倪永婧,郭 巍,張靜濤

(1.河北科技大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，河北 石家莊 050000；2.中國電子科技集團(tuán)公司第五十四研究所，河北 石家莊 050081)

0 引言

在通信中，由于信道上存在著許多干擾，因此接收機(jī)會(huì)出現(xiàn)接收錯(cuò)誤，這一點(diǎn)在無線信道中尤其嚴(yán)重。香農(nóng)的信道編碼定理指出[1]，在碼長趨向無窮長時(shí)，可以找到達(dá)到信道容量的編碼。BCH和LDPC就是2類經(jīng)過特殊設(shè)計(jì)的信道編碼。其中， LDPC的漢明距離隨著碼長的增加而增加[2]，因此在碼長很長時(shí)，可以接近信道容量。

盡管LDPC具有相當(dāng)多的優(yōu)勢(shì)，但是在一些特殊場(chǎng)景中，比如功率很低的情況下，信息速率也非常低，此時(shí)LDPC引起的延遲會(huì)十分顯著。在有限碼長編碼理論中，文獻(xiàn)[3-4]研究了有限碼長信道編碼的理論性能，文獻(xiàn)[5]研究了有限碼長下的信道-信源聯(lián)合編碼，文獻(xiàn)[6]研究了接力信道中采用有限碼長編碼的優(yōu)勢(shì)。上述研究都是有限碼長編碼的理論研究，如何構(gòu)造高性能有限碼長編碼的問題，通常由RS、RM碼等構(gòu)造[7]。近年來，隨著機(jī)器學(xué)習(xí)的發(fā)展，將以深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為代表的機(jī)器學(xué)習(xí)的方法應(yīng)用在物理層上，例如調(diào)制識(shí)別[8]、序列估計(jì)[9]等，從而在一些特殊場(chǎng)景下獲得比傳統(tǒng)算法更好的性能。在信道編碼方面，文獻(xiàn)[10]將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用在隨機(jī)編碼和Polar碼的譯碼器上。文獻(xiàn)[11]采用卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)有色高斯噪聲，從而提高了LDPC在有色高斯噪聲下的性能。文獻(xiàn)[12-13]采用循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，在增加了隨機(jī)置換層之后，提高了HDPC的性能，在較低運(yùn)算資源下獲得了與極大似然譯碼相近的性能。

本文將RNN應(yīng)用在短碼長LDPC譯碼器上，提高了譯碼器的性能。首先，簡單介紹了LDPC的傳統(tǒng)譯碼方法，包括和-積算法及其Trellis圖的表示，并且給出了一個(gè)簡單的Trellis圖的例子。其次是基于RNN的LDPC譯碼算法，然后對(duì)本文提出的算法進(jìn)行了仿真驗(yàn)證，最后給出結(jié)論。

1 置信度傳播算法及其Trellis圖表示

1.1 置信度傳播算法

置信度傳播(Belief Propagation)算法是Tanner圖上的消息傳播算法，用于計(jì)算邊緣概率分布。LDPC的和-積(Sum-Product)譯碼算法是置信度傳播算法的應(yīng)用，LDPC的其他近似譯碼算法，例如最小-和(Min-Sum)算法是對(duì)和-積算法的近似。根據(jù)文獻(xiàn)[14]，當(dāng)Tanner上沒有環(huán)時(shí)，LDPC的碼距上限很低，因此性能高的LDPC的Tanner圖上均有環(huán)，從而置信度傳播算法的結(jié)果近似于邊緣概率分布。當(dāng)譯碼器的輸入為對(duì)數(shù)似然比時(shí)，置信度傳播算法的第l次迭代如下所示[15]：

(1)

(2)

式(1)被稱作行更新，Nm,n表示校驗(yàn)矩陣第m行中除了第n列上的非零元素之外，其他非零元素的列號(hào)的集合。式(2)被稱作列更新，Mn表示第n列上所有非零元素的行號(hào)集合。LLR是譯碼器輸入的對(duì)數(shù)似然比。第l次迭代之后，每符號(hào)的邊緣概率分布為：

