網(wǎng)絡(luò)攻擊下雙層結(jié)構(gòu)多智能體系統(tǒng)一致性

王云燕，胡愛花

（江南大學(xué)理學(xué)院，江蘇無錫 214122）

（*通信作者電子郵箱aihuahu@jiangnan.edu.cn）

0 引言

近年來，層狀結(jié)構(gòu)的多智能體系統(tǒng)在萬維網(wǎng)、電網(wǎng)、社交網(wǎng)絡(luò)和基因網(wǎng)絡(luò)等現(xiàn)實(shí)世界的普遍應(yīng)用成功吸引了眾多研究學(xué)者的關(guān)注。層狀網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的多智能體系統(tǒng)可通過在層內(nèi)設(shè)計(jì)局部控制策略實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的全局目標(biāo)，從而顯著降低網(wǎng)絡(luò)模型設(shè)計(jì)問題的維數(shù)，此外系統(tǒng)模型為符合實(shí)際需要還可以設(shè)計(jì)成分散的形式，故層狀網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的多智能體系統(tǒng)在各個(gè)領(lǐng)域（如控制方面）都得到了廣泛研究［1-5］。例如文獻(xiàn)［6］中將電力系統(tǒng)建模為由設(shè)備層和信息層組成的雙層多智能體系統(tǒng)，對(duì)電力系統(tǒng)阻尼控制器的性能進(jìn)行了評(píng)估和優(yōu)化；文獻(xiàn)［7］中通過構(gòu)建節(jié)點(diǎn)到節(jié)點(diǎn)的通信框架，提出了一種精確協(xié)同控制策略來解決工業(yè)工廠多個(gè)子系統(tǒng)的分布式自適應(yīng)一致性問題。

本文研究的是由領(lǐng)導(dǎo)層和跟隨者層組成的雙層結(jié)構(gòu)的多智能體系統(tǒng)，以微電網(wǎng)群優(yōu)化為例建模：領(lǐng)導(dǎo)層系統(tǒng)為多微電網(wǎng)區(qū)域優(yōu)化自治，跟隨者層系統(tǒng)設(shè)計(jì)主動(dòng)配電網(wǎng)交互優(yōu)化策略。以多機(jī)械臂電機(jī)同步為例建模：領(lǐng)導(dǎo)層系統(tǒng)為多機(jī)械臂電機(jī)控制，跟隨者層設(shè)計(jì)單機(jī)械臂電機(jī)控制策略，諸如此類。多智能體系統(tǒng)滲入到現(xiàn)實(shí)生活的方方面面，而層狀網(wǎng)絡(luò)的多智能體系統(tǒng)又具有一定優(yōu)越性，故研究雙層網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的多智能體系統(tǒng)一致性有很強(qiáng)的理論價(jià)值和實(shí)際意義。

