八桿并聯(lián)緩沖平臺結(jié)構(gòu)參數(shù)對系統(tǒng)固有頻率的影響

張宇航　金映麗

摘 要：作戰(zhàn)艦船在海面執(zhí)行任務(wù)期間，艦載慣性導(dǎo)航系統(tǒng)工作環(huán)境惡劣，為保證其導(dǎo)航精度，有必要安裝隔振緩沖裝置。本文以八桿并聯(lián)緩沖平臺為研究對象，根據(jù)矢量積法推導(dǎo)出雅克比矩陣，建立了廣義固有頻率數(shù)學(xué)模型，分析結(jié)構(gòu)參數(shù)對系統(tǒng)固有頻率的影響，并借助ADAMS軟件進(jìn)行驗(yàn)證。結(jié)果表明，所建廣義固有頻率數(shù)學(xué)模型正確，分析所得結(jié)果為類似多桿并聯(lián)緩沖平臺的優(yōu)化設(shè)計提供理論指導(dǎo)。

關(guān)鍵詞：慣性導(dǎo)航系統(tǒng);多桿并聯(lián)平臺;固有頻率;結(jié)構(gòu)參數(shù)

中圖分類號：TH113文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1003-5168（2021）06-0088-05

The Influence of the Structural Parameters of the Eight-Bar Parallel

Buffer Platform on the Natural Frequency of the System

ZHANG Yuhang JIN Yingli

（School of Mechanical Engineering， Shenyang University of Technology，Shenyang Liaoning 110870）

Abstract： During the operation of combat ships on the sea surface， the working environment of the shipboard inertial navigation system is harsh， in order to ensure its navigation accuracy， it is necessary to install vibration isolation and buffer devices. This paper took the eight-bar parallel buffer platform as the research object， derived the Jacobian matrix according to the vector product method， established a generalized natural frequency mathematical model， analyzed the influence of structural parameters on the natural frequency of the system， and verified it with the aid of ADAMS software. The results show that the mathematical model of the generalized natural frequency is correct， and the analysis results provide theoretical guidance for the optimization design of similar multi-pole parallel buffer platforms.

Keywords： inertial navigation system;multi-pole parallel platform;natural frequency;structural parameter

在復(fù)雜的海洋環(huán)境下，艦船上安裝的慣性導(dǎo)航設(shè)備不僅需要承受螺旋槳或柴油機(jī)等機(jī)械設(shè)備周期性運(yùn)動所產(chǎn)生的振動荷載，也會遭到海浪的拍打或敵方水雷、魚雷等水上武器所產(chǎn)生的沖擊[1]。為保證慣性導(dǎo)航系統(tǒng)的精度，人們必須在艦船和慣性導(dǎo)航系統(tǒng)之間安裝緩沖裝置，隔離外界激勵對精密設(shè)備的干擾[2]。

多桿并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作原理是在每根伸縮桿上加裝彈簧阻尼結(jié)構(gòu)來達(dá)到減振的作用。并聯(lián)機(jī)構(gòu)不僅具有兩個或兩個以上的自由度，而且擁有結(jié)構(gòu)緊湊、剛度高、承載能力強(qiáng)、累計誤差小、速度快和精度高等特性，被廣泛應(yīng)用在精密設(shè)備的隔振抗沖擊中[3]。然而，并聯(lián)隔振平臺工作期間，當(dāng)外界激勵頻率與系統(tǒng)固有頻率接近時，并聯(lián)隔振平臺不僅不能起到原有的抑制減振作用，反而會使被保護(hù)對象的振動加劇，造成系統(tǒng)失穩(wěn)甚至喪失工作能力。因此，有必要對并聯(lián)隔振平臺的結(jié)構(gòu)參數(shù)與固有頻率之間的關(guān)系進(jìn)行揭示，為并聯(lián)隔振緩沖機(jī)構(gòu)的設(shè)計與優(yōu)化提供一定的理論支撐。

近幾年，國內(nèi)外研究學(xué)者對并聯(lián)隔振緩沖機(jī)構(gòu)進(jìn)行了大量的研究。張春輝等[4]研究了被動式Stewart隔沖平臺的剛度特性，為船舶設(shè)備抗沖擊中的實(shí)際應(yīng)用提供了理論和試驗(yàn)依據(jù)。段楠[5]基于形狀記憶合金設(shè)計了一種安裝在適配器和衛(wèi)星之間的被動隔振器，通過分析振動幅值響應(yīng)曲線發(fā)現(xiàn)該隔振器可以有效地隔離振動。另外，國外有研究針對Stewart平臺建立參數(shù)化動力學(xué)模型，分析了支腿剛度、阻尼、慣性矩對系統(tǒng)振動特性的敏感度[6]。通過分析相關(guān)文獻(xiàn)，人們可以發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)有的研究重點(diǎn)集中在對支腿彈簧阻尼結(jié)構(gòu)的改進(jìn)，然而，并聯(lián)隔振緩沖機(jī)構(gòu)的其他結(jié)構(gòu)參數(shù)對固有頻率的影響也不應(yīng)忽略。為設(shè)計出性能更加優(yōu)良的隔振緩沖機(jī)構(gòu)，有必要對其他結(jié)構(gòu)參數(shù)對系統(tǒng)固有頻率的影響進(jìn)行深入研究。

本文以一種八桿結(jié)構(gòu)的并聯(lián)緩沖平臺為研究對象，分析其緩沖桿剛度系數(shù)、上平臺鉸接點(diǎn)半徑、上下平臺近鉸點(diǎn)夾角和上下平臺質(zhì)心距離等結(jié)構(gòu)參數(shù)對系統(tǒng)六階固有頻率的影響，并對各結(jié)構(gòu)參數(shù)對系統(tǒng)固有頻率的影響程度進(jìn)行分析，為后續(xù)類似并聯(lián)平臺的結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)計與優(yōu)化提供一定的理論參考。

1 八桿并聯(lián)緩沖平臺基本尺寸描述

八桿并聯(lián)緩沖平臺的上平臺裝有慣性導(dǎo)航系統(tǒng)，下平臺固定在艦船上，每一根緩沖桿都可以看作是一個單自由度的彈簧阻尼系統(tǒng)，采用球鉸與上、下平臺連接，結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示。為了更加清楚地描述八桿并聯(lián)緩沖平臺在空間中的運(yùn)動情況，對平臺整體結(jié)構(gòu)進(jìn)行簡化處理，如圖2所示。建立兩個坐標(biāo)系作為參考坐標(biāo)系，即動坐標(biāo)系[AOAx′y′z′]和基坐標(biāo)系[BOBxyz]，其中，動坐標(biāo)系[AOAx′y′z′]固定在動平臺中，其坐標(biāo)系原點(diǎn)[OA]與動平臺的質(zhì)心重合，[z′]軸垂直于動平臺向上;基坐標(biāo)系[BOBxyz]固定在基平臺中，坐標(biāo)原點(diǎn)[OB]與基平臺的質(zhì)心重合，[z]軸垂直于基平臺向上。

人們可以分別連接上鉸點(diǎn)[Ai]和下鉸點(diǎn)[Bi]，組成兩個不等邊對稱八邊形，其外接圓半徑分別為[ra]和[rb]，短邊對應(yīng)的圓心角分別為[θa]和[θb]，八桿并聯(lián)緩沖平臺的鉸點(diǎn)位置分布示意圖如圖3所示。

設(shè)基平臺上表面至動平臺下表面的高度為[h]，八桿并聯(lián)緩沖平臺的基本尺寸可由5個參數(shù)確定，其分別是上平臺外接圓半徑[ra]、下平臺外接圓半徑[rb]、上平臺近鉸點(diǎn)夾角[θa]、下平臺近鉸點(diǎn)夾角[θb]、上平臺與下平臺質(zhì)心距離[h]。

2 動力學(xué)建模

并聯(lián)平臺的動力學(xué)模型是一個變量多且相互之間存在復(fù)雜耦合的非線性模型，在建立動力學(xué)模型之前要對系統(tǒng)進(jìn)行簡化。若將上平臺以及所裝載的慣性導(dǎo)航系統(tǒng)、球鉸、上球副座統(tǒng)稱為動平臺，視其為剛體，則整個系統(tǒng)可簡化為圖4所示的模型。

初始狀態(tài)時，動坐標(biāo)系[AOAx′y′z′]和基坐標(biāo)系[BOBxyz]兩個坐標(biāo)系的方向相同。若定義動平臺的質(zhì)心相對于基坐標(biāo)系[BOBxyz]的三個平移坐標(biāo)和三個旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)為廣義坐標(biāo)，即[q=x，y，z，α，β，γT]，則該系統(tǒng)的運(yùn)動方程可表示為矩陣形式，即

[Mq+Cq+Kq=Ft]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （1）

式中，[M]為質(zhì)量矩陣，與動平臺、負(fù)載的質(zhì)量以及其轉(zhuǎn)動慣量有關(guān);[C]為阻尼矩陣，與支腿的阻尼系數(shù)有關(guān);[K]為剛度矩陣，與支腿的剛度系數(shù)有關(guān);[q]、[q]、[q]為動平臺的廣義位移、廣義速度和廣義加速度列矢量;[F]為系統(tǒng)激勵的六維列矢量。

2.1 推導(dǎo)雅克比矩陣

用向量[Ai]表示上平臺連接鉸點(diǎn)，向量[Bi]表示下平臺連接鉸點(diǎn)，每一個緩沖桿幾何描述為它的長度[li]和方向，方向用單位向量[Si]表示。運(yùn)動平臺上[OA]的位置用位置向量[BP=px，py，pzT]表示，運(yùn)動平臺的姿態(tài)用旋轉(zhuǎn)矩陣表示為：

[BRA=cosβcosγ-cosαsinβ+cosβsinγsinαsinβsinα+cosβsinγcosαsinβcosγcosβcosα+sinβsinγsinα-sinαcosβ+sinβsinγcosα-sinβcosγsinαcosαcosβ]? （2）

每根緩沖桿的封閉環(huán)方程可以寫為：

[liBSi=BP+BAi-BBi=BP+BRAAAi-BBi]? ? ? ? ?（3）

將式（3）改寫為：

[BP+BRAAAi=liBSi+BBi]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （4）

對式（4）進(jìn)行時間求導(dǎo)，得到式（5）。

[Bvp+BRAAAi+BRAAAi=liBSi+liBSi+BBi]? ? ? ? （5）

相對于坐標(biāo)系[AOAx′y′z′]，向量[Ai]對時間求導(dǎo)的結(jié)果為零，即[AAi=0]，同樣[BBi=0]。同時，其滿足以下條件：

[BRAAAi=Bw×BRAAAi=Bw×BAi]? ? ? ? ? ? ?（6）

由經(