牛獻(xiàn)禮

【摘 要】教師從數(shù)學(xué)學(xué)科整體脈絡(luò)上分析教學(xué)內(nèi)容，并結(jié)構(gòu)化地設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中邊學(xué)邊“聯(lián)”，將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)化，幫助學(xué)生建立一個(gè)融會(huì)貫通的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，才能有效地發(fā)展學(xué)生的思維能力，提升思維品質(zhì)。本文以“有余數(shù)的除法”的教學(xué)為例，抓住教學(xué)內(nèi)容的核心、聯(lián)系及生長(zhǎng)點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生深刻理解“有余數(shù)的除法”算式中各部分間的結(jié)構(gòu)關(guān)系，把新知納入已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系中，推動(dòng)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容的整體把握，促使學(xué)生養(yǎng)成結(jié)構(gòu)化的思維方式。

【關(guān)鍵詞】有余數(shù)的除法 結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí) 結(jié)構(gòu)化思維

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程就是新知識(shí)進(jìn)入學(xué)生個(gè)體認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的舊知識(shí)重新建構(gòu)的過(guò)程。數(shù)學(xué)教學(xué)需要基于數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，通過(guò)結(jié)構(gòu)化教學(xué)，幫助學(xué)生建立一個(gè)融會(huì)貫通的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從而達(dá)到發(fā)展學(xué)生思維能力、提升思維品質(zhì)的目的。為此，教師要整體把握數(shù)學(xué)內(nèi)容，并能結(jié)構(gòu)化地設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程，幫助學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中邊學(xué)邊“聯(lián)”，將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)化，最終學(xué)生得到的不僅是數(shù)學(xué)“知識(shí)鏈”“知識(shí)網(wǎng)”，更多的是數(shù)學(xué)思維能力與學(xué)習(xí)能力的提升。下面，筆者以“有余數(shù)的除法”一課的教學(xué)為例，談?wù)勅绾巫尳Y(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)真實(shí)地發(fā)生。

