閆穎

【摘 要】推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，借助一道選擇題隨機(jī)抽取五、六年級(jí)各一個(gè)班作為調(diào)查對(duì)象，調(diào)查結(jié)果顯示高年級(jí)學(xué)生推理水平特點(diǎn)表現(xiàn)為知識(shí)記憶影響答題正確率、解題策略占比因年級(jí)而不同、推理水平隨著年級(jí)整體遞增?；谡{(diào)查結(jié)果，通過(guò)教學(xué)實(shí)踐總結(jié)提升兒童推理水平的策略：立足本質(zhì)，挖掘推理素材;暴露思維，經(jīng)歷推理過(guò)程;巧用反例，體驗(yàn)合情推理的或然性。

【關(guān)鍵詞】邏輯推理 選擇質(zhì)數(shù) 思維過(guò)程

【緣起】

選擇題是小學(xué)數(shù)學(xué)測(cè)試中的常見(jiàn)題型，具體的解決方法有多種，例如解題確認(rèn)法（將所給問(wèn)題解答出來(lái)，到所給選項(xiàng)中選擇正確答案）、排除法（將錯(cuò)誤的選項(xiàng)逐一排除，從而確認(rèn)正確的選項(xiàng)）、代入法（將所給選項(xiàng)逐一放到問(wèn)題中，將未知變已知，從而確認(rèn)正確的選項(xiàng)）、估測(cè)法（遇到一時(shí)無(wú)法解決的問(wèn)題隨意選擇一個(gè)選項(xiàng)）等。在實(shí)際做選擇題時(shí)，學(xué)生采用了怎樣的方法？不同年級(jí)的學(xué)生面對(duì)同一問(wèn)題，又有怎樣不同的思維水平？我們?cè)谝淮螠y(cè)試中，將同一道選擇題放在了五、六年級(jí)，并要求學(xué)生寫出具體的想法，題目如下：

95、89和87這三個(gè)數(shù)中，哪一個(gè)是質(zhì)數(shù)？你是怎樣判斷的？把你的想法寫下來(lái)。

【測(cè)試結(jié)果】

測(cè)試對(duì)象：五、六年級(jí)每個(gè)年級(jí)隨機(jī)抽取一個(gè)班級(jí)。其中五年級(jí)47人，六年級(jí)65人，共112人。

測(cè)試結(jié)果分析：

五年級(jí)學(xué)生測(cè)試的正確率是93.6%，而六年級(jí)學(xué)生測(cè)試正確率卻是80%。很多學(xué)生雖然答案是正確的，但對(duì)于怎樣判斷的說(shuō)不出所以然，或者直接不寫想法，這樣的學(xué)生占比是16.3%。

本題主要讓學(xué)生運(yùn)用知識(shí)判斷一個(gè)數(shù)是不是質(zhì)數(shù)，是一道基礎(chǔ)題，卻出現(xiàn)了這樣的結(jié)果。是學(xué)生對(duì)知識(shí)本身不理解？還是六年級(jí)學(xué)生對(duì)這部分知識(shí)有所遺忘？帶著這些疑問(wèn)，筆者對(duì)參測(cè)學(xué)生的真實(shí)想法進(jìn)行了梳理和分類。學(xué)生大致采用了三種方法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。

1.一一列舉

所謂一一列舉，就是將每個(gè)數(shù)的所有因數(shù)全部寫出來(lái)，從而找到問(wèn)題的答案（如下圖）。此題學(xué)生將95、89、87四個(gè)數(shù)的因數(shù)一一列舉出來(lái)，根據(jù)質(zhì)數(shù)的定義（一個(gè)數(shù)只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)，這樣的數(shù)叫質(zhì)數(shù)）判斷89是質(zhì)數(shù)。

2.排除法

從確定的合數(shù)想起，把合數(shù)逐一排除從而找到質(zhì)數(shù)的方法（如下圖）。學(xué)生通過(guò)2、3、5倍數(shù)的特征進(jìn)行判斷，95是5的倍數(shù)，87是3的倍數(shù)，這兩個(gè)數(shù)都能判斷出除了1和它本身以外，還有其他的因數(shù)。所以排除這兩個(gè)數(shù)，因此確定89是質(zhì)數(shù)。