(3)

在機(jī)器學(xué)習(xí)中，函數(shù)：

被稱為Sigmoid函數(shù)，通常作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出層。

1.2 Trellis圖

將1.1節(jié)中的置信度傳播算法展開，就可以得到譯碼器的Trellis圖表示[11]。Trellis圖可以分為輸入層、中間層和輸出層3部分。輸入層的節(jié)點(diǎn)表示解調(diào)器的輸出，通常為對(duì)數(shù)似然比。中間層的節(jié)點(diǎn)表示Tanner圖中邊上傳播的信息。輸出層對(duì)中間層計(jì)算的條件概率做邊緣化處理，得到碼字中每符號(hào)的對(duì)數(shù)似然比。

Trellis圖中只有分別屬于相鄰2層的節(jié)點(diǎn)之間有邊，這些邊由碼字的校驗(yàn)矩陣決定。假設(shè)Trellis圖中共有2L個(gè)中間層，那么，當(dāng)i∈{2,4,…,2L}時(shí)，第i層的輸出為：

(4)

當(dāng)i∈{2,4,…,2L}時(shí)，i層的輸出為：

(5)

Trellis圖的輸出為：

(6)

以文獻(xiàn)[16]中的編碼為例，其校驗(yàn)矩陣如式(7)所示。不難看出，這是一個(gè)規(guī)則編碼，碼長很短，其Tanner中邊的數(shù)量很少。根據(jù)Trellis圖的定義，Trellis中的中間節(jié)點(diǎn)表示每次迭代中Tanner圖中對(duì)應(yīng)邊上所傳播的信息。因此式(7)所示的編碼的Trellis圖較為簡單，易于在上面進(jìn)行計(jì)算驗(yàn)證。

。

(7)

圖 1是式(7)所表示編碼的Trellis圖，中間共4層隱藏節(jié)點(diǎn)，意味著該圖描述了2次置信度傳播迭代。

圖1 式(7)中校驗(yàn)矩陣對(duì)應(yīng)的Trellis圖

節(jié)點(diǎn)上的短線表示輸入譯碼器的對(duì)數(shù)似然比。奇數(shù)列表示置信度傳播算法中的行更新，偶數(shù)列代表置信度傳播算法中的列更新，因此每2列表示置信度傳播算法的一次迭代。

2 權(quán)重優(yōu)化的譯碼器

2.1 循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[17]是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的一種，其特點(diǎn)是在網(wǎng)絡(luò)中增加了隱藏狀態(tài)。RNN的基本結(jié)構(gòu)如圖 2所示。在圖 2中，φ表示中間層，中間層可能包含一些內(nèi)部結(jié)構(gòu)，常見的情況是中間層由一個(gè)全連接層和激活函數(shù)組成。Ht表示t時(shí)刻的隱藏狀態(tài)，xt是t時(shí)刻的輸入，o表示輸出函數(shù)。這樣，t時(shí)刻的輸出可以表示為：

圖2 RNN的結(jié)構(gòu)

(8)

2.2 優(yōu)化權(quán)重的LDPC譯碼器

對(duì)比Trellis圖和RNN可以發(fā)現(xiàn)，Trellis圖和RNN具有十分相似的結(jié)構(gòu)。RNN中的隱藏狀態(tài)是Trellis圖中每次迭代后的概率分布，RNN中的中間輸出結(jié)果是對(duì)每次迭代后的概率分布做邊緣化處理的結(jié)果。

同時(shí)也要注意到，Trellis圖和RNN的主要區(qū)別在于輸入。RNN的提出主要是為了考慮輸入序列中前后符號(hào)之間的相關(guān)性。然而，在譯碼器中，每次迭代后的輸入為同一解調(diào)輸出，循環(huán)迭代的原因是為了近似計(jì)算各符號(hào)的對(duì)數(shù)似然比。