教學(xué)片段一：

1.動(dòng)手“分小棒”，合作填表

出示：把10根小棒分給小朋友，每人分2根，可以分給幾人？每人分3根、4根、5根呢？

要求：同桌兩人合作，動(dòng)手分一分小棒，并把每次分的結(jié)果記錄在表格里。

學(xué)生合作分小棒，填寫(xiě)記錄單，教師巡視。

2.對(duì)比辨析

隨著學(xué)生口述，逐步呈現(xiàn)如下四種分法。

把10根小棒分給小朋友。

師：在第2種分法中，最后剩下的1根，為什么不分了呢？

生：因?yàn)槊咳艘?根，最后剩下這1根，不夠再分給1個(gè)人了，就不分了。

師：在第3種分法中，最后剩下的2根，為什么也不分了呢？

生：因?yàn)槊咳艘?根，最后剩下這2根，不夠再分給1個(gè)人了，就不分了。

師：仔細(xì)觀察這4種分法，它們有什么相同點(diǎn)？

（小組討論，全班交流）

生：第1種和第4種的分法都是平均分，因?yàn)樗鼈兠咳朔值靡粯佣唷?/p>

（課件演示：把每份圈一圈，發(fā)現(xiàn)每份確實(shí)同樣多）

師：想一想，第2種和第3種的分法是平均分嗎？為什么？

生1：不是平均分，因?yàn)樽詈笥惺Ｓ?，如果把剩余?根給第1人，第1人就多了;如果給第2人，第2人就多了……每人分得不一樣多。

生2：我覺(jué)得它們都是平均分的，因?yàn)槊糠莘值靡彩峭瑯佣嗟摹?/p>

（課件演示：把每份的根數(shù)圈一圈，直觀發(fā)現(xiàn)“每份同樣多”）

師：不管是“正好分完”還是“分后有剩余”，只要“每份同樣多”，就是平均分！

3.分類(lèi)歸納

師：根據(jù)剛才的討論，你能給這幾種分法分分類(lèi)嗎？

生：第1種和第4種分一類(lèi)，它們“正好分完”;第2種和第3種一類(lèi)，它們“分后有剩余”。

【思考】《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，要注重知識(shí)的‘生長(zhǎng)點(diǎn)與‘延伸點(diǎn)，把每堂課教學(xué)的知識(shí)置于整體知識(shí)的體系中，注重知識(shí)的結(jié)構(gòu)和體系，處理好局部知識(shí)與整體知識(shí)的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性。”在上述教學(xué)中，筆者把“表內(nèi)除法”（余數(shù)為0）與“有余數(shù)的除法”（余數(shù)不為0）看成一個(gè)整體，對(duì)比學(xué)習(xí)。首先，抓住新舊知識(shí)的“聯(lián)結(jié)點(diǎn)”——平均分，創(chuàng)設(shè)“分小棒”的操作情境，讓學(xué)生在動(dòng)手操作中體會(huì)分的過(guò)程以及得出分的結(jié)果，并引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“平均分”時(shí)，存在“正好分完”和“分后有余”兩種情況，體會(huì)“余數(shù)”和“有余數(shù)的除法”產(chǎn)生的必要性。接著，用一個(gè)表格整合了本節(jié)課所有操作活動(dòng)的信息，直觀呈現(xiàn)了“正好分完”和“分后有余”兩種分法的不同，這樣做有利于學(xué)生深刻理解“平均分”的本質(zhì)：不管“正好分完”還是“分后有余”，只要每份同樣多，都是平均分。同時(shí)，讓學(xué)生經(jīng)歷余數(shù)與有余數(shù)的除法等概念的形成過(guò)程，學(xué)生在多次操作的過(guò)程中強(qiáng)烈地感知“剩余”，并通過(guò)對(duì)“如何處理平均分的剩余部分”的辨析，初步了解“分后有余”時(shí)剩余部分?jǐn)?shù)量與總數(shù)、每份數(shù)之間的關(guān)系，初步建立起“余數(shù)”的表象。

教學(xué)片段二：

1.探究“有余數(shù)的除法”的算式

師：想一想，怎樣用算式記錄這兩種“正好分完”小棒的過(guò)程？

學(xué)生口述，師板書(shū)：10÷2=5（人），10÷5=2（人）。

師（指分后剩余1根的分法）：想一想，怎樣用算式記錄這種“分后有余”的情況呢？試一試。

學(xué)生嘗試列式，在小組內(nèi)交流算式和想法。全班交流時(shí)呈現(xiàn)以下幾種典型寫(xiě)法：

（1）3×3+1=10（根）

（2）10÷3=3（人）剩1（根）

（3）10÷3=3（人）……1（根）

（4）10÷3=3（1）

師：仔細(xì)觀察這些算式，比一比，你更喜歡哪個(gè)算式？

引導(dǎo)學(xué)生統(tǒng)一寫(xiě)成10÷3=3（人）……1（根）

【思考】上述讓學(xué)生嘗試用算式記錄“分后有剩余”情況的過(guò)程，就是讓學(xué)生親身經(jīng)歷“分小棒”過(guò)程的數(shù)學(xué)化，經(jīng)歷“有余數(shù)的除法”橫式模型的建構(gòu)過(guò)程，這個(gè)由具象事例進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象的“建?！边^(guò)程不可忽略，即便學(xué)生自己思考列出的算式并不一定準(zhǔn)確。其實(shí)，列出的算式并無(wú)所謂對(duì)錯(cuò)，教師應(yīng)多關(guān)注思考結(jié)果的合理性，并在此基礎(chǔ)上規(guī)范寫(xiě)法。

師：你能結(jié)合分小棒的過(guò)程，說(shuō)一說(shuō)算式中每一個(gè)數(shù)表示的意思嗎？

生：10表示要分10根小棒，3表示每人分3根，3人表示分給了3人，1根表示分完后還剩下1根小棒。

師：在除法算式中，“10”和等號(hào)左右兩邊的“3”分別叫什么名稱(chēng)？你覺(jué)得最后的“1”根應(yīng)該叫作什么？

板書(shū)：

師（指分后剩余2根的分法）：你會(huì)用算式記錄這種“分后有剩余”的情況嗎？

（學(xué)生獨(dú)立完成，集體評(píng)議）

板書(shū)：10÷4 = 2（人）……2（根）

師：你能結(jié)合分小棒的過(guò)程，說(shuō)一說(shuō)算式中每一個(gè)數(shù)表示的意思嗎？

2.算式比較，理解“余數(shù)”與“除數(shù)”的關(guān)聯(lián)性

師：請(qǐng)大家仔細(xì)觀察這些除法算式，它們有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？