3.根據(jù)概念直接選擇

學(xué)生利用質(zhì)數(shù)的概念對(duì)其中的質(zhì)數(shù)直接做出判斷。（如下圖）

4.不嚴(yán)密的推理

判斷這三個(gè)數(shù)是不是2、3、5的倍數(shù)，如果都不是就是質(zhì)數(shù)，反之就不是質(zhì)數(shù)（如下圖）。很顯然學(xué)生只考慮了質(zhì)數(shù)2、3、5，其他的沒(méi)有考慮，致使這種判斷有失偏頗，實(shí)質(zhì)上是一種不嚴(yán)密的推理，有時(shí)得到的答案是錯(cuò)誤的。

以上四種方法在各年級(jí)的占比如下表。

年級(jí) 正確人數(shù) 方法1人數(shù)及占比 方法2人數(shù)及占比 方法3人數(shù)及占比 方法4人數(shù)及占比

五 44 11（25%） 13（29.54%） 14（31.82%） 6（13.64%）

六 52 6（11.54%） 32（61.54%） 10（19.23%） 4（7.69%）

【結(jié)果分析】

通過(guò)對(duì)答題結(jié)果分析，特別是對(duì)學(xué)生“把你的想法寫出來(lái)”中暴露出來(lái)的思維過(guò)程剖析，我們不難發(fā)現(xiàn)，不同年級(jí)在知識(shí)記憶、解決策略（方法）和思維水平方面都呈現(xiàn)出很大的不同。

1.知識(shí)記憶影響推理水平率

從知識(shí)角度看，這道題考查的主要是質(zhì)數(shù)、合數(shù)的概念及判斷方法。因測(cè)試的時(shí)間節(jié)點(diǎn)正好在五年級(jí)學(xué)習(xí)“因數(shù)和倍數(shù)”這個(gè)單元之后，而六年級(jí)學(xué)生卻沒(méi)有開(kāi)始小學(xué)階段的總復(fù)習(xí)。因此，在年級(jí)的總得分率上，五年級(jí)高于六年級(jí)。這恰好驗(yàn)證了艾賓浩斯遺忘規(guī)律。

2.解題策略占比因年級(jí)而不同

五年級(jí)學(xué)生采用列舉法、排除法和直接利用概念選擇的方法占比差不多，看不出哪種方法的優(yōu)勢(shì)。而六年級(jí)則有61.54%的學(xué)生選擇了排除法，即排除法在六年級(jí)學(xué)生中，會(huì)被更多人使用。

3.思維水平隨著年級(jí)整體遞增

在學(xué)生所采用的4種方法中，體現(xiàn)的思維水平也是不同的。大致可以分為三個(gè)層次：第一層次為第4種方法，使用這種方法的學(xué)生往往概念理解不當(dāng)、推理不嚴(yán)密。概念是判斷的基礎(chǔ)，而判斷又是推理的基礎(chǔ)，因此，概念是影響正確推理的重要保障，概念不清直接影響正確推理。第二層次為第3種和第1種方法。這兩種方法都能夠根據(jù)質(zhì)數(shù)的概念做出相應(yīng)的判斷。在選擇質(zhì)數(shù)的過(guò)程中，也經(jīng)歷了較為完整的三段論推理的過(guò)程：“因?yàn)橘|(zhì)數(shù)是只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)的數(shù)，而89只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)，所以89是質(zhì)數(shù)”。相對(duì)于第3種方法，采用第1種方法的同學(xué)思維更加嚴(yán)謹(jǐn)，逐一判斷每個(gè)數(shù)的因數(shù)個(gè)數(shù)，最后選出其中的質(zhì)數(shù)。第三層次為第2種方法，即排除法，主要找到某個(gè)數(shù)有除了1和它本身之外的因數(shù)，就可以確定它為合數(shù)，因此就能把這個(gè)數(shù)排除掉。使用這種方法的學(xué)生呈現(xiàn)出的思維水平最高：一是概念理解準(zhǔn)確，能夠靈活運(yùn)用概念;二是思維過(guò)程簡(jiǎn)潔;三是能夠確保答案準(zhǔn)確。相對(duì)于其他方法，判斷一個(gè)更大的數(shù)是不是質(zhì)數(shù)，采用這種方法更有效。因此排除法也是體現(xiàn)了較高思維水平的方法。

