數(shù)學(xué)教學(xué)中兩類常見(jiàn)學(xué)生錯(cuò)誤的思考

王弟成

摘要：數(shù)學(xué)教學(xué)中，有兩類常見(jiàn)的學(xué)生錯(cuò)誤現(xiàn)象，即“錯(cuò)過(guò)，一段時(shí)間后還會(huì)出錯(cuò)”“同一個(gè)題中前一問(wèn)考慮，而后一問(wèn)卻不考慮”。它們產(chǎn)生的原因有：沒(méi)有形成完善的知識(shí)結(jié)構(gòu)，沒(méi)有形成靈活的遷移能力，沒(méi)有形成良好的思維習(xí)慣。相應(yīng)的教學(xué)對(duì)策是：加強(qiáng)知識(shí)的整體性教學(xué)，完善學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu);加強(qiáng)應(yīng)用的變式性教學(xué)，提升學(xué)生遷移能力;改變教學(xué)方式，讓學(xué)生自主探究和建構(gòu)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué);學(xué)生錯(cuò)誤;知識(shí)結(jié)構(gòu);遷移能力;自主建構(gòu)

一、兩類常見(jiàn)的學(xué)生錯(cuò)誤現(xiàn)象

（一）錯(cuò)過(guò)，一段時(shí)間后還會(huì)出錯(cuò)

教學(xué)中多次遇到這種現(xiàn)象：對(duì)于某道題，學(xué)生錯(cuò)過(guò)，教師講解過(guò)，學(xué)生訂正后，過(guò)一段時(shí)間，再次遇到原題還會(huì)出錯(cuò)。而且，有的題目反復(fù)講解，反復(fù)訂正，卻反復(fù)出錯(cuò)。例如，在高一教學(xué)中講解過(guò)下面一道函數(shù)題：

題1已知a>0且a≠1，若函數(shù)f（x）=loga（ax2-2x+1）在13，3上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）

A.?0，13

B.?[3，∞）

C.?0，13∪（1，3]

D.?0，13∪[3，+∞）

第一次讓學(xué)生獨(dú)立解答此題，全班46人只有6人給出正確答案，同年級(jí)其他班級(jí)的錯(cuò)誤率也很高。學(xué)生的錯(cuò)誤主要出在解答過(guò)程中只考慮函數(shù)單調(diào)性，而忘記考慮對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域。而解決函數(shù)問(wèn)題時(shí)忽視定義域是教師反復(fù)講，學(xué)生反復(fù)錯(cuò)的典型錯(cuò)因。

教師說(shuō)明錯(cuò)誤原因后，學(xué)生改進(jìn)解法：當(dāng)a>1時(shí)，t=ax2-2x+1在13，3上是增函數(shù)，即--22a≤13，同時(shí)還需滿足tmin>0，即a132-2×13+1>0;當(dāng)00，即a·32-2×3+1>0。綜上，a≥3，所以，正確答案是B。教師再次強(qiáng)調(diào)解決函數(shù)問(wèn)題時(shí)要注意函數(shù)的定義域，定義域優(yōu)先考慮，特別是涉及對(duì)數(shù)函數(shù);同時(shí)強(qiáng)調(diào)對(duì)此類問(wèn)題主要是用最值法解決問(wèn)題。

一段時(shí)間后，設(shè)計(jì)多題測(cè)試讓學(xué)生重做此題，參加測(cè)試的8人只有2人做對(duì)。學(xué)生的錯(cuò)誤還是出在忘記考慮定義域。此外，進(jìn)一步還發(fā)現(xiàn)，學(xué)生做對(duì)竟然是因?yàn)椋嚎紤]定義域后，通過(guò)Δ=（-2）2-4a<0得到a>1，發(fā)現(xiàn)只能選B。也就是說(shuō)，他們用錯(cuò)誤的解答過(guò)程得到了正確的解答結(jié)果（因?yàn)榇祟}是選擇題）。這反映出新的問(wèn)題：學(xué)生在解決二次函數(shù)在給定閉區(qū)間上恒大于0的問(wèn)題時(shí)，只從判別式小于0的角度考慮，而不區(qū)分是在閉區(qū)間上判斷，還是在全體實(shí)數(shù)集上判斷。這對(duì)部分學(xué)生來(lái)說(shuō)也是一個(gè)屢講屢錯(cuò)的典型問(wèn)題。

（二）同一個(gè)題中前一問(wèn)考慮，而后一問(wèn)卻不考慮

后續(xù)復(fù)習(xí)階段，再遇定義域問(wèn)題。出現(xiàn)這種現(xiàn)象：在同一道題中，對(duì)第一問(wèn)學(xué)生考慮函數(shù)的定義域，而對(duì)第二問(wèn)卻不考慮函數(shù)定義域。例如，這樣的一道題：