已有學(xué)者進(jìn)行了雙層網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)多智能體系統(tǒng)相關(guān)的理論研究：文獻(xiàn)［8］中考慮了領(lǐng)導(dǎo)層和跟隨者層包含相同的有向通信拓?fù)?，結(jié)合輸入時(shí)延和李雅普諾夫函數(shù)研究了隨機(jī)抽樣下雙層多智能體系統(tǒng)的均方點(diǎn)對(duì)點(diǎn)一致性問題；文獻(xiàn)［9］中針對(duì)領(lǐng)導(dǎo)層與跟隨者層相同的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，采用周期采樣和事件觸發(fā)控制相結(jié)合實(shí)現(xiàn)了多智能體系統(tǒng)的一致控制；不同于文獻(xiàn)［8-9］，文獻(xiàn)［10］在領(lǐng)導(dǎo)層和跟隨者層系統(tǒng)中給出異構(gòu)的內(nèi)部通信拓?fù)?，在通信邊受攻擊的情形下分析了領(lǐng)導(dǎo)層智能體節(jié)點(diǎn)和跟隨者層智能體節(jié)點(diǎn)間的點(diǎn)對(duì)點(diǎn)一致性；文獻(xiàn)［11-15］中相應(yīng)給出了切換、時(shí)延和間歇控制下的多智能體系統(tǒng)一致的理論結(jié)果。值得指出的是，文獻(xiàn)［8-15］中雙層網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的多智能體系統(tǒng)相鄰智能體節(jié)點(diǎn)間關(guān)系均為友好合作的，然而現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)中智能體間也會(huì)因?yàn)槊芊制缍a(chǎn)生競(jìng)爭(zhēng)對(duì)抗；同樣地，雙層網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的多智能體系統(tǒng)中智能體之間的關(guān)系可能同時(shí)包含合作和競(jìng)爭(zhēng)，用符號(hào)圖刻畫既包含友好合作也包含對(duì)抗競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系的多智能體系統(tǒng)，在一致性協(xié)議下，智能體的狀態(tài)最終趨于模值相同而符號(hào)相反的兩部分，概括為二分一致性問題。文獻(xiàn)［16］中研究了通信邊包含合作與競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系的多智能體系統(tǒng)的二分一致問題；文獻(xiàn)［17］中證明了當(dāng)有向符號(hào)圖具有生成樹時(shí)，系統(tǒng)中智能體能達(dá)到區(qū)間二分一致；文獻(xiàn)［18］中研究了輸入飽和情形下多智能體系統(tǒng)的二分一致問題；另外，針對(duì)存在干擾、通信拓?fù)鋱D發(fā)生切換等情況，文獻(xiàn)［19-22］中給出了多智能體系統(tǒng)二分一致的相關(guān)結(jié)果；而文獻(xiàn)［16-22］中對(duì)單層多智能體系統(tǒng)進(jìn)行研究，考慮到現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)的多樣性和復(fù)雜性，本文圍繞二分一致問題針對(duì)雙層網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的多智能體系統(tǒng)展開。

在實(shí)際應(yīng)用中，由于通信環(huán)境的不穩(wěn)定，多智能體系統(tǒng)會(huì)受到很多干擾，例如網(wǎng)絡(luò)攻擊。網(wǎng)絡(luò)攻擊會(huì)破壞智能體與智能體之間的通信鏈路，從而破壞系統(tǒng)的性能。文獻(xiàn)［23］中研究了受攻擊的網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)并應(yīng)用于電力系統(tǒng)；文獻(xiàn)［24］中基于智能體的分布式能量存儲(chǔ)系統(tǒng)給出了在網(wǎng)絡(luò)攻擊下的分布式控制方案；文獻(xiàn)［25］中研究了傳感器損耗和網(wǎng)絡(luò)攻擊下觀測(cè)器的事件觸發(fā)一致控制問題。因而研究網(wǎng)絡(luò)攻擊下的雙層網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的多智能體系統(tǒng)的點(diǎn)對(duì)點(diǎn)二分一致問題具有一定的實(shí)際意義和理論價(jià)值。

基于以上討論，受已有成果的啟發(fā)，本文進(jìn)一步研究雙層網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的多智能體系統(tǒng)，其中跟隨者層系統(tǒng)智能體節(jié)點(diǎn)間包含對(duì)抗競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系?？紤]領(lǐng)導(dǎo)層的初始通信拓?fù)鋱D為非負(fù)圖，跟隨者層的初始通信拓?fù)鋱D為符號(hào)圖，基于李雅普諾夫穩(wěn)定性理論、圖論知識(shí)和線性矩陣不等式給出了在受網(wǎng)絡(luò)攻擊情形下領(lǐng)導(dǎo)層實(shí)現(xiàn)一致、雙層網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的多智能體系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)二分一致的充分條件，并對(duì)雙層結(jié)構(gòu)的多智能體系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值仿真來驗(yàn)證理論的正確性。

本文中所涉及的一些數(shù)學(xué)符號(hào)說明如下：Rn×n表示n×n階實(shí)矩陣集合；In表示n階單位矩陣；sgn(·)表示符號(hào)函數(shù)；符號(hào)?表示矩陣的克羅內(nèi)克積；λmax(Q)表示矩陣Q的最大特征值，λmin(Q)表示矩陣Q的最小特征值；上標(biāo)“T”表示矩陣的轉(zhuǎn)置；‖·‖表示向量的歐幾里得范數(shù)；矩陣P＞0表示矩陣P是正定的。

