(8)的解un依L∞范數(shù)收斂到式(1)-式(3)的精確解,并且收斂階為O(τ2+h4).

      證明令en=Un-un,則式(6)-式(8)的截斷誤差為

      將式(12)與2eˉn作內(nèi)積,由引理1得

      根據(jù)引理3及定理3,可得

      同時,有

      同理,有

      將式(14)-式(16)代入式(13),可得

      將式(17)從1到n累加,有

      其中τ,C是正常數(shù),根據(jù)An的定義和引理3,有

      其中c0= min(1,μ).由式(18)-式(19)得

      令Gn= ||en||2+ ||en+1||2+ ||enx||2+ ||enx+1||2,則式(20)可以寫成其中

      從而

      式(21)可以寫成

      對于τ足夠小,即1 -Cτ>0,有

      根據(jù)引理5,得

      即有||en||≤C(τ2+h4),||enx||≤C(τ2+h4).由引理4,可得||en||∞≤C(τ2+h4).定理得證.

      5 數(shù)值實驗

      為驗證式(6)-式(8)的守恒性和穩(wěn)定性,選取以下模型問題[8]:

      初始條件為

      已知式(22)-式(23)的精確解為

      設(shè)

      其中Ujn=u(xj,tn)為精確解,un

      j為式(6)-式(8)的數(shù)值解,定義時間和空間的收斂階為

      取γ=0.1,μ= 1,α=- 20,β=30,T=1,x0= 10,分別取h= 0.1,τ= 1 和h= 0.05,τ= 1對式(6)-式(8)進行計算,不同時刻的數(shù)值解分別見圖1(左)和圖1(右).表1 驗證了格式在時間上具有二階收斂精度,表2 驗證了格式在空間上具有四階收斂精度,表3 驗證了格式的質(zhì)量和能量守恒性.以上結(jié)果表明所建立的差分格式(6)-式(8)是可靠和有效的.

      圖1 h = 0.1,τ = 1(左)和h = 0.05,τ = 1(右)時不同時刻的數(shù)值解Fig.1 Numerical solution at different times with h = 0.1,τ = 1(left)and h = 0.05,τ = 1 (right)

      表1 h = 0.05 和T=1時的誤差和時間收斂階Tab.1 Errors and temporal convergence orders with h = 0.05 and T=1

      表2 τ = h2 和T=40時的誤差和空間收斂階Tab.2 Errors and spatial convergence orders with τ = h2 and T=40

      表3 h = 0.25 和h = 0.5 時,不同T 下的守恒量Tab.3 The conserved quantities at different T with h = 0.25 and h = 0.5

      猜你喜歡
      對式將式差分
      關(guān)于不定方程x2-3y4=p(p=13,37,61,73)
      關(guān)于不定方程x2-pqy4=16的正整數(shù)解
      AKNS方程的三線性型及周期孤立波解
      關(guān)于不定方程x2-8y4=M(M=17,41,73,89,97)*
      數(shù)列與差分
      因子von Neumann代數(shù)上非線性*-Lie導(dǎo)子的刻畫
      單自由度系統(tǒng)
      如何辨別鼎足對與燕逐飛花對
      阻尼系統(tǒng)的特征
      基于差分隱私的大數(shù)據(jù)隱私保護
      吴江市| 龙川县| 湘阴县| 敖汉旗| 东阳市| 穆棱市| 襄樊市| 桓台县| 调兵山市| 那曲县| 鸡泽县| 亚东县| 根河市| 大英县| 怀来县| 仪陇县| 乌拉特中旗| 高密市| 洛扎县| 芒康县| 巴彦淖尔市| 交口县| 共和县| 花莲市| 西盟| 蕲春县| 临高县| 墨竹工卡县| 缙云县| 延寿县| 尼木县| 九江市| 成都市| 禄丰县| 佛坪县| 霞浦县| 秦皇岛市| 吉木萨尔县| 德州市| 南江县| 长寿区|