題2已知函數(shù)f（x）=loga（2+x）-loga（2-x）（a>0且a≠1）。

（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性;

（2）解關(guān)于x的不等式f（x）≥loga3x。

對(duì)于此題，在解答第一問(wèn)時(shí)，學(xué)生都能首先考慮定義域，即求得x∈（-2，2），再用函數(shù)奇偶性的定義證明;但在解答第二問(wèn)時(shí)，很多學(xué)生卻不考慮loga3x中x>0。

這種現(xiàn)象還出現(xiàn)在基本不等式的應(yīng)用中。例如，已知x>0，y>0，2x+8y-xy=0，求x+y的最小值時(shí)，學(xué)生都能考慮驗(yàn)證基本等號(hào)成立的條件;但是，已知a，b為正實(shí)數(shù)，判斷“函數(shù)y=a+1a+1的最小值為1”的正確性時(shí)，很多學(xué)生卻不考慮等號(hào)成立的條件。

二、兩類錯(cuò)誤現(xiàn)象產(chǎn)生的原因

（一）沒(méi)有形成完善的知識(shí)結(jié)構(gòu)

無(wú)論是不考慮函數(shù)的定義域，還是不驗(yàn)證基本不等式的使用條件，都說(shuō)明學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中沒(méi)有形成完善的知識(shí)結(jié)構(gòu)，對(duì)知識(shí)的理解和認(rèn)識(shí)是不全面的、缺乏整體性的。例如，對(duì)函數(shù)，過(guò)多關(guān)注解析式，而沒(méi)有從定義域、對(duì)應(yīng)法則的整體角度理解和認(rèn)識(shí);對(duì)基本不等式，只關(guān)注ab≤a+b2這個(gè)式子，沒(méi)有從“ab≤a+b2，a>0，b>0，a+b2與ab有一個(gè)是定值，等號(hào)要能成立”的整體角度理解和認(rèn)識(shí)。

（二）沒(méi)有形成靈活的遷移能力

學(xué)生判斷解析式相同的兩個(gè)函數(shù)是不是同一個(gè)函數(shù)時(shí)、判斷函數(shù)的奇偶性時(shí)，都會(huì)考慮其定義域;在使用基本不等式的解答題中，往往能考慮驗(yàn)證等號(hào)成立的條件。這些都是因?yàn)閷W(xué)生接受過(guò)解決這類問(wèn)題的訓(xùn)練，形成了程序化思維。但是，遇到不同的題型，學(xué)生又不考慮了。這說(shuō)明，學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解與認(rèn)識(shí)與學(xué)習(xí)時(shí)特定的情境緊密相關(guān)，不能很好地遷移運(yùn)用到新的情境中，沒(méi)有形成靈活的遷移能力。

（三）沒(méi)有形成良好的思維習(xí)慣

學(xué)生沒(méi)有形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣，思維無(wú)條理、不周全、想當(dāng)然，因而會(huì)產(chǎn)生各種錯(cuò)誤。而出現(xiàn)錯(cuò)誤后，又簡(jiǎn)單歸結(jié)為粗心、遺忘，不反思自己的思維缺陷。所以只做題，沒(méi)提升思維品質(zhì)，下次遇到還是出錯(cuò)。

三、兩類錯(cuò)誤現(xiàn)象的教學(xué)對(duì)策

（一）加強(qiáng)知識(shí)的整體性教學(xué)，完善學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)

教學(xué)中，教師要加強(qiáng)知識(shí)的整體性（聯(lián)系性）教學(xué)，讓學(xué)生整體地理解和認(rèn)識(shí)知識(shí)，而不是只關(guān)注其中一部分，從而完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。例如，等比數(shù)列求和公式Sn=na1，q=1，

a1（1-qn）1-q，q≠1雖然分兩種情況，但是是一個(gè)整體，對(duì)一個(gè)等比數(shù)列，q等于1、不等于1兩種情況都可能存在。再如，平面上過(guò)某點(diǎn)的直線從斜率角度應(yīng)該分為兩類：一類是斜率存在的直線，可以用點(diǎn)斜式方程表示;一類是斜率不存在的直線，不能用點(diǎn)斜式方程表示。又如，對(duì)sin?α=22，α有兩類值，一類是α=π4+2kπ，一類是α=3π4+2kπ。