【我的思考】

推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，能進(jìn)行推理是理解數(shù)學(xué)的關(guān)鍵。知識(shí)固然重要，但能把自己的推理過(guò)程清晰地表達(dá)出來(lái)，則是知識(shí)內(nèi)化的外在表現(xiàn)，也是發(fā)展學(xué)生推理能力的關(guān)鍵。如何提升學(xué)生的推理水平？怎樣引導(dǎo)學(xué)生逐步由思維嚴(yán)謹(jǐn)性到思維靈活性再到思維創(chuàng)造性？在實(shí)際教學(xué)中，我們不妨從以下幾個(gè)方面努力：

1.立足本質(zhì)，挖掘推理素材

質(zhì)數(shù)和合數(shù)這一內(nèi)容是在奇數(shù)與偶數(shù)及2、3、5倍數(shù)特征的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的。由于本單元概念較多，加上奇數(shù)與偶數(shù)這部分內(nèi)容的負(fù)遷移作用，使得學(xué)生對(duì)奇數(shù)和質(zhì)數(shù)的概念產(chǎn)生混淆，因此教學(xué)時(shí)，基于學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)，可適當(dāng)將教材中隱藏的推理素材進(jìn)行重組，實(shí)現(xiàn)教學(xué)和素材有效組合。教學(xué)時(shí)讓學(xué)生分別用12個(gè)和13個(gè)小正方形擺長(zhǎng)方形，看看一共有幾種不同的擺法。通過(guò)操作引發(fā)學(xué)生思考：為什么12個(gè)小正方形能擺出不同的長(zhǎng)方形，而13個(gè)小正方形卻只能擺出一種？這時(shí)適時(shí)引入質(zhì)數(shù)、合數(shù)的概念，從而使學(xué)生認(rèn)識(shí)到12是一個(gè)合數(shù)，3種擺法對(duì)應(yīng)是12的3組因數(shù)（1、12，2、6，3、4）。而13是一個(gè)質(zhì)數(shù)，只有一種擺法，因此只有1和13兩個(gè)因數(shù)。從而厘清了質(zhì)數(shù)和合數(shù)的本質(zhì)內(nèi)涵，從直觀的角度賦予質(zhì)數(shù)、合數(shù)本質(zhì)的意義。隨后呈現(xiàn)1～20各數(shù)的表格，讓學(xué)生圈出質(zhì)數(shù)，并說(shuō)說(shuō)剩下的數(shù)為什么不是質(zhì)數(shù)。在此基礎(chǔ)上呈現(xiàn)30～50各數(shù)的表格，繼續(xù)讓學(xué)生圈出質(zhì)數(shù)，看看能不能依據(jù)20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)做出判斷。比如2、3、5、7、11、13、17、19是質(zhì)數(shù)，33、35、37、39……是不是也是質(zhì)數(shù)，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)33、35、39并不是質(zhì)數(shù)。由此可以知道，奇數(shù)并不一定是質(zhì)數(shù)。接著讓學(xué)生猜測(cè)所有的偶數(shù)是不是合數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生舉例判斷。由于偶數(shù)都是2的倍數(shù)，所以偶數(shù)都是合數(shù)（2除外）。進(jìn)一步厘清了奇數(shù)和質(zhì)數(shù)、合數(shù)與偶數(shù)之間的聯(lián)系和區(qū)別，同時(shí)經(jīng)歷了“猜想—舉例—驗(yàn)證”的推理過(guò)程，提升了學(xué)生的推理能力。

2.暴露思維，經(jīng)歷推理過(guò)程

推理能力的培養(yǎng)不是一蹴而就的，而是一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程。而在這一過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行有根據(jù)的表達(dá)推理，利用多種方法輔助推理，是培養(yǎng)推理能力的首要任務(wù)，將會(huì)收到事半功倍的效果。學(xué)生的思維向縱深化發(fā)展，使其知其然更知其所以然。