（在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上，教師利用結(jié)構(gòu)化的板書(shū)，構(gòu)建完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)，如下圖）

師：我們?cè)賮?lái)比較一下這兩道有余數(shù)除法的算式，為什么第一道算式的余數(shù)是“1”，第二道的余數(shù)是“2”呢？

生：因?yàn)榈谝环N分法是剩余1根，第二種分法是剩余2根。

師：第一種分法是每人分3根，除數(shù)是3，剩余1根，余數(shù)就是1;第二種分法是每人分4根，除數(shù)是4，剩余2根，余數(shù)就是2?？磥?lái)余數(shù)跟除數(shù)有關(guān)。

【思考】上述教學(xué)中，借助“表內(nèi)除法”的認(rèn)知基礎(chǔ)，幫助學(xué)生初步建立有余數(shù)的除法中被除數(shù)、除數(shù)、商與余數(shù)之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系，初步形成有余數(shù)除法的表象。通過(guò)結(jié)構(gòu)化的板書(shū)，把新知識(shí)納入已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)之中，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的邏輯美和簡(jiǎn)潔美。這樣的結(jié)構(gòu)化教學(xué)，可以推動(dòng)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容的整體把握和有效建構(gòu)，促使學(xué)生慢慢養(yǎng)成結(jié)構(gòu)化的思維方式，提升學(xué)生的遷移能力。當(dāng)結(jié)構(gòu)化教學(xué)的滲透成為一種自覺(jué)時(shí)，一定能激發(fā)學(xué)生強(qiáng)大的學(xué)習(xí)動(dòng)力，讓學(xué)生的思維走向自主建構(gòu)的結(jié)構(gòu)化，進(jìn)而形成和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

教學(xué)片段三：

習(xí)題1：圈一圈，填一填。

（1）9支鉛筆，每人分2支，可以分給（）人，還剩（）支。

÷ = ?（）…… （）

（2）9支鉛筆，平均分給2人。每人分（）支，還剩（）支。

÷ = ? （）…… ?（）

學(xué)生獨(dú)立完成，教師巡視指導(dǎo)，然后全班交流。

師：這兩個(gè)問(wèn)題都用算式9÷2=4……1解決，想一想，它們表示的意思一樣嗎？

師（小結(jié)）：無(wú)論是“每人分2支”，還是“平均分給2人”，都可以用有余數(shù)的除法算式來(lái)表示。

2.拓展應(yīng)用

師：除了分鉛筆，你還能用“9÷2=4……1”編一個(gè)其他的例子嗎？

（學(xué)生圍繞“9÷2=4……1”舉例。引導(dǎo)學(xué)生多樣化舉例）

師：無(wú)論是分小棒、鉛筆、糖，還是同學(xué)分組，這么多不同的事都能用同一道數(shù)學(xué)算式來(lái)表示，你有什么感受？

生1：我覺(jué)得數(shù)學(xué)算式很神奇！

生2：數(shù)學(xué)算式很了不起！

【思考】上述教學(xué)中，先是讓學(xué)生再次經(jīng)歷分物過(guò)程的數(shù)學(xué)化，并將“有余數(shù)的除法”模型由“包含除”遷移到“等分除”。接著，借助“編故事、舉例子”，將“有余數(shù)的除法”模型由“分鉛筆”遷移拓展到“分書(shū)本”“分糖”“分組”……體現(xiàn)了由數(shù)學(xué)抽象返回生活原型尋找意義的過(guò)程。更難得的是，能夠讓二年級(jí)的學(xué)生真正感悟出“數(shù)學(xué)算式很神奇”“數(shù)學(xué)算式很了不起”，其價(jià)值遠(yuǎn)遠(yuǎn)勝過(guò)掌握幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)。