1 預(yù)備知識(shí)和主要問題

本文研究一類包含領(lǐng)導(dǎo)層和跟隨者層的雙層網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的多智能體系統(tǒng)，領(lǐng)導(dǎo)層和跟隨者層分別包含N個(gè)智能體，其中，領(lǐng)導(dǎo)層的智能體只可以接收其他相鄰的領(lǐng)導(dǎo)者智能體傳遞的信息，跟隨者層中的智能體既可以接收其他跟隨者智能體傳遞的信息也可以接收領(lǐng)導(dǎo)者智能體傳遞的信息。兩層系統(tǒng)部分對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)間存在牽制關(guān)系。

1.1 圖論知識(shí)

以下用圖論知識(shí)［26］符號(hào)化雙層網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的多智能體系統(tǒng)。令G1={V1，E1，A}表示領(lǐng)導(dǎo)層系統(tǒng)的通信拓?fù)?，一個(gè)具有N個(gè)節(jié)點(diǎn)的有向非負(fù)圖，其中：V1=表示圖G1的節(jié)點(diǎn)集，節(jié)點(diǎn)的下標(biāo)集合為W={1，2，…，N}；E1={(j，i)：aij＞0}表示G1的邊集，aij表示邊(j，i)的權(quán)值；A=[aij]∈RN×N為G1的鄰接矩陣，aij≥0。若圖中任意兩節(jié)點(diǎn)和之間有路徑相連，則稱G1為連通圖。此外，若某個(gè)節(jié)點(diǎn)與系統(tǒng)中其他任一節(jié)點(diǎn)間都存在有向路徑，則稱圖G1包含有向生成樹且為根節(jié)點(diǎn)。令G2={V2，E2，B}表示跟隨者層系統(tǒng)的通信拓?fù)?，一個(gè)具有N個(gè)節(jié)點(diǎn)的符號(hào)圖，其中：V2=表示圖G2的節(jié)點(diǎn)集；E2={(j，i)：bij≠0}表示G2的邊集，bij表示邊(j，i)的權(quán)值；B=[bij]∈RN×N為G2的鄰接矩陣，bij＞0 時(shí)表示智能體節(jié)點(diǎn)i和智能體節(jié)點(diǎn)j之間是正連接（為友好合作關(guān)系），bij＜0 時(shí)表示智能體節(jié)點(diǎn)i和智能體節(jié)點(diǎn)j之間是負(fù)連接（為對(duì)抗競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系），bij=0 時(shí)表示智能體節(jié)點(diǎn)i和智能體節(jié)點(diǎn)j之間無連接。令圖G1和圖G2的拉普拉斯矩陣分別為RN×N，其中

注1 由于非負(fù)圖與符號(hào)圖的定義不同，所對(duì)應(yīng)的拉普拉斯矩陣也不同?？紤]到現(xiàn)實(shí)生活中事物之間聯(lián)系的多樣性和復(fù)雜性，研究包含符號(hào)圖的多智能體系統(tǒng)更具有實(shí)際意義。

定義1［27］若符號(hào)圖G2的節(jié)點(diǎn)集V2存在一組子集k=1，2，…，r，子集滿足條件：和=?(i≠j；i，j∈k)，則稱構(gòu)成了集合V2的一個(gè)劃分。

定義2［27］若符號(hào)圖G2中節(jié)點(diǎn)集V2存在一個(gè)二元?jiǎng)澐譂M足且對(duì)于任意節(jié)點(diǎn)而對(duì)?vi∈bij≤0，則稱符號(hào)圖G2結(jié)構(gòu)平衡，否則稱為結(jié)構(gòu)不平衡。

引 理1［28］若符號(hào)圖G2結(jié)構(gòu)平衡，則存在S=diag{σ1，σ2，…，σN}(σi=±1，i=1，2，…，N)，使 矩 陣SBS中所有元素非負(fù)，其中當(dāng)時(shí)，σi=1；而時(shí)σi=-1(q≠r；q，r∈{1，2})。

1.2 模型描述

考慮由2N個(gè)智能體組成的雙層網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的多智能體系統(tǒng)，其中領(lǐng)導(dǎo)層和跟隨者層分別有N個(gè)智能體，領(lǐng)導(dǎo)層中智能體節(jié)點(diǎn)的網(wǎng)絡(luò)模型描述為：

其中：i=1，2，…，N，xi(t) ∈Rn表示t時(shí)刻第i個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者智能體的狀態(tài)，A∈Rn×n為常數(shù)矩陣，aij為智能體與智能體間的連接權(quán)重，c為耦合權(quán)值。

