劉海濤

摘 要 教學(xué)中以問題鏈為導(dǎo)向引導(dǎo)學(xué)生思考，進(jìn)而驅(qū)動學(xué)生探究，學(xué)生在探究中鍛煉思維、獲取新知。通過對教學(xué)等的分析，設(shè)計(jì)“基本不等式”第一課時(shí)的教學(xué);通過層層遞進(jìn)的探究活動來展示整節(jié)課程，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞 高中數(shù)學(xué) 問題鏈 核心素養(yǎng) 基本不等式 教學(xué)設(shè)計(jì)

問題是思維的源泉，更是思維的引擎。課堂問題的設(shè)置是課堂教學(xué)師生雙邊活動最基本的也是最重要的形式之一[1]?；凇皢栴}鏈”的教學(xué)是指教師依據(jù)教學(xué)目標(biāo)，將教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)成以問題為紐帶，以知識形成、發(fā)展和培養(yǎng)學(xué)生思維能力為主線，以師生合作互動為基本形式，從而激發(fā)學(xué)生的思維活動，積極主動探究新知，發(fā)展自身的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)活動。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是具有數(shù)學(xué)基本特征的、適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的人的關(guān)鍵能力與思維品質(zhì)。數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的內(nèi)涵包括數(shù)學(xué)核心知識、核心能力、核心品質(zhì)，主要由數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等六個(gè)方面組成，這些數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)既有獨(dú)立性，又相互交融，形成一個(gè)有機(jī)整體[2]。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)不是具體的知識和技能，也不是一般意義上的數(shù)學(xué)能力。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)基于數(shù)學(xué)知識技能，但高于具體的數(shù)學(xué)知識技能[3]。因此，筆者在日常課堂教學(xué)中，以知識的生成與發(fā)展為主線設(shè)計(jì)“問題鏈”，引導(dǎo)學(xué)生主動思考、積極探究，鍛煉學(xué)生的思維能力，讓核心素養(yǎng)落地生根。本文嘗試以“基本不等式”第一課時(shí)的教學(xué)為例，論述如何設(shè)置“問題鏈”引領(lǐng)課堂教學(xué)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

一、教學(xué)分析

（一）教材分析

本節(jié)內(nèi)容安排在普通高中數(shù)學(xué)教科書必修第一冊（人教A版）第二章第二節(jié)，是不等式學(xué)習(xí)中的重點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)，具有承前啟后的作用。一方面，基本不等式是由前一節(jié)所學(xué)重要不等式[a2+b2≥2ab]通過函數(shù)代換所得;另一方面，在基本不等式的證明過程中，用到了函數(shù)代換、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法，為后續(xù)學(xué)習(xí)其他與不等式有關(guān)知識奠定了基礎(chǔ)。

（二）學(xué)情分析

學(xué)生此時(shí)已學(xué)過不等式的性質(zhì)、重要不等式等知識，掌握了比較代數(shù)式的大小、不等式的簡單證明和應(yīng)用，具備了平面幾何的基本知識，具有初步的圖形分析能力和直觀想象素養(yǎng)，但對于知識點(diǎn)的前后聯(lián)系、綜合運(yùn)用能力不夠?；诖?，教師創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生主動思考，通過層層遞進(jìn)的探究活動，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

（三）教學(xué)目標(biāo)

1.了解基本不等式的代數(shù)、幾何背景;掌握基本不等式的證明方法及其結(jié)構(gòu)特征與使用條件;學(xué)會運(yùn)用基本不等式解決一些簡單最值問題。

2.通過對基本不等式的探究，培養(yǎng)學(xué)生函數(shù)代換、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想，發(fā)展學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

（四）重點(diǎn)與難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本不等式，并從不同角度探索基本不等式的證明過程。

教學(xué)難點(diǎn)：基本不等式的使用條件和取等條件。

二、教學(xué)過程

（一）特殊替代，發(fā)現(xiàn)新知

[師]上一節(jié)我們由完全平方公式得到一類重要不等式：[?a，b∈R]，有[a2+b2≥2ab]，當(dāng)且僅當(dāng)[a=b]時(shí)，等號成立。

