李伊華 陳萍

[摘 要]考慮了常方差彈性系數(shù)定價模型（CEV）下的障礙期權(quán)定價，通過Multiquadics擬插值法逼近的方法重新描述了障礙期權(quán)的期權(quán)定價公式。給出了差分方程的數(shù)值解法，并對其一致性和收斂性進行了分析，最后通過數(shù)值模擬分析驗證Multiquadics擬插值法在障礙期權(quán)上定價的穩(wěn)定性和精度.

[關(guān)鍵詞]Multiquadics;CEV模型;障礙期權(quán)

[DOI]10.13939/j.cnki.zgsc.2021.18.062

1 引言

隨著經(jīng)濟全球化的進一步加速，金融市場上的價格動蕩越來越嚴重，由此引發(fā)的各種風(fēng)險已成為經(jīng)濟學(xué)家和投資者關(guān)注和研究的熱點問題。在此基礎(chǔ)上，金融市場上的期權(quán)等衍生品有了更快的發(fā)展和更新?lián)Q代。金融衍生產(chǎn)品在對于防范系統(tǒng)風(fēng)險上有得天獨厚的優(yōu)勢，能用來避免市場風(fēng)險，也可用來套利。因此越來越多的學(xué)者投入金融衍生產(chǎn)品定價研究之中去。怎樣建立一種更符合市場條件的模型具有很強的現(xiàn)實意義。

期權(quán)的發(fā)展是遵循著市場經(jīng)濟的需求，也吸引了廣大學(xué)者的關(guān)注。

Blacks 和Scholes在1973年提出了著名的Black-Scholes期權(quán)定價公式，并且在大多數(shù)情況下可以滿足期權(quán)定價。所需的前提條件太苛刻，而Black-Scholes模型的所提出的條件并不符合現(xiàn)實現(xiàn)狀。1976年，Merton在原來基礎(chǔ)上加入了跳躍過程，得出了當(dāng)標的資產(chǎn)價格符合跳躍擴散下時，歐洲期權(quán)的定價公式。從1990年開始，Hull 和 White 研究了隨機波動下的歐洲期權(quán)的定價，并得到了著名的赫爾懷特模型。Ndogmo和 Ntwiga在 BS模型下通過確定最優(yōu)邊界條件提出了一種隱式差分法定價了各種類型的障礙期權(quán)。Geman和Yor在1996通過 Laplacea變換得出雙障礙期權(quán)的定價公式模型。

這些結(jié)果都是在具有常值波動率的幾何布朗運動假設(shè)的BS模型下給出的。在1975年Cox提出了常彈性系數(shù)下的CEV模型。文章主要利用非均勻網(wǎng)格上的MQ擬插值法研究CEV模型下歐式障礙期權(quán)的定價問題。

2 Multiquadics擬插值法

Franke曾經(jīng)在文章里說道：MQ函數(shù)需要從近似解有效性、精確度，算法的計算量和速度，電腦配置內(nèi)存大小，結(jié)果的穩(wěn)定性幾個角度考慮，在全部的散亂數(shù)據(jù)插值法中MQ插值方法是表現(xiàn)最優(yōu)異的。首先從MQ-B 樣條出發(fā)，來進行擬插值的構(gòu)建。

2.1 MQ-B 樣條高階擬插值及其性質(zhì)

特別地，考慮一個散亂點集{xj}

3 CEV模型下的障礙期權(quán)定價

3.1 CEV期權(quán)定價模型

定義2.1CEV其股票價格過程滿足：

dS=μSdt+σSαdz

其中，0≤α≤1，且α是常系數(shù)。

CEV模型是Cox和Ross提出的常系數(shù)彈性方差模型，克服了隨著股價變動的波動率大小的情況，也就是我們所說的“波動率微笑問題”。

當(dāng)α=1/2時，就得到絕對擴散模型，模型中股票價格越高，其波動率越低，他們是呈反比。當(dāng)α=1時，這和BS模型就保持了一致，此時波動率不會隨著股票價格的波動而變動，可知當(dāng)資產(chǎn)價格符合幾何布朗運動，其實是CEV模型的特例。

3.2 CEV模型下的障礙期權(quán)定價公式

本節(jié)采用期權(quán)定價的模型是CEV模型（常方差彈性模型），期權(quán)價格滿足的微分方程是：

vt+rSvS+12σ2S2α2vS2-rv=0，其中r為市場上的無風(fēng)險利率，σ為股票價格的波動率，S為股票價格。

以向上敲出看跌障礙期權(quán)為例，其邊界條件為：

V（0，t）=K，V（S，T）=max（K-ST，0）I{St

其中K為到期日期權(quán)的執(zhí)行價格，ST為到期日價格。

在這里做一個簡單的轉(zhuǎn)化：設(shè)x=log（S），代入上式得：

vt+（r-12σ2exp（2αx-2x））vx+12σ2exp（2αx-2x）2vx2-rv=0（1）

其邊界條件為：

v（0，t）=K，v（S，T）=max（K-exp（x），0）I{x

3.3 Multiquadic擬插值法求解

CEV模型下的障礙期權(quán)定價

構(gòu)造矩陣

Vx=ψ1V+θ（h），Vxx=ψ2V+θ（h2/3）在這里

ψ1=（ψ′（xj-xi）），ψ2=（ψ″（xj-xi）），V=（0，…，v（xi，t），…）T，Vx=（0，…，vx（xi，t），…）T，Vxx=（0，…，vxx（xi，t），…）T。

