國(guó)內(nèi)外應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域發(fā)展情況的文獻(xiàn)計(jì)量分析

車子璠 張?jiān)?王東洋 路寬 沙銳

1. 科學(xué)技術(shù)部高技術(shù)研究發(fā)展中心 北京 100044；2. 大連理工大學(xué) 大連 116024；3. 西北工業(yè)大學(xué) 西安 710072

引言

數(shù)學(xué)是自然科學(xué)的基礎(chǔ)，為其它科學(xué)提供精確的語言、嚴(yán)格的方法和新的研究范式。應(yīng)用數(shù)學(xué)是指為解決科學(xué)、工程與社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展需求中提出的現(xiàn)實(shí)問題而發(fā)展的數(shù)學(xué)理論和算法，其主要研究方向包括了微分方程、計(jì)算數(shù)學(xué)、概率與統(tǒng)計(jì)、運(yùn)籌與控制、離散數(shù)學(xué)等。近年來，學(xué)科之間的交叉發(fā)展已經(jīng)成為科學(xué)技術(shù)進(jìn)步的必然趨勢(shì)，而應(yīng)用數(shù)學(xué)對(duì)相關(guān)學(xué)科發(fā)展和重大技術(shù)創(chuàng)新的支撐作用日益凸顯，在智能制造、信息技術(shù)、生物醫(yī)學(xué)、現(xiàn)代農(nóng)業(yè)、資源環(huán)境、經(jīng)濟(jì)金融和國(guó)防安全等重點(diǎn)應(yīng)用技術(shù)領(lǐng)域發(fā)揮著越來越重要的作用。

環(huán)顧世界，所有的經(jīng)濟(jì)大國(guó)和科技大國(guó)也是應(yīng)用數(shù)學(xué)強(qiáng)國(guó)。中國(guó)作為一個(gè)發(fā)展中的大國(guó)，無論是適應(yīng)當(dāng)前國(guó)民經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)戰(zhàn)略性調(diào)整的現(xiàn)實(shí)需要，還是為未來經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展提供科學(xué)技術(shù)和人才支撐，都必須重視應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域的發(fā)展。因此，對(duì)國(guó)內(nèi)外應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域發(fā)展情況進(jìn)行充分地了解和對(duì)比，是科技管理人員和科研人員的共同需求。本文運(yùn)用文獻(xiàn)計(jì)量方法對(duì)近十年國(guó)內(nèi)外應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域的發(fā)展情況進(jìn)行了研究和分析，希望能對(duì)相關(guān)科學(xué)研究和科技決策提供支撐。

1 文獻(xiàn)來源與處理

本文的數(shù)據(jù)來源于Web of Science科技文獻(xiàn)數(shù)據(jù)庫(簡(jiǎn)稱“WOS數(shù)據(jù)庫”)。數(shù)據(jù)獲取過程為：首先選取數(shù)學(xué)領(lǐng)域公認(rèn)的、能夠反映該領(lǐng)域研究前沿的高水平期刊，期刊名稱如表1所示；其次在WOS數(shù)據(jù)庫中檢索上述期刊在2010–2019年間發(fā)表的所有學(xué)術(shù)論文（Article）種類文獻(xiàn)數(shù)據(jù)，在檢索結(jié)果中選擇應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域的文獻(xiàn)，得到31084篇文獻(xiàn)；最后選擇國(guó)別為中國(guó)的文獻(xiàn)數(shù)據(jù)，得到4122篇文獻(xiàn)（2021年1月7日檢索）。

表1 數(shù)學(xué)領(lǐng)域文獻(xiàn)來源期刊名稱

對(duì)文獻(xiàn)數(shù)據(jù)的處理過程包括：首先利用Web of Science的分析功能對(duì)檢索結(jié)果進(jìn)行基本計(jì)量分析，得到文獻(xiàn)年度分布和國(guó)家合作關(guān)系等信息；其次利用信息可視化技術(shù)分析軟件CiteSpace對(duì)文獻(xiàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)量分析[1]，包括雙圖疊加分析、共被引分析和共詞分析等，據(jù)此把握應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域的研究態(tài)勢(shì)、知識(shí)演進(jìn)和研究前沿。