[問題1]既然重要不等式中[a，b∈R]，那么我們用[a，b]分別替換[a，b]，可得到什么？

[生1][a+b≥2ab]，當(dāng)且僅當(dāng)[a=b]時(shí)等號成立。

[師]有需要補(bǔ)充的嗎？

[生2][a，b≥0]。

[師]很好，考慮到若[a，b]至少一個(gè)為0時(shí)，不等式[a+b≥2ab]顯然成立，沒有研究的必要，故一般規(guī)定[a，b>0]。由此我們得到：[?a，b>0]，有[a+b2≥ab]，當(dāng)且僅當(dāng)[a=b]時(shí)，等號成立。我們將其稱為基本不等式。

教學(xué)預(yù)設(shè)：此處，學(xué)生可能會產(chǎn)生疑惑，為什么將[a+b≥2ab]變形成[a+b2≥ab]，豈不是化簡為繁。教師先對學(xué)生的發(fā)問精神予以肯定、表揚(yáng)，再留下懸念，告訴學(xué)生后面會具體講解，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。

[師]我們分別稱[a+b2]、[ab]為正數(shù)[a]和[b]的算術(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)。基本不等式的文字表述怎么說？

[生3]兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。

設(shè)計(jì)意圖：問題1引導(dǎo)學(xué)生用[a，b]分別替換重要不等式中的[a，b]得到新的對象（基本不等式），直奔主題，簡明清晰、自然流暢。向?qū)W生滲透函數(shù)代換的數(shù)學(xué)思想，教會學(xué)生“做數(shù)學(xué)”的研究方法，為后續(xù)學(xué)習(xí)不等式的變式推廣奠定基礎(chǔ)，這一過程發(fā)展了學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

（二）數(shù)形結(jié)合，證明新知

[問題2]我們通過特殊替代得到了基本不等式，下面，我們能否用不等式性質(zhì)推導(dǎo)出它呢？

[生4]作差法。

[師]很好，除了作差法，還有其他方法嗎？

片刻后，依然沒有學(xué)生回答。

[師]我們解數(shù)學(xué)題時(shí)一般有兩種思路，一是由條件推導(dǎo)結(jié)論，稱為由因?qū)Ч?，也叫綜合法，二是從結(jié)論出發(fā)不斷找充分條件，稱為執(zhí)果索因法，也叫分析法。若由條件容易推導(dǎo)出結(jié)論，我們就用綜合法，作差法就是綜合法的一種;反之，我們采用分析法。

探究1：基本不等式除了[a，b>0]外，沒有任何條件，請同學(xué)們嘗試用分析法證明它。

數(shù)學(xué)活動：學(xué)生小組內(nèi)討論、交流，教師予以適當(dāng)指導(dǎo)，共同探究。

[生5]要證[a+b2≥ab]，就是證[a+b≥2ab]，根據(jù)不等式性質(zhì)，就是證[a+b-2ab≥0]，即證[a-b2≥0]，顯然成立。

數(shù)學(xué)活動：生5展示其證明過程，教師糾正解答格式。

[師]分析法的關(guān)鍵就是不斷地找充分條件（能推導(dǎo)結(jié)論的式子），直至找到一個(gè)顯然成立的式子。今后我們需要運(yùn)用分析法來證明很多問題，歷史上很多偉大的數(shù)學(xué)家也是用分析法來尋找解題思路的。

設(shè)計(jì)意圖：在基本不等式的證明中，重點(diǎn)對分析法做了講解，讓學(xué)生比較綜合法與分析法，體會分析法是一種探究結(jié)論的重要方法。問題2的探究培養(yǎng)了學(xué)生分析問題、解決問題的能力，發(fā)展了學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

[問題3]基本不等式是否有它的幾何解釋呢？

探究2：如圖1，[DC]是直角[△ABD]斜邊[AB]上的高，垂足[C]把斜邊[AB]分成兩段長度分別為[a，b]的線段，請同學(xué)們找出能表示算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)的線段，并借助圖形解釋基本不等式。

[生6]邊[AB]中點(diǎn)即可將其分成兩段長均為算術(shù)平均數(shù)[a+b2]的線段。

[師]很好，如圖2，取[AB]中點(diǎn)為[O]，則[OA]=[OB]=[a+b2]，那有沒有表示幾何平均數(shù)的線段呢？下面請同學(xué)們相互討論、交流，找出線段。