盡管Trellis圖和RNN具有不同的物理意義，其結(jié)構(gòu)上的相似性使得采用訓(xùn)練RNN的方法來優(yōu)化Trellis圖中的權(quán)重成為可能。文獻(xiàn)[12-13]將RNN結(jié)構(gòu)應(yīng)用在BCH、RS等代數(shù)編碼上，獲得了接近于極大似然譯碼的性能。本文考慮另一種編碼，即短碼長的LDPC碼。一般認(rèn)為，LDPC的碼長越長，其性能越好。當(dāng)LDPC的碼長較短時(shí)，其瀑布區(qū)的信噪比會(huì)增加，且平臺(tái)區(qū)的誤碼率也會(huì)增加。因此，LDPC通常應(yīng)用于速率較高的業(yè)務(wù)數(shù)據(jù)，在這種情況下，編碼器引起的延遲可以忽略。在一些具有特殊要求的通信中，受限于發(fā)射機(jī)功率或者接收機(jī)的增益，使得信息速率較低，此時(shí)長碼長的LDPC編碼引起的延遲會(huì)難以接受。這種情況下，除了考慮BCH、RS等代數(shù)編碼之外，短碼長的LDPC編碼也是一種可能的方案。

短碼長LDPC性能較差的主要原因是碼長較短時(shí)，Tanner圖上的環(huán)的半徑較小，從而導(dǎo)致碼距較小。與文獻(xiàn)[12-13]類似，如果改變譯碼中線性運(yùn)算的權(quán)重，那么可以預(yù)期一些導(dǎo)致性能惡化的邊的權(quán)重會(huì)降低，從而提高譯碼器的性能。此外，由于這種譯碼器(BP-RNN)的結(jié)構(gòu)直接來源于置信度傳播算法，因此保證了其性能不會(huì)比置信度傳播算法更差。

具體來說，在BP-RNN譯碼器中，式(4)保持不變，式(5)變?yōu)椋?/p>

,

(9)

，

(10)

損失函數(shù)采用交叉熵，定義如下：

，

(11)

式中，on是網(wǎng)絡(luò)的輸出，代表譯碼器估算的第n個(gè)符號(hào)為0的概率；yn是實(shí)際發(fā)送的碼字。交叉熵衡量的是2個(gè)概率分布之間的相似程度[1]。在訓(xùn)練中發(fā)送的是全零碼字。不難看出，此時(shí)交叉熵只與網(wǎng)絡(luò)輸出有關(guān)，網(wǎng)絡(luò)輸出越接近于0，交叉熵越小。因此優(yōu)化交叉熵，同時(shí)就優(yōu)化了網(wǎng)絡(luò)的性能。

式(4)中的雙曲正切和反雙曲正切函數(shù)的計(jì)算量很大，Min-Sum算法[16]對(duì)式(4)做近似處理：

。

(12)

同樣地，在BP-RNN譯碼器中，也采用類似的近似方法，并將式(12)中的權(quán)重改為需要優(yōu)化的權(quán)重，即：

。

(13)

可以看出，BP-RNN中只調(diào)整中間層和輸出的邊的權(quán)重，并不調(diào)整輸入層邊的權(quán)重。這是由于輸入層僅僅完成每個(gè)符號(hào)的對(duì)數(shù)似然比的傳遞，并不需要改變其大小。

3 仿真結(jié)果

為了驗(yàn)證本文算法的性能，在特定的短碼長LDPC上進(jìn)行了仿真。本文采用了文獻(xiàn)[18]中的短碼長LDPC設(shè)計(jì)方法，設(shè)計(jì)了碼長為128，256和512的3種準(zhǔn)循環(huán)LDPC，其校驗(yàn)矩陣分別如圖 3、圖 4和圖 5所示。仿真中采用了深度學(xué)習(xí)框架PyTorch[19]。