跟隨者層中智能體節(jié)點(diǎn)的網(wǎng)絡(luò)模型描述為：

其中：i=1，2，…，N，yi(t) ∈Rn表示t時(shí)刻第i個(gè)跟隨者智能體的狀態(tài)，bij為智能體與智能體間的連接權(quán)重，di表示領(lǐng)導(dǎo)層中第i個(gè)智能體與跟隨者層中第i個(gè)智能體間的牽制權(quán)值。

由于通信環(huán)境的不穩(wěn)定，現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)經(jīng)常受到各種各樣的網(wǎng)絡(luò)攻擊，本文研究受攻擊的雙層網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的多智能體系統(tǒng)的一致性問題。以下舉例說明：

圖1 可以看出系統(tǒng)在時(shí)刻ti(i=1，2，…)受到網(wǎng)絡(luò)攻擊，每次受攻擊的時(shí)長為τi(i=1，2，…)。受網(wǎng)絡(luò)攻擊時(shí)，雙層網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的多智能體系統(tǒng)的智能體之間的連接邊斷開，不再進(jìn)行信息傳遞，而在攻擊結(jié)束后多智能體系統(tǒng)重新恢復(fù)之前的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)進(jìn)行交互。

圖1 網(wǎng)絡(luò)攻擊示意圖Fig.1 Schematic diagram of cyber-attack

受攻擊時(shí)領(lǐng)導(dǎo)層中智能體節(jié)點(diǎn)的網(wǎng)絡(luò)模型描述為：

同時(shí)，跟隨者層中智能體節(jié)點(diǎn)的網(wǎng)絡(luò)模型描述為：

對(duì)這個(gè)雙層網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的多智能體系統(tǒng)作出如下假設(shè)：

假設(shè)1 雙層網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的多智能體系統(tǒng)不受網(wǎng)絡(luò)攻擊時(shí)，領(lǐng)導(dǎo)層通信拓?fù)鋱D中包含有向生成樹。

假設(shè)2 雙層網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的多智能體系統(tǒng)不受網(wǎng)絡(luò)攻擊時(shí)，跟隨者層中智能體節(jié)點(diǎn)存在以領(lǐng)導(dǎo)層中智能體節(jié)點(diǎn)為根節(jié)點(diǎn)的有向生成樹。

注2 考慮到研究的雙層網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)多智能體系統(tǒng)的智能體之間的信息傳遞方式，領(lǐng)導(dǎo)層的智能體只可以接收其他相鄰的領(lǐng)導(dǎo)者智能體傳遞的信息，跟隨者層中的智能體既可以接收其他跟隨者智能體傳遞的信息也可以接收領(lǐng)導(dǎo)者智能體傳遞的信息，借助圖論工具作出假設(shè)1 和假設(shè)2，具有一定的現(xiàn)實(shí)意義。

假設(shè)3 雙層網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的多智能體系統(tǒng)不受網(wǎng)絡(luò)攻擊時(shí)，跟隨者層通信拓?fù)鋱D滿足結(jié)構(gòu)平衡條件。

注3 對(duì)于大規(guī)模的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，可采用文獻(xiàn)［29］中提出的信息分類機(jī)制對(duì)智能體節(jié)點(diǎn)先進(jìn)行分層簡(jiǎn)化，再根據(jù)定義2中結(jié)構(gòu)平衡的定義來確定符號(hào)圖是否結(jié)構(gòu)平衡。

假設(shè)4 雙層網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的多智能體系統(tǒng)不受網(wǎng)絡(luò)攻擊時(shí)，跟隨者層系統(tǒng)連接邊的集合包含于領(lǐng)導(dǎo)層系統(tǒng)連接邊的集合。

注4 雙層多智能體系統(tǒng)相關(guān)文獻(xiàn)中研究的多為領(lǐng)導(dǎo)層和跟隨者層具有相同的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，如文獻(xiàn)［8-9］，為了拓寬這個(gè)限制，同時(shí)在文獻(xiàn)［10］的啟發(fā)下，本文假設(shè)跟隨者層系統(tǒng)連接邊的集合包含于領(lǐng)導(dǎo)層系統(tǒng)連接邊的集合，具有一定的現(xiàn)實(shí)可操作性。