[生7]如圖2，易得[△ADC]∽[△DBC]，則[DCBC=ACDC]，即[DC2=AC?BC]，所以[DC=ab]，高[DC]長表示幾何平均數(shù)。

[師]如何解釋[OA=OB≤DC]呢？

[生8]連接線段[DO]，[DO=a+b2]，也可表示算術(shù)平均數(shù)。

[師]很好，由直角三角形性質(zhì)可知，點(diǎn)[D]在以AB為直徑的圓[O]上，圓[O]半徑為[a+b2]，如圖3。

用幾何畫板動態(tài)演示點(diǎn)[D]在圓周上運(yùn)動時(shí)，始終有[DC≤DO]，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)[C]與點(diǎn)[O]重合，即[a=b]時(shí)等號成立。

[師]通過上述探究，我們得到了基本不等式的幾何解釋：圓的半弦長不超過半徑長。這里同學(xué)們應(yīng)該明白為什么把基本不等式表示為[a+b2≥ab]，這樣的表示有著它的特殊的幾何意義。

設(shè)計(jì)意圖：通過基本不等式幾何解釋的探究活動，讓學(xué)生學(xué)會從運(yùn)動、變化的角度思考問題，幾何畫板的動態(tài)演示，可以直觀體現(xiàn)出取等條件。這一探究活動培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)展了學(xué)生的直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

（三）新知解讀，加深理解

[問題4]怎么理解基本不等式中“基本”一詞的含義？

[生9]大概它是最簡單的不等式吧。

[師]重要不等式[a2+b2≥2ab]一樣簡單呀，而且我們是由它得到的基本不等式。

（學(xué)生們一片沉默，但是情緒高昂、兩眼放光，對問題4充滿興趣）

[師]之所以將其稱為基本不等式，這里有三層含義，一是它運(yùn)算法則結(jié)構(gòu)上簡潔，左邊用到加法和除法，右邊用到乘法和開方，都是最基本的運(yùn)算，左邊是算術(shù)平均數(shù)，右邊是幾何平均數(shù);二是它本身蘊(yùn)含著豐富的代數(shù)、幾何、物理知識及生活背景;三是它可以變形推廣出其他的均值不等式，甚至推導(dǎo)出更復(fù)雜的不等式。

設(shè)計(jì)意圖：通過對基本不等式中“基本”一詞含義的解釋，一方面加深學(xué)生對基本不等式的理解，另一方面讓學(xué)生知道還有很多不等式的學(xué)習(xí)都是以基本不等式為基礎(chǔ)的，引起學(xué)生的重視。

[師]請同學(xué)們觀察重要不等式與基本不等式。

[問題5]基本不等式中的使用條件是什么？如何理解“當(dāng)且僅當(dāng)[a=b]時(shí)，等號成立”？

[生10]使用條件是[a，b>0]，“當(dāng)且僅當(dāng)”就是“充要條件”的意思。

[師]你能解釋一下嗎？

[生10]意思是[a=b]是[a2+b2=2ab]（取等號）的充要條件。

[師]很好，基本不等式的使用條件是兩個(gè)正元，“當(dāng)且僅當(dāng)[a=b]時(shí)，等號成立”的意思是“當(dāng)[a=b]時(shí)取等號，且只有[a=b]時(shí)取等號”。

設(shè)計(jì)意圖：加深學(xué)生對不等式的理解，掌握基本不等式的使用條件和取等條件，為今后靈活運(yùn)用基本不等式打下基礎(chǔ)，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性。

（四）新知應(yīng)用，鞏固提高

例1.若[x>0]，求[x+1x]的最小值。

變式：若將“[x>0]”改為“[x∈R]且[x≠0]”，結(jié)果如何呢？

設(shè)計(jì)意圖：通過例1加深對基本不等式的使用條件和取等條件的認(rèn)識，變式的目的在于培養(yǎng)學(xué)生分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸的思想，分析問題、解決問題的能力，發(fā)展學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