（二）加強(qiáng)應(yīng)用的變式性教學(xué)，提升學(xué)生遷移能力

學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握不是一次到位的，有一個(gè)螺旋上升的過(guò)程，易錯(cuò)問(wèn)題需要多次矯正。教師對(duì)此要有清醒的認(rèn)識(shí)，對(duì)重要知識(shí)、易錯(cuò)問(wèn)題，要有計(jì)劃、分階段地教學(xué)。首先要重視知識(shí)的形成過(guò)程，對(duì)核心要素要舍得花時(shí)間，讓學(xué)生留下深刻的“第一印象”——實(shí)踐證明，后期的反復(fù)補(bǔ)償教學(xué)效果不佳。其次要注意變換情境呈現(xiàn)，不斷地深化對(duì)知識(shí)的理解和認(rèn)識(shí)，提升遷移能力。如函數(shù)的定義域，除了在函數(shù)概念教學(xué)時(shí)重視，也要借助求函數(shù)定義域問(wèn)題，判斷兩個(gè)函數(shù)是不是同一函數(shù)問(wèn)題來(lái)強(qiáng)化，還要在新函數(shù)的學(xué)習(xí)中加強(qiáng)，更要在隱含的情境中強(qiáng)化。例如，在對(duì)數(shù)函數(shù)學(xué)習(xí)中，除上述問(wèn)題外，還可以通過(guò)解決下列題加強(qiáng)：

1.已知3a=5b=A，且b+a=2ab，則A的值是。

2.已知函數(shù)f（x）=1+logax（a>0且a≠1）的圖像過(guò)點(diǎn)A，點(diǎn)A在直線y=mx+n（mn>0）上。

（1）求1m+1n的最小值;

（2）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）的定義域是[1，16]，g（x）=f（x2）+[f（x）]2，求g（x）的最小值。

對(duì)于第1題，學(xué)生在由3a=5b=A，得a=log3A、b=log5A時(shí)，非常容易忽視A=0的情況。對(duì)于第2題，由于有式子f（x2），所以要求1≤x2≤16。在新的情境中能自覺(jué)考慮、遷移運(yùn)用，才算真正掌握知識(shí)，知識(shí)才能變?yōu)樗仞B(yǎng)（能力）。教學(xué)中，教師要變換新的情境讓重要的知識(shí)多次出現(xiàn)，以增強(qiáng)學(xué)生的理解和認(rèn)識(shí)，提升學(xué)生的遷移能力。

（三）改變教學(xué)方式，讓學(xué)生自主探究和建構(gòu)

學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤不能僅靠教師強(qiáng)調(diào)，讓學(xué)生注意來(lái)解決問(wèn)題——實(shí)踐證明，單獨(dú)強(qiáng)調(diào)解決不了問(wèn)題;還是要改變教學(xué)方式，由解釋式、告知式、強(qiáng)調(diào)式教學(xué)轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生參與式、體驗(yàn)式、建構(gòu)式學(xué)習(xí)。例如，對(duì)于題1中的錯(cuò)誤，要放手讓學(xué)生對(duì)“錯(cuò)在何處？是什么原因?qū)е洛e(cuò)誤？是知識(shí)缺陷，還是思維不嚴(yán)謹(jǐn)？如何改正？怎么預(yù)防這類錯(cuò)誤發(fā)生？”等問(wèn)題進(jìn)行充分討論、深度反思，形成自己的思考。

對(duì)于重要知識(shí)，教師要重視教學(xué)設(shè)計(jì)，包括課時(shí)設(shè)計(jì)、單元設(shè)計(jì)、長(zhǎng)期設(shè)計(jì)，在精細(xì)化的教學(xué)過(guò)程中，讓學(xué)生自主探究，獲得切身的體驗(yàn)，建構(gòu)自己的理解和認(rèn)識(shí)，從而應(yīng)用自如，隨取隨用，不出錯(cuò)，少出錯(cuò)。例如，由于初中函數(shù)學(xué)習(xí)中幾乎不涉及定義域問(wèn)題，所以學(xué)生解題習(xí)慣是不考慮定義域的。所以，高中函數(shù)教學(xué)首先要改變學(xué)生的思維定式，在函數(shù)概念抽象過(guò)程中就要讓學(xué)生體會(huì)到定義域的重要性，理解定義域不同即使解析式相同的函數(shù)也是不同的函數(shù);在函數(shù)單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì)學(xué)習(xí)中讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)，離開(kāi)定義域，這些性質(zhì)都是沒(méi)有辦法研究的;后續(xù)還要在新的情境中多次出現(xiàn)，讓學(xué)生建構(gòu)完善的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，對(duì)函數(shù)的定義域形成自己的理解和認(rèn)識(shí)。