圖3 LDPC(128,64)校驗(yàn)矩陣

圖4 LDPC(256,128)校驗(yàn)矩陣

圖5 LDPC(512,256)校驗(yàn)矩陣

在訓(xùn)練中，發(fā)送的碼字為全0碼，采用PyTorch實(shí)現(xiàn)的隨機(jī)梯度下降[20](SGD)算法來優(yōu)化譯碼器的權(quán)重，學(xué)習(xí)速率為10-3，mini-batch的大小為200。Gruber等人[10]的研究結(jié)果表明，在處理類似LDPC的隨機(jī)編碼時(shí)，如果網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)較差，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)訓(xùn)練時(shí)沒有出現(xiàn)過的碼字有可能無法正確譯碼。因此，在性能評(píng)估中，首先生成長度為64，128和512的隨機(jī)二進(jìn)制序列，然后編碼為碼率1/2的系統(tǒng)碼。這樣，所有參與性能評(píng)估的碼字均為訓(xùn)練時(shí)未出現(xiàn)的碼字(全零碼字出現(xiàn)的概率僅為2-64或更低，可以認(rèn)為不出現(xiàn))，從而增加了仿真結(jié)果的說服力。此外，文獻(xiàn)[12-13]中訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)時(shí)，訓(xùn)練數(shù)據(jù)為不同信噪比下的接收數(shù)據(jù)。由于LDPC本身的譯碼性能優(yōu)于文獻(xiàn)[12-13]中的BCH碼，因此本文只在低信噪比下訓(xùn)練。實(shí)際訓(xùn)練數(shù)據(jù)的信噪比為3.3 dB。同時(shí)，在訓(xùn)練時(shí)，RNN中的迭代次數(shù)為2，而訓(xùn)練完成后，RNN的迭代次數(shù)可以為任意多次。在調(diào)制方式為BPSK，AWGN信道的條件下，解調(diào)器輸出的對(duì)數(shù)似然比為[15]：

(14)

式中，σ2為噪聲的方差；R為碼率；Eb為每比特能量；rn為第n個(gè)符號(hào)接幅度。

圖 6是碼長128的LDPC譯碼器性能。從中可以看出，盡管BP-RNN在訓(xùn)練時(shí)只采用了2次迭代，但是在訓(xùn)練完成后，隨著迭代次數(shù)的增加，BP-RNN相對(duì)于BP的優(yōu)勢(shì)越明顯。在迭代15次時(shí)，BP-RNN相比BP大約有0.5 dB的增益，且BP-RNN采用5次迭代時(shí)已經(jīng)超過BP15次迭代的性能。其次，盡管訓(xùn)練時(shí)采用了低信噪比的數(shù)據(jù)，BP-RNN譯碼器在所有信噪比下的誤碼率都低于BP譯碼器。

圖6 LDPC(128,64)，BP譯碼器和BP-RNN譯碼器性能

圖 7和圖 8分別是LDPC(256,128)和LDPC(512,256)的譯碼器性能。與LDPC(128,64)類似，在多次迭代的情況下，BP-RNN相比BP獲得了超過0.5 dB的增益。另一方面，RNN網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化之后，引入了大量浮點(diǎn)數(shù)乘法運(yùn)算，從而增加了譯碼器計(jì)算復(fù)雜度，這是BP-RNN譯碼器的缺點(diǎn)。

圖7 LDPC(256,128)，BP譯碼器和BP-RNN譯碼器性能

圖8 LDPC(512,256)，BP譯碼器和BP-RNN譯碼器性能

4 結(jié)束語

本文探討了基于RNN結(jié)構(gòu)的譯碼器在短碼長LDPC上的應(yīng)用，介紹了BP-RNN譯碼器的結(jié)構(gòu)，采用交叉熵作為損失函數(shù)，并且對(duì)碼長分別為128,256和512的QC-LDPC進(jìn)行仿真。結(jié)果表明，在迭代次數(shù)較多的情況下，BP-RNN譯碼器運(yùn)算復(fù)雜度增加，但是相比BP譯碼器的性能有較大提高。本文的仿真均采用了雙精度浮點(diǎn)數(shù)，在實(shí)際實(shí)現(xiàn)中，可否采用定點(diǎn)數(shù)，從而降低運(yùn)算復(fù)雜度，提高譯碼器的吞吐率，是將來需要進(jìn)一步研究的問題。