[師]請兩位同學(xué)們分別在黑板上展示例2的兩個(gè)問題，其余同學(xué)在草稿紙上解答。

例2.已知[x，y]都是正數(shù)，求證：

（1）如果積[xy]等于定值[P]，那么當(dāng)[x=y]時(shí)，和[x+y]有最小值[2P]。

（2）如果和[x+y]等于定值[S]，那么當(dāng)[x=y]時(shí)，積[xy]有最大值[14S2]。

數(shù)學(xué)活動：學(xué)生板書后，教師及時(shí)予以點(diǎn)評，重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)解題思路（一正、二定、三等）和解答格式的規(guī)范性。

[問題6]通過上述兩道題目，結(jié)合基本不等式，能得出關(guān)于最值的什么結(jié)論嗎？

[生11]若兩個(gè)正數(shù)的積為定值，則它們的和有最小值;若兩個(gè)正數(shù)的和為定值，則它們的積有最大值;

[師]很好，我們可以將這兩類最值問題總結(jié)為口訣：積定和最小，和定積最大。

設(shè)計(jì)意圖：通過例2的兩個(gè)問題，師生共同探究，抽象出問題的模式化解決方法，讓學(xué)生深刻理解“一正、二定、三等”，培養(yǎng)了學(xué)生分析問題、解決問題的能力，發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

（五）課堂小結(jié)，分層作業(yè)

[問題7]本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？你能從知識、方法、思想三個(gè)方面予以總結(jié)嗎？通過基本不等式的學(xué)習(xí)，你有何啟發(fā)？

數(shù)學(xué)活動：學(xué)生總結(jié)完，教師及時(shí)對學(xué)生總結(jié)進(jìn)行點(diǎn)評補(bǔ)充，共同完成歸納總結(jié)。

設(shè)計(jì)意圖：通過學(xué)生總結(jié)所學(xué)，教師可以有效檢驗(yàn)課堂教學(xué)是否達(dá)到預(yù)期，并及時(shí)進(jìn)行補(bǔ)充糾正，為下節(jié)課的教學(xué)做好預(yù)設(shè)準(zhǔn)備，最后完整展現(xiàn)一節(jié)課所學(xué)的知識、方法、思想，讓學(xué)生對所學(xué)有一個(gè)清晰、完整的認(rèn)識。

[師]今天的課就到這里，請同學(xué)們完成今天的作業(yè)。

必做題：課本46頁練習(xí)1、2、3題。

選做題：如圖4，割線[PAB]過圓心點(diǎn)[O]，[PC]為圓[O]的切線，[DO⊥AB]于點(diǎn)[O]，[CE⊥AB]于點(diǎn)[E]，[PA=a]，[PB=b]，你能找出基本不等式的幾何解釋嗎？還能找出哪些線段之間的不等關(guān)系？能否用不等式表示出來呢？[DC2=AC·BC]

設(shè)計(jì)意圖：分層作業(yè)是分層教學(xué)的一種形式。必做題為基礎(chǔ)內(nèi)容，要求每位學(xué)生掌握，保證教學(xué)目標(biāo)的完成;選做題為后續(xù)基本不等式的變式推廣做鋪墊，留給學(xué)有余力的學(xué)生。作業(yè)設(shè)置兼顧到不同層次的學(xué)生，體現(xiàn)了因材施教的教學(xué)理念。

三、教學(xué)反思

（一）設(shè)計(jì)邏輯連貫的問題鏈，讓學(xué)生進(jìn)入思維的軌道

問題是數(shù)學(xué)的心臟，章建躍博士說，以問題引導(dǎo)學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)成為數(shù)學(xué)教學(xué)的一條基本原則，教學(xué)中以數(shù)學(xué)知識的發(fā)生發(fā)展過程和理解數(shù)學(xué)知識的心理過程為基本線索，設(shè)計(jì)前后一致、邏輯連貫的問題鏈，讓學(xué)生進(jìn)入思維的軌道，在問題鏈的引導(dǎo)下，積極主動分析、思考、探究、解決問題，最終深刻地掌握數(shù)學(xué)知識[4]。