（1）有序表達(dá)自己的推理過(guò)程。有序思考，是學(xué)生思維清晰、簡(jiǎn)潔的表現(xiàn)。只會(huì)做題講不出所以然，是機(jī)械、記憶學(xué)習(xí)的表現(xiàn)。比如有些學(xué)生靠記憶熟背了100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)表，判斷一個(gè)數(shù)是否是質(zhì)數(shù)速度很快，但是一旦數(shù)超過(guò)了100就無(wú)從下手，更不要說(shuō)表述自己推理的過(guò)程了。而說(shuō)的過(guò)程正是學(xué)生自信、大膽的表現(xiàn)。首先，要敢說(shuō)。針對(duì)測(cè)試題，可以先讓學(xué)生從易到難說(shuō)說(shuō)自己對(duì)95、89、87這三個(gè)數(shù)的判斷，即使不全面、不準(zhǔn)確，甚至是錯(cuò)誤的想法，教師都要表示理解和接納，這是走向表達(dá)的第一步。其次，要會(huì)說(shuō)。學(xué)生說(shuō)出自己真實(shí)的想法后，可以引導(dǎo)其在小組、全班相互交流、學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，補(bǔ)充、完善自己的想法，或修正，或“正誤”，從而學(xué)會(huì)正確地表達(dá)思考的過(guò)程。最后，有序說(shuō)。這里的“序”可以是知識(shí)的序，也可以是思維的序。學(xué)生可能按照三個(gè)數(shù)呈現(xiàn)的順序依次判斷，按照思維的序，則是先從2、3、5的倍數(shù)開(kāi)始判斷，即先易后難。從“敢說(shuō)”到“會(huì)說(shuō)”到“有序”說(shuō)，是學(xué)生思維的不斷深化，是知識(shí)在頭腦中的不斷重組和建構(gòu)。

（2）多種方法輔助推理。受思維發(fā)展水平和年齡的限制，小學(xué)生的推理能力仍需要借助一些直觀的手段幫助其理解知識(shí)、應(yīng)用知識(shí)，這樣的方法可以是操作、畫圖等。多種方法輔助推理，能培養(yǎng)學(xué)生思維的條理性，養(yǎng)成從證據(jù)到推理的思維習(xí)慣。在說(shuō)的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生想辦法證明自己對(duì)上面三個(gè)數(shù)的判斷。學(xué)生可能想到的方法有反例（即排除法）、計(jì)算、查閱質(zhì)數(shù)表等，如此可以深化對(duì)知識(shí)的理解，又能為學(xué)生的演繹推理奠定基礎(chǔ)。

3.巧用反例，體驗(yàn)合情推理的或然性

推理，尤其是合情推理，結(jié)論是好似為真的，具有或然性。因此引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)推理的或然性尤為重要，避免學(xué)生進(jìn)入認(rèn)為只要猜想—驗(yàn)證結(jié)論就是正確的這一誤區(qū)。例如：判斷551和553這兩個(gè)數(shù)時(shí)，學(xué)生很容易將這兩個(gè)數(shù)歸為質(zhì)數(shù)，這就暴露了學(xué)習(xí)中的問(wèn)題，直觀判斷551和553只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)，其主要原因是551和553都是奇數(shù)。這時(shí)正是體驗(yàn)推理或然性的良好時(shí)機(jī)。此時(shí)，教師先不急于評(píng)價(jià)，讓學(xué)生通過(guò)自己的方法來(lái)驗(yàn)證這一結(jié)論，即排除法。從而發(fā)現(xiàn)551有因數(shù)19，553有因數(shù)7。這樣的教學(xué)使學(xué)生意識(shí)到，單憑自己的觀察、猜測(cè)和已有經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行判斷，往往容易出現(xiàn)錯(cuò)誤。一切猜想和判斷都要建立在嚴(yán)密的推理之上，要注重全面、理性的驗(yàn)證，否則結(jié)果很有可能是或然的。

培養(yǎng)、發(fā)展學(xué)生的推理能力，需要基于學(xué)生已有的認(rèn)知發(fā)展水平。關(guān)注學(xué)生是如何想的、如何學(xué)的，充分暴露學(xué)生的思維過(guò)程，立足學(xué)科本質(zhì)，找到教學(xué)的起點(diǎn)，針對(duì)思維的不同層次提升學(xué)生的推理水平，從而提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

【參考文獻(xiàn)】

[1]鄭毓信.數(shù)學(xué)思維與小學(xué)數(shù)學(xué)[M].南京：江蘇教育出版社，2008.

[2]史寧中.數(shù)學(xué)思想概論（第4輯）：數(shù)學(xué)中的歸納推理[M].長(zhǎng)春：東北師范大學(xué)出版社，2015.

[3]史寧中.數(shù)學(xué)基本思想18講[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2016.