假設(shè)5 對(duì)任意t0，t≥0，在區(qū)間為(t0，t)的時(shí)間間隔里多智能體系統(tǒng)受網(wǎng)絡(luò)攻擊的時(shí)間|E(t0，t) |滿足：|E(t0，t) |≤n0+其中n0＞0，T＞1。

注5 遭受網(wǎng)絡(luò)攻擊的時(shí)間過長，會(huì)造成多智能體系統(tǒng)癱瘓?？紤]實(shí)際系統(tǒng)并不會(huì)長時(shí)間處于受攻擊的網(wǎng)絡(luò)環(huán)境中，給出了網(wǎng)絡(luò)攻擊時(shí)間的約束條件。

定義3對(duì)于任意初始條件，若領(lǐng)導(dǎo)層智能體節(jié)點(diǎn)間的狀態(tài)滿足：

其中i=2，3，…，N，則稱領(lǐng)導(dǎo)層多智能體系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)一致。

定義4對(duì)于任意初始條件，若跟隨者層智能體節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)滿足：

其中i=2，3，…，N，q∈{1，2}，，則稱跟隨者層多智能體系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)二分一致。

定義5對(duì)于任意初始條件，若領(lǐng)導(dǎo)者智能體和跟隨者智能體節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)滿足：

其中i=1，2，…，N，q∈{1，2}，則稱雙層網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的多智能體系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)二分一致。

2 主要結(jié)果

定義領(lǐng)導(dǎo)層多智能體系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)間的誤差：

其中i=2，3，…，N。同樣地，定義兩層網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的多智能體系統(tǒng)間對(duì)應(yīng)智能體節(jié)點(diǎn)間的誤差：

不失一般性，不受網(wǎng)絡(luò)攻擊時(shí)，領(lǐng)導(dǎo)層多智能體系統(tǒng)模型（1）改寫成矩陣形式表示為：

跟隨者層多智能體系統(tǒng)模型（2）的矩陣形式表示為：

將式（7）求導(dǎo)代入式（10）可得領(lǐng)導(dǎo)層多智能體系統(tǒng)不受網(wǎng)絡(luò)攻擊時(shí)智能體節(jié)點(diǎn)誤差的動(dòng)力學(xué)方程：

其中H=ψ1L1ψ2。對(duì)式（8）求導(dǎo)并代入式（10）、（11）可得雙層多智能體系統(tǒng)不受網(wǎng)絡(luò)攻擊時(shí)對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)誤差的動(dòng)力學(xué)方程：

根據(jù)式（3）、（4）、（7）、（8），可得多智能體系統(tǒng)受網(wǎng)絡(luò)攻擊時(shí)：

注6 領(lǐng)導(dǎo)層系統(tǒng)多智能體節(jié)點(diǎn)間實(shí)現(xiàn)一致，雙層網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的多智能體系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)間實(shí)現(xiàn)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)二分一致的問題可轉(zhuǎn)化為證明對(duì)應(yīng)誤差e(t)，e～(t)隨時(shí)間趨于0。

引理2［30］若假設(shè)1成立，則存在正定矩陣Π∈R(N-1)×(N-1)，使得ΠH+HTΠ＞0。

引理3［30］若假設(shè)2成立，則存在正定矩陣∈RN×N，使得

定理1基于假設(shè)1，如果存在正定矩陣Π、P和常數(shù)c、T，矩陣P滿足線性矩陣不等式PA+ATP≤βP(β＞0)，常數(shù)c滿足不等式c＞其中λ1=λmin((ΠH+HTΠ)Π-1)，常數(shù)T滿足不等式T＞，則領(lǐng)導(dǎo)層多智能體系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)一致。

證明 選取李雅普諾夫函數(shù)：

領(lǐng)導(dǎo)層多智能體系統(tǒng)不受網(wǎng)絡(luò)攻擊時(shí)，對(duì)式（16）求導(dǎo)沿式（12）軌跡可得：

其中λ1＞0。

對(duì)式（16）求導(dǎo)沿式（14）軌跡可得領(lǐng)導(dǎo)層多智能體系統(tǒng)受網(wǎng)絡(luò)攻擊時(shí)：

而函數(shù)V1(t)是連續(xù)的，在區(qū)間(t0，t)對(duì)積分可得其中表示區(qū)間(t0，t)不受網(wǎng)絡(luò)攻擊的時(shí)長，那么=(t0，t) -|E|，由假設(shè)5中的條件可得：