本節(jié)課以7個(gè)問題構(gòu)建問題鏈，問題1引導(dǎo)學(xué)生通過特殊替代得到基本不等式，相比于復(fù)雜的情景引入，這種直奔主題的教學(xué)方式簡潔清晰、自然流暢;問題2引導(dǎo)學(xué)生思考如何證明基本不等式，順勢介紹分析法，教會學(xué)生分析問題的不同策略，提高學(xué)生的思維水平;問題3引導(dǎo)學(xué)生在幾何圖中找出基本不等式的幾何解釋，由“數(shù)”到“形”，引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度思考問題，加深學(xué)生的思維深度;問題4引導(dǎo)學(xué)生思考“基本”一詞的含義，加深學(xué)生對基本不等式的理解;問題5強(qiáng)調(diào)基本不等式的使用條件和取等條件，分析“當(dāng)且僅當(dāng)”的含義，加深學(xué)生對基本不等式的認(rèn)識和理解;問題6引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合例2思考、總結(jié)出利用基本不等式求最值的數(shù)學(xué)模型;問題7引導(dǎo)學(xué)生從知識、方法、思想三個(gè)方面總結(jié)一節(jié)課所學(xué)，使學(xué)生對本節(jié)課所學(xué)有一個(gè)清晰、完整的認(rèn)識。

（二）注重?cái)?shù)學(xué)思想的滲透，優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)識結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)思想是對數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)認(rèn)識，是數(shù)學(xué)的精髓，是數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)能力之間的一座“橋梁”。筆者認(rèn)為，教學(xué)中注重?cái)?shù)學(xué)思想的滲透，可以幫助學(xué)生優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)，學(xué)會“用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界”[5]。

本節(jié)課的教學(xué)中多處體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想的滲透，在環(huán)節(jié)1中，回顧重要不等式后，引導(dǎo)學(xué)生用[a和b]分別替換[a和b]，滲透了函數(shù)代換的思想;在環(huán)節(jié)2中，師生合作，先從代數(shù)角度證明基本不等式，再從幾何圖形中找出基本不等式的幾何意義，向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想;在環(huán)節(jié)4中，在例1的基礎(chǔ)上，變式需分類考慮[x]的正負(fù)，當(dāng)[x<0]時(shí)同時(shí)提取負(fù)號后，括號內(nèi)使用基本不等式求最值，這里滲透了分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想。例2及問題6的探究，得出“積定和最小，和定積最大”的結(jié)論及“一正、二定、三等”的解題步驟，也體現(xiàn)了建模的數(shù)學(xué)思想。

（三）尊重學(xué)生的主體地位，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

筆者認(rèn)為，課堂上數(shù)學(xué)知識的生成應(yīng)是師生共同探究所得，是自然而然從學(xué)生頭腦中流淌出來的，而不是“強(qiáng)加于人”的。學(xué)生只有經(jīng)歷自主探究新知的過程，才能從中習(xí)得數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展自身的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

本節(jié)課屬于定理教學(xué)課，教師始終尊重學(xué)生的主體地位，始終堅(jiān)持以學(xué)生為主體，用問題引領(lǐng)教學(xué)，學(xué)生在問題鏈的驅(qū)動下完成基本不等式的發(fā)現(xiàn)、證明、理解、應(yīng)用，體會定理探索的一般思路，為今后探究其他定理提供模式化的思路與方法。通過函數(shù)代換得到基本不等式，發(fā)展了學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。從“數(shù)”與“形”兩個(gè)角度證明基本不等式，發(fā)展了學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。在例題教學(xué)中，通過例題總結(jié)出利用基本不等式求最值的方法，發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1]王建強(qiáng).課堂問題鏈的設(shè)計(jì)、實(shí)踐與思考[J].上海教育科研，2015（4）：71-73.

[2]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[Ml.北京：人民教育出版社，2018.

[3]馬云鵬.關(guān)于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的幾個(gè)問題[J].課程·教材·教法，2015，35（9）：36-38.

[4]章建躍.構(gòu)建邏輯連貫的學(xué)習(xí)過程使學(xué)生學(xué)會思考[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2013（6）：5-8，封底.

[5]史寧中.高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂中的關(guān)鍵問題[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2018（1）：8-10.

（責(zé)任編輯：楊紅波）