2 國(guó)內(nèi)外應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域的研究態(tài)勢(shì)分析

2.1 年度分布情況

對(duì)WOS數(shù)據(jù)庫中檢索得到的國(guó)際和我國(guó)應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域文獻(xiàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，得到應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域各年度論文發(fā)表情況，見圖1。從2010年起，國(guó)內(nèi)外應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域的年度文獻(xiàn)發(fā)表數(shù)量總體呈現(xiàn)增長(zhǎng)趨勢(shì)，雖然在2014–2017年間，各年度文獻(xiàn)發(fā)表數(shù)量相近，但從2018年開始，文獻(xiàn)數(shù)量出現(xiàn)了明顯的增加。這表明國(guó)內(nèi)外應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域保持了較高的研究熱度，且近年來對(duì)于應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域的關(guān)注度出現(xiàn)了顯著提升。這一情況在我國(guó)的應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域體現(xiàn)的更為明顯，在2010–2019年間，年度文獻(xiàn)發(fā)表數(shù)量從約300篇增長(zhǎng)到約600篇。

圖1 2010–2019年間國(guó)際和我國(guó)應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域發(fā)表文獻(xiàn)數(shù)量

2.2 國(guó)家分布情況

對(duì)WOS數(shù)據(jù)庫中檢索得到的國(guó)際應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域文獻(xiàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行發(fā)表國(guó)家分析，其中發(fā)表文獻(xiàn)最多的19個(gè)國(guó)家及其文獻(xiàn)數(shù)量如圖2所示。從國(guó)家分布來看，發(fā)文量最多的國(guó)家是美國(guó)，2010–2019年間發(fā)表論文數(shù)量為13303篇，占文獻(xiàn)總量的42.8%；其次是法國(guó)、中國(guó)、德國(guó)和英國(guó)等國(guó)家，文獻(xiàn)數(shù)量均約占美國(guó)的1/3。

圖2 2010–2019年間國(guó)際應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域發(fā)表文獻(xiàn)的國(guó)家分布情況

2.3 我國(guó)的國(guó)際合作情況

對(duì)WOS數(shù)據(jù)庫中檢索得到的我國(guó)應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域文獻(xiàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，研究我國(guó)所發(fā)表文獻(xiàn)的國(guó)際合作情況，如圖3所示?？梢娢覈?guó)與世界各國(guó)在應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域存在緊密的合作關(guān)系，有接近50%的文獻(xiàn)存在國(guó)際合作的情況。其中，我國(guó)與美國(guó)的合作關(guān)系最為緊密，另外與法國(guó)、德國(guó)、英國(guó)、加拿大、新加坡和意大利等國(guó)家均具有不同程度的合作關(guān)系，這些國(guó)家也均是應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域論文發(fā)表數(shù)量較多的國(guó)家。

圖3 2010–2019年間我國(guó)應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域發(fā)表文獻(xiàn)的國(guó)際合作情況

2.4 應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域的交叉態(tài)勢(shì)

利用CiteSpace軟件的雙圖疊加功能（Dual Map Overlays）可以展示施引文獻(xiàn)和被引文獻(xiàn)所屬期刊的領(lǐng)域分布，以及兩者之間的引用關(guān)系，由此揭示應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域與其他學(xué)科之間的交叉態(tài)勢(shì)[2]。

首先對(duì)WOS數(shù)據(jù)庫中檢索得到的國(guó)際應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域文獻(xiàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，如圖4（a）所示，圖中橢圓的縱軸和橫軸分別代表了文獻(xiàn)數(shù)量和文獻(xiàn)作者的數(shù)量?？梢园l(fā)現(xiàn)，國(guó)際應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域的施引文獻(xiàn)主要發(fā)表在數(shù)學(xué)、計(jì)算科學(xué)、系統(tǒng)科學(xué)、物理學(xué)、材料科學(xué)和化學(xué)等領(lǐng)域的期刊上，而被引文獻(xiàn)所屬領(lǐng)域更為廣泛，除上述提及的領(lǐng)域外，在經(jīng)濟(jì)學(xué)、地球科學(xué)、生態(tài)科學(xué)、環(huán)境科學(xué)、生命科學(xué)、外科科學(xué)、藥學(xué)、哲學(xué)等領(lǐng)域均有文獻(xiàn)被引用，表明了應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域與各學(xué)科之間的廣泛交叉和融合[3]。