又定理中已知β+cλ1＜0，從而t取足夠大時(shí)有=0，因此可知0，領(lǐng)導(dǎo)層系統(tǒng)智能體間可實(shí)現(xiàn)節(jié)點(diǎn)一致。 證畢。

定理2基于假設(shè)1～假設(shè)5，如果存在正定矩陣、P和常數(shù)c、γ、α、T，矩陣P滿足線性矩陣不等式PA+ATP≤βP(β＞0)，常 數(shù)α＞0，常數(shù)c滿足不等式條件c＞其中λ2和λ3分別為λ2=常數(shù)γ取常數(shù)T滿足T＞則雙層網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的多智能體系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)二分一致。

證明 構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)：

對(duì)式（19）求導(dǎo)代入式（13）可得雙層結(jié)構(gòu)多智能體系統(tǒng)不受網(wǎng)絡(luò)攻擊時(shí)：

其中λ2＞0。

根據(jù)Young’s不等式：

其中λ3＞0。

將式（22）代入式（21）可繼續(xù)簡(jiǎn)化V˙2(t)表示為：

對(duì)式（19）求導(dǎo)代入式（15）可得雙層結(jié)構(gòu)多智能體系統(tǒng)遭受網(wǎng)絡(luò)攻擊時(shí)：

對(duì)式（20）求導(dǎo)代入式（17）、（23）可得不受網(wǎng)絡(luò)攻擊時(shí)：

對(duì)式（20）求導(dǎo)代入式（18）、（24）可得受網(wǎng)絡(luò)攻擊時(shí)：

又因?yàn)楹瘮?shù)V(t)連續(xù)，類似地，可得V(t)而，由T＞可 得故t取足夠大時(shí)有0，從而=0，雙層網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)多智能體系統(tǒng)可實(shí)現(xiàn)節(jié)點(diǎn)間的點(diǎn)對(duì)點(diǎn)二分一致。 證畢。

3 數(shù)值仿真

考慮由12 個(gè)智能體構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)，其中領(lǐng)導(dǎo)層和跟隨者層分別有6個(gè)智能體，初始拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如下：

根據(jù)圖2，領(lǐng)導(dǎo)層智能體節(jié)點(diǎn)間的通信拓?fù)錇榉秦?fù)圖，跟隨者層智能體節(jié)點(diǎn)間的通信拓?fù)錇榉?hào)圖，對(duì)應(yīng)的鄰接矩陣分別為：

領(lǐng)導(dǎo)層的智能體1和智能體6與跟隨者層的智能體1和6之間有牽制關(guān)系，表示為D=diag{0.1，0，0，0，0，-0.1}。從圖2 中可以看出，跟隨者層智能體可分為兩組：={1，2，3}，{4，5，6}，由此取S=diag{1，1，1，-1，-1，-1}。

圖2 初始通信拓?fù)銯ig.2 Initial communication topology

多智能體系統(tǒng)在二維空間上運(yùn)動(dòng)，不受網(wǎng)絡(luò)攻擊時(shí)假設(shè)領(lǐng)導(dǎo)層系統(tǒng)每個(gè)智能體滿足：

跟隨者層系統(tǒng)每個(gè)智能體滿足：

其中：xi(t)=(xi1(t)，xi2(t))T，yi(t)=(yi1(t)，yi2(t))T為二維向量，為簡(jiǎn)單起見，取A=α=0.06，另外計(jì)算可得：

根據(jù)以上矩陣求得特征值：

又因?yàn)槌?shù)c滿足定理2中條件：

故取c=80；計(jì)算可得：β-cλ1+=-3.292、β-cλ2+=-0.86，由定理2中條件可得γ=max{β-cλ1+=-0.86；另外常數(shù)T滿足定理2 中條件：=3.4419，故取T=3.5。

以一維分量為例，領(lǐng)導(dǎo)層系統(tǒng)的智能體節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)xi1(t)隨時(shí)間趨于一致，仿真結(jié)果如圖3 所示。領(lǐng)導(dǎo)層內(nèi)智能體節(jié)點(diǎn)與第一個(gè)智能體節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)誤差ei1(t)隨時(shí)間趨于0，仿真結(jié)果如圖4所示。