將式（1）轉(zhuǎn)化為：

Vt+Dψ1V+Eψ2V=rV（2）

這里D=dig（r-12σ2exp（2αx-2x）），E=dig（12σ2exp（2αx-2x））x=（0，…，xi，…）T

為了便于求解常微分方程，將其轉(zhuǎn)化為如下形式：

Vt=FV+rV（3）

這里矩陣F=（-Dψ1-Eψ2）。

為了求解在這里應(yīng)用差分法，通?？梢圆捎萌缦聨追N常用的差分格式：顯式格式、隱式差分和Crank-Nichol son差分格式。

采取顯示差分格式中，簡單來說就是將時間變量做向前差分。

Vn+1=Vn+ΔtFVn+1+rΔtV n（4）

3.4 Multiquadics擬插值法下在CEV模型下的一致性和收斂性

在這里驗證顯示差分格式下擬插值法下的一致性和收斂性。

定理2.2定義的帶有紅利支付的歐式期權(quán)定價模型在Multiquadics擬插值法下得到（2.4）是具有一致性的，求得期望和方差為：

Enj=xj+Δt（r-12σ2exp2（αxj-xj））+Ο（Δt·h23）Dnj=σ2exp2（αxj-x）Δt+Ο（Δt2）+Ο（Δt·h23）

定理2.3Multiquadics擬插值法進行CEV模型下的障礙期權(quán)定價下的有限差分方法時，使用x=log（S）作為基礎(chǔ)變量，通過變量的轉(zhuǎn)換，φ″（x）是正定函數(shù)，其概率密度函數(shù)是穩(wěn)定的且收斂的。

3.5 基本Multiquadics擬插值法下的CEV模型的障礙期權(quán)定價模擬分析

在前面的理論模型分析中，得知基于Multiquadics擬插值函數(shù)逼近的有限差分方法計算相對簡單，接下來的模擬分析中為了突出Multiquadics準插值方法的穩(wěn)定性和精確性，在本節(jié)中列出了一個示例，主要對蒙特卡洛模擬、傳統(tǒng)的格子有限差分法以及基于Multiquadics擬插值函數(shù)逼近的有限差分方法三者的數(shù)值結(jié)果進行對比，從而體現(xiàn)Multiquadics擬插值函數(shù)在障礙期權(quán)定價上的精度和穩(wěn)定性。

考慮一個6個月到期的向上敲出看跌障礙期權(quán)，障礙值B=110

取S0=100，r=0.05，q=0，σ=0.05，T=1，α=1/4，α=1/2，α=2/3

表1列舉了不同的彈性系數(shù)下Multiquadics擬插值法、格子有限差分法和蒙特卡洛模擬計算結(jié)果。

表1通過以蒙特卡洛模擬法的值為標準，傳統(tǒng)的格子有限差分法與Multiquadics擬插值法對比得出。Multiquadics擬插值方法提供了高度精確且快速的方案來逼近CEV模型下的障礙期權(quán)價格，Multiquadics擬插值法方法只需要較少的迭代數(shù)即可得到理想的精度，收斂速度也更快。在保證同樣精度條件下，Multiquadics擬插值法的計算時間也明顯小于蒙特卡洛模擬和格子有限差分法。

4 結(jié)論

文章通過從MQ-B樣條出發(fā)構(gòu)造了更簡便的Multiquadics擬插值方法進行定價方法。對CEV模型下的障礙期權(quán)進行定價，將其定價公式轉(zhuǎn)化為PDE方程，在利用有限差分法來求得期權(quán)的價格。對其一致性和收斂性進行了分析，通過數(shù)值模擬分析驗證Multiquadics 擬插值法的穩(wěn)定性和精確性。

參考文獻：

[1]BLACK F， SCHOLES M.The pricing of options and corporate liabilities[J].J Political Economy ， 1973， 81（5）：637- 659 .

[2]ROBERT M. An Intertemporal Capital Asset Pricing Model[J].Econometrica，1973，41（5）.

[3]HULL J，WHITE A. Pricing Interest Rate Derivative Securities[J].The Review of Financial Studies，1990，3（4）.

[4]NDOGMO C，NTWIGA B. High-order accurate implicit methods for barrier option pricing[J].Applied Mathematics and Computation，2011，218（5）：2210-2224.

[5]GEMAN H，YOR M.Pricing and hedging double-barrier options： A Probabilistic Approach[J].Mathematical Finance，1996，6（4）.

[6]COX J. Notes on Option Pricing I： Constant Elasticity of Variance Diffusions[D].Los Angeles：Stanford University，Working Paper，1975.

[7]FRANKE R.Scattered data interpol-ation： test of some methods [J].Math. Comput.， 1982（38）： 181-200.

[8]BEATSON P. Convex Approximation by Splines[J].SIAM Journal on Mathe-matical Analysis，2012，12（4）.

[9]張勝良. 基于徑向基函數(shù)的無網(wǎng)格辛算法[D].上海：復(fù)旦大學(xué)，2013.

[作者簡介]李伊華（1996—），男，湖南邵陽人，南京理工大學(xué)碩士研究生，研究方向：期權(quán)等衍生證券低定價。