基于上述方法，對(duì)我國(guó)應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域文獻(xiàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，結(jié)果如圖4（b）所示?？梢园l(fā)現(xiàn)，我國(guó)應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域被引文獻(xiàn)所屬領(lǐng)域與國(guó)際趨勢(shì)一致，集中在數(shù)學(xué)、計(jì)算科學(xué)、系統(tǒng)科學(xué)、物理學(xué)、材料科學(xué)和化學(xué)等領(lǐng)域的期刊上。但是與其他領(lǐng)域之間的交叉程度明顯不足，尤其與外科科學(xué)、藥學(xué)、地球科學(xué)和哲學(xué)等領(lǐng)域的交叉較少。

圖4 2010–2019年間國(guó)際和我國(guó)應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域發(fā)表文獻(xiàn)的雙圖疊加分析

綜上可知，近十年間，我國(guó)應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域保持了較高的研究熱度，并通過廣泛的國(guó)際合作推動(dòng)了應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域的高質(zhì)量發(fā)展。然而，我國(guó)雖然在文獻(xiàn)發(fā)表數(shù)量上位居國(guó)際第三位，但與美國(guó)相比差距仍然較大，應(yīng)用數(shù)學(xué)與相關(guān)學(xué)科之間的交叉融合進(jìn)展相對(duì)較慢，交叉領(lǐng)域不夠廣泛[4]。

3 國(guó)內(nèi)外應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域的知識(shí)演進(jìn)分析

在文獻(xiàn)計(jì)量領(lǐng)域，論文引用行為體現(xiàn)了知識(shí)從不同的研究主題流動(dòng)到當(dāng)前研究的過程，是知識(shí)單元從游離狀態(tài)到重組產(chǎn)生新知識(shí)的過程，而發(fā)表的論文又被其他論文引用則是這個(gè)過程的持續(xù)。因此，科學(xué)文獻(xiàn)的相互引證關(guān)系反映了科學(xué)發(fā)展的客觀規(guī)律，體現(xiàn)了科學(xué)知識(shí)的積累性、連續(xù)性、繼承性以及學(xué)科之間的交叉和滲透。隨著科學(xué)研究的不斷推進(jìn)，這種引證行為逐步形成引用網(wǎng)絡(luò)。利用CiteSpace軟件的共被引分析（Co-Citation）功能可以對(duì)領(lǐng)域內(nèi)論文的引用網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行分析，對(duì)領(lǐng)域內(nèi)知識(shí)演進(jìn)的情況進(jìn)行分析[5-8]。

3.1 國(guó)際應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域的知識(shí)演進(jìn)情況

對(duì)2010–2019年間國(guó)際應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域文獻(xiàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行共被引分析，其中以1年間隔為時(shí)間切片，以參考文獻(xiàn)作為節(jié)點(diǎn)類型。在得到共被引網(wǎng)絡(luò)后，使用文獻(xiàn)關(guān)鍵詞聚類的方式，對(duì)共被引網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行聚類分析，并以時(shí)間軸方式展示可視化圖譜，見圖5。圖中屬于同一聚類的文獻(xiàn)被匯聚到同一時(shí)間軸上，不同的文獻(xiàn)沿時(shí)間軸以節(jié)點(diǎn)的形式展現(xiàn)，節(jié)點(diǎn)之間的連線體現(xiàn)了文獻(xiàn)之間的引證關(guān)系，并通過連線的顏色來反映引證關(guān)系發(fā)生的時(shí)間。

圖5 2010–2019年間國(guó)際應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域發(fā)表文獻(xiàn)的共被引分析

從圖5中可看出，根據(jù)聚類規(guī)模的大小，共被引網(wǎng)絡(luò)可以形成15類顯著的聚類標(biāo)簽，包括：變量選?。╒ariable Selection）、不確定性量化（Uncertainty Quantification）、加權(quán)本質(zhì)無振蕩格式（WENO）、低秩逼近（Lowrank Approximation）、非凸優(yōu)化（Nonconvex Optimization）、高階混合方法（Hybrid High Order Method）、分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)（Fractional Derivative）、LASSO回歸模型（LASSO）、逆散射（Inverse Scattering）、自適應(yīng)網(wǎng)絡(luò)有限元分析方法（Adaptive Finite Element Method）、混合成像（Hybrid Imaging）、分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子（Fractional Laplacian）、分部求和（Summation by Parts）、機(jī)器學(xué)習(xí)（Machine Learning）、隨機(jī)熱方程（Stochastic Heat Equation）。

根據(jù)聚類標(biāo)簽間的相關(guān)性做進(jìn)一步歸納整合后發(fā)現(xiàn)，這些聚類內(nèi)容可大致劃分為如下3個(gè)領(lǐng)域：有關(guān)概率統(tǒng)計(jì)方法的聚類、有關(guān)數(shù)據(jù)圖像處理優(yōu)化方法的聚類、有關(guān)微分方程求解的聚類。結(jié)合聚類標(biāo)簽內(nèi)容和引證關(guān)系發(fā)生的時(shí)間分布，具體分析如下：

（1）概率統(tǒng)計(jì)方法領(lǐng)域的知識(shí)演進(jìn)情況

不確定性量化、低秩逼近、變量選取、LASSO回歸模型，機(jī)器學(xué)習(xí)等聚類標(biāo)簽反映出概率統(tǒng)計(jì)方法領(lǐng)域的知識(shí)演進(jìn)情況。其中，不確定性量化、變量選取，低秩近似等主題在2005–2013年間發(fā)展迅速，領(lǐng)域內(nèi)的文獻(xiàn)引用十分密切，這表明該領(lǐng)域具有較高的研究熱度。在此期間，隨著概率統(tǒng)計(jì)所考慮實(shí)際問題的復(fù)雜性和不確定性不斷提高，統(tǒng)計(jì)理論和方法被應(yīng)用到更多領(lǐng)域，并與這些領(lǐng)域內(nèi)的文獻(xiàn)產(chǎn)生了引證關(guān)系，如變量選取和不確定性量化方法應(yīng)用于逆散射、混合成像等問題。2010–2013年，LASSO回歸模型方法作為新的變量選取方法以新的聚類出現(xiàn)，并與多個(gè)聚類主題形成密切交叉。2013年，機(jī)器學(xué)習(xí)成為研究熱點(diǎn)，并且與同時(shí)期大部分聚類中的文獻(xiàn)都存在密切的引證關(guān)系，這也表明各領(lǐng)域采取的研究方法由模型驅(qū)動(dòng)逐步拓展到數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)。

（2）數(shù)據(jù)圖像處理優(yōu)化方法領(lǐng)域的知識(shí)演進(jìn)情況

混合成像、非凸優(yōu)化等聚類標(biāo)簽反映出圖像處理優(yōu)化方法領(lǐng)域的知識(shí)演進(jìn)情況。在圖像處理和醫(yī)學(xué)成像等領(lǐng)域，如何開發(fā)高精度、高效率的成像方法是研究的熱點(diǎn)問題?；旌铣上穹椒ńY(jié)合了多種成像模態(tài)的優(yōu)勢(shì)，能夠有效的改善成像精度，因此受到廣泛關(guān)注。從圖5中也可以看出，混合成像主題具有較高的研究熱度，聚類內(nèi)文獻(xiàn)之間的引證關(guān)系密切。2010–2013年間，混合成像主題由于考慮了圖像“稀疏”特性，而與LASSO回歸模型等主題之間出現(xiàn)引證關(guān)系。同時(shí)，隨著成像設(shè)備的采集能力提高，像素?cái)?shù)據(jù)量增大，在處理高維且具有非凸結(jié)構(gòu)約束的數(shù)據(jù)時(shí)，利用非凸優(yōu)化方法能夠更加準(zhǔn)確地進(jìn)行建模，因而成為研究熱點(diǎn)。2013–2019年，伴隨著機(jī)器學(xué)習(xí)的興起，非凸優(yōu)化與機(jī)器學(xué)習(xí)之間產(chǎn)生密切的引證關(guān)系。

（3）微分方程求解領(lǐng)域的知識(shí)演進(jìn)情況

自適應(yīng)有限元、加權(quán)本質(zhì)無震蕩格式、高階混合方法、分部求和、分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子、隨機(jī)熱方程、分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，逆散射等聚類標(biāo)簽反映出微分方程求解領(lǐng)域的知識(shí)演進(jìn)情況。其中，自適應(yīng)有限元、加權(quán)本質(zhì)無震蕩格式，分部求和等內(nèi)容主要作為微分方程數(shù)值解的求解方法進(jìn)行研究，這些研究方法在發(fā)展過程中也不斷出現(xiàn)相互交叉和融合的情況，在各聚類之間存在相互引用關(guān)系。2013年后，加權(quán)本質(zhì)無震蕩格式、逆散射和分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子等主題分別與機(jī)器學(xué)習(xí)主題產(chǎn)生引證關(guān)系。

綜合以上分析可知，大部分研究主題興起初期主要以領(lǐng)域內(nèi)的合作為主，不同研究主題之間的交叉融合較少。隨著研究的積累以及對(duì)實(shí)際問題的深入探究，不同主題之間出現(xiàn)交叉融合，從而涌現(xiàn)了一些新的研究主題。自2013年，機(jī)器學(xué)習(xí)與大部分主題都存在引證關(guān)系，體現(xiàn)了應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的發(fā)展態(tài)勢(shì)。

3.2 我國(guó)應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域的知識(shí)演進(jìn)情況

采用相同方法，對(duì)2010–2019年間我國(guó)應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域文獻(xiàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行共被引分析，見圖6。

圖6 2010–2019年間我國(guó)應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域發(fā)表文獻(xiàn)的共被引分析

圖6展示了15類顯著的聚類標(biāo)簽，包括：托普利茲矩陣（Toeplitz Matrix）、交替方向乘子法（Alternating Direction Method）、能量穩(wěn)定性（Energy Stability）、唯一性（Uniqueness）、統(tǒng)一氣體動(dòng)理學(xué)格式（Unified Gas-Kinetic Scheme）、穩(wěn)定性（Stability）、確定獨(dú)立性篩選（Sure Independence Screening）、適應(yīng)性（Adaptivity）、可穿透障礙物（Penetrable Obstacles）、框架（Frames）、NP問題（Large P Small N）、Hermite WENO重構(gòu)格式（Hermite WENO Reconstruction）、緊致差分格式（Compact Scheme）、局部間斷伽遼金方法（Local Discontinuous Galerkin Method）、最優(yōu)誤差估計(jì)（Optimal Error Estimate）。與國(guó)際總體情況相比，我國(guó)應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域共被引網(wǎng)絡(luò)中展現(xiàn)的文獻(xiàn)數(shù)量較少，聚類標(biāo)簽所跨越的時(shí)間范圍也較短。

根據(jù)聚類標(biāo)簽間的相關(guān)性，上述聚類內(nèi)容可大致劃分為2個(gè)領(lǐng)域，其中，托普利茲矩陣、交替方向乘子法、NP問題、確定獨(dú)立性篩選、穩(wěn)定性等聚類標(biāo)簽歸屬于數(shù)據(jù)處理優(yōu)化方法領(lǐng)域；唯一性、統(tǒng)一氣體動(dòng)理學(xué)格式、適定性、可穿透障礙物、緊致差分格式、Hermite WENO重構(gòu)格式、局部間斷伽遼金方法、最優(yōu)誤差估計(jì)等聚類標(biāo)簽歸屬于微分方程定性分析及數(shù)值解領(lǐng)域。

從整體來看，這些聚類內(nèi)部的文獻(xiàn)間具有豐富的引證關(guān)系，表明這些領(lǐng)域自身具有較高的研究熱度。同時(shí)，雖然各聚類之間存在一定程度的引證關(guān)系，但與國(guó)際應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域相比，各聚類之間的相互引用情況并不普遍存在。例如，歸屬于數(shù)據(jù)處理優(yōu)化方法領(lǐng)域的托普利茲矩陣和穩(wěn)定性聚類之間、交替方向乘子法和NP問題聚類之間存在相互引證關(guān)系，表明了上述優(yōu)化方法在設(shè)計(jì)和理論分析方面具有相互借鑒關(guān)系。與此同時(shí)，可穿透障礙物、緊致差分格式等聚類僅有內(nèi)部引證。這反映出我國(guó)應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域各研究方向研究者之間的相互合作和交叉融合較少。

4 國(guó)內(nèi)外應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域的研究前沿分析

在文獻(xiàn)計(jì)量領(lǐng)域，我們認(rèn)為研究者在一篇文章中使用的專業(yè)術(shù)語是能反映出論文內(nèi)容的主題詞，這種專業(yè)術(shù)語的使用會(huì)受到其他學(xué)者成果的影響，使得研究者在論文中使用相同或者類似的術(shù)語來完成自己的論文。因此，從文獻(xiàn)信息中提取能夠表達(dá)文獻(xiàn)核心內(nèi)容的主題詞，并對(duì)這些主題詞進(jìn)行定量的詞頻分析，可以用來研究領(lǐng)域的發(fā)展動(dòng)向和研究前沿，在CiteSpace軟件中，上述分析過程可通過共詞（Co-Word）分析功能來實(shí)現(xiàn)[5,6]。

利用2010–2019年間國(guó)際和我國(guó)應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域文獻(xiàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行共詞分析，其中以1年間隔為時(shí)間切片，以術(shù)語作為節(jié)點(diǎn)類型。在得到共現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)后，對(duì)所呈現(xiàn)的術(shù)語共現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行突發(fā)性探測(cè)(Burstness)。突發(fā)性探測(cè)是通過考察詞頻，將某時(shí)段內(nèi)頻次變化率高的主題詞從大量主題詞中探測(cè)出來，通過突發(fā)性探測(cè)能夠識(shí)別相關(guān)領(lǐng)域發(fā)展的新趨勢(shì)或研究前沿的轉(zhuǎn)變，并突出顯示具有時(shí)間重要性的主題詞。

2010–2019年間，國(guó)際應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域中具有較強(qiáng)引用突發(fā)性的主題詞見表2，其中突現(xiàn)強(qiáng)度最高的10個(gè)主題詞分別為：有限元方法（Finite Element）、變量選?。╒ariable Selection）、插值法（Interpolation）、離散格子玻爾茲曼方法（Discrete Lattice Boltzmann Method）、并行計(jì)算（Parallel Computing）、均一化（Homogenization）、多重網(wǎng)格法（Multigrid）、貝葉斯推理（Bayesian Inference）、相轉(zhuǎn)變（Phase Transition）、逆散射（Inverse Scattering）。

表2 2010–2019年間國(guó)際應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域發(fā)表文獻(xiàn)的主題詞突發(fā)性探測(cè)分析

整體而言，從突現(xiàn)主題詞的屬性來看，上述突現(xiàn)主題詞主要集中在應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域問題的具體方法學(xué)層面，如有限元方法是求解偏微分方程邊值問題近似解的數(shù)值技術(shù)，貝葉斯推理應(yīng)用于概率計(jì)算領(lǐng)域等。體現(xiàn)了國(guó)際應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域?qū)Ψ椒▽W(xué)研究的關(guān)注。而從突現(xiàn)主題詞的研究范疇來看，上述突現(xiàn)主題詞展現(xiàn)了應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域受各行業(yè)實(shí)際需求驅(qū)動(dòng)的現(xiàn)象愈發(fā)明顯，如受實(shí)際應(yīng)用領(lǐng)域中大規(guī)模科學(xué)計(jì)算問題的驅(qū)動(dòng)，在大規(guī)模并行計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)代數(shù)多重網(wǎng)格算法成為數(shù)值計(jì)算領(lǐng)域的研究前沿[9]；受雷達(dá)探測(cè)等領(lǐng)域中利用障礙物對(duì)聲波、電磁波或彈性波的散射數(shù)據(jù)來確定障礙物位置和形狀的需求驅(qū)動(dòng)，逆散射問題成為計(jì)算數(shù)學(xué)領(lǐng)域的研究前沿[10]。

2010–2019年間，我國(guó)應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域中具有較強(qiáng)引用突發(fā)性的術(shù)語見表3，其中突現(xiàn)強(qiáng)度最高的10個(gè)主題詞分別為：降維（Dimension Reduction）、積分方程（Integral Equation）、交替方向乘子法（Alternating Direction Method）、全局解（Global Solution）、最優(yōu)控制（Optimal Control）、凸 優(yōu) 化（Convex Optimal）、分?jǐn)?shù)階微分方程（Fractional Differential Equation）、局部間斷伽遼金方法（Local Discontinuous Galerkin Method）、逆散射（Inverse Scattering）、乘 性 噪 聲（Multiplicative Noise）。可以發(fā)現(xiàn)，大部分突現(xiàn)主題詞是應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域中某一研究范疇的名稱[11]，例如凸優(yōu)化是數(shù)學(xué)最優(yōu)化問題的子研究領(lǐng)域，研究定義于凸集中的凸函數(shù)最小化的問題，被廣泛應(yīng)用于自動(dòng)控制、信號(hào)處理、通訊和網(wǎng)絡(luò)、電子電路設(shè)計(jì)以及金融等領(lǐng)域[12]。乘性噪聲則主要處理合成孔徑雷達(dá)、超聲波、激光等相干圖像系統(tǒng)當(dāng)中因信道特性隨機(jī)變化引起的噪聲。由此可以看出，我國(guó)應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域在具體研究范疇的界定及其所解決問題的廓清方面匯力較多，而在具體的方法學(xué)創(chuàng)新方面涉獵相對(duì)較少。

表3 2010–2019年間我國(guó)應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域發(fā)表文獻(xiàn)的主題詞突發(fā)性探測(cè)分析

5 結(jié)論與展望

通過對(duì)國(guó)際和我國(guó)應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域文獻(xiàn)進(jìn)行計(jì)量分析，對(duì)比國(guó)際和我國(guó)應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域的發(fā)展態(tài)勢(shì)、知識(shí)演變情況和研究前沿，可以得出以下結(jié)論。

（1）在世界范圍內(nèi)，應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域都受到了較廣泛的關(guān)注。我國(guó)應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域的論文發(fā)表保持了持續(xù)增長(zhǎng)的態(tài)勢(shì)，并通過國(guó)際合作推動(dòng)了應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域的高質(zhì)量發(fā)展。但我國(guó)的應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域的產(chǎn)出水平與美國(guó)等國(guó)家相比還存在一定差距，需要通過國(guó)家科技計(jì)劃的穩(wěn)定支持來促進(jìn)應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域的持續(xù)發(fā)展。

（2）與國(guó)際相比，我國(guó)的應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域研究尚存在一定的不足。首先，我國(guó)應(yīng)用數(shù)學(xué)與相關(guān)學(xué)科之間雖有一定的交叉融合，但交叉領(lǐng)域不夠廣泛。其次，我國(guó)的應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，各研究方向雖然保持了較好的研究熱度，但各研究方向之間的交叉融合態(tài)勢(shì)尚未形成，與國(guó)際應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域中普遍存在的方法學(xué)之間的融合創(chuàng)新趨勢(shì)尚存在差距。最后，我國(guó)應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域在具體研究范疇的界定及其所解決問題的廓清方面匯力較多，而對(duì)數(shù)學(xué)原理和方法上的突破關(guān)注較少，研究前沿中所涉及的具體方法學(xué)內(nèi)容較少。這可能是由于我國(guó)的應(yīng)用數(shù)學(xué)研究更多借助國(guó)際上存在的數(shù)學(xué)理論、方法來解決實(shí)際問題，而在數(shù)學(xué)理論和方法的創(chuàng)新方面關(guān)注不足，因此需要適當(dāng)?shù)恼咭龑?dǎo)，促進(jìn)數(shù)學(xué)領(lǐng)域原始創(chuàng)新能力提升[13]。

（3）隨著應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域需解決的實(shí)際問題越來越復(fù)雜，國(guó)際應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域中存在由模型驅(qū)動(dòng)逐步拓展到數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的方法學(xué)創(chuàng)新，而這一趨勢(shì)在我國(guó)應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域還并不顯著。在后續(xù)的研究過程中，我國(guó)需要進(jìn)一步加強(qiáng)針對(duì)大數(shù)據(jù)分析與人工智能方法的應(yīng)用數(shù)學(xué)理論創(chuàng)新[14]。