圖3 領(lǐng)導(dǎo)層智能體狀態(tài)軌跡Fig.3 State trajectories of agents in leaders’layer

圖4 領(lǐng)導(dǎo)層智能體誤差軌跡Fig.4 Error trajectories of agents in leaders’layer

從圖3和圖4可直觀地得到結(jié)論：領(lǐng)導(dǎo)者層多智能體系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了節(jié)點(diǎn)一致。

跟隨者層系統(tǒng)的智能體節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)yi1(t)隨時(shí)間趨于模值相同符號(hào)相反的兩部分，仿真結(jié)果如圖5 所示。跟隨者層內(nèi)其他智能體節(jié)點(diǎn)與第1 個(gè)節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)誤差yi1(t) ±y11(t)隨時(shí)間趨于0，仿真結(jié)果如圖6所示。

圖5 跟隨者層智能體狀態(tài)軌跡Fig.5 State trajectories of agents in the followers’layer

圖6 跟隨者層智能體誤差軌跡Fig.6 Error trajectories of nodes in the followers’layer

從圖5和圖6可直觀地得到結(jié)論：跟隨者層多智能體系統(tǒng)達(dá)到節(jié)點(diǎn)二分一致。

另外，領(lǐng)導(dǎo)層智能體節(jié)點(diǎn)與對(duì)應(yīng)跟隨者層智能體節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)誤差=xi1(t) -σiyi1(t)隨時(shí)間趨于0，仿真結(jié)果如圖7所示。雙層網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的多智能體系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了點(diǎn)對(duì)點(diǎn)二分一致。

圖7 對(duì)應(yīng)智能體節(jié)點(diǎn)誤差軌跡Fig.7 Error trajectories of the corresponding agents

與文獻(xiàn)［8-10］相比，以上系統(tǒng)在跟隨者層拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中智能體節(jié)點(diǎn)間關(guān)系中增添了負(fù)連接，故圖5 中跟隨者層系統(tǒng)中智能體節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)趨于模值相同符號(hào)相反的兩部分。同樣地，不同于文獻(xiàn)［10］智能體節(jié)點(diǎn)間均為友好合作關(guān)系，由定義4、定義5 中對(duì)二分一致性、點(diǎn)對(duì)點(diǎn)二分一致性的定義，相應(yīng)地智能體狀態(tài)誤差定義也有所改變，如圖6～7所示。

注7 為簡(jiǎn)單起見，仿真部分選取了包含12 個(gè)智能體的雙層網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的多智能體系統(tǒng)進(jìn)行分析，領(lǐng)導(dǎo)層和跟隨者層分別包含6 個(gè)智能體，滿足文中所提及的智能體初始狀態(tài)及一致性協(xié)議，在假設(shè)1～5 成立的條件下，由圖3～7 可以直觀地得出結(jié)論：雙層網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的多智能體系統(tǒng)隨時(shí)間實(shí)現(xiàn)了領(lǐng)導(dǎo)層系統(tǒng)智能體節(jié)點(diǎn)一致，跟隨者層系統(tǒng)智能體節(jié)點(diǎn)二分一致，雙層系統(tǒng)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)二分一致，驗(yàn)證了理論結(jié)果的有效性。對(duì)于包含其他個(gè)數(shù)智能體的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，仍可得到類似的結(jié)果。

4 結(jié)語

本文研究了遭受網(wǎng)絡(luò)攻擊下雙層網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的多智能體系統(tǒng)的一致性問題，給出了網(wǎng)絡(luò)攻擊下領(lǐng)導(dǎo)層多智能體系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)一致、雙層網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的多智能體系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)二分一致的理論證明；同時(shí)給出網(wǎng)絡(luò)攻擊下領(lǐng)導(dǎo)層系統(tǒng)一致、跟隨者層系統(tǒng)二分一致和雙層結(jié)構(gòu)的多智能體系統(tǒng)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)二分一致的仿真結(jié)果。另外，由于通信網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜性，接下來將進(jìn)一步研究包含時(shí)延、噪聲的雙層網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的多智能體系統(tǒng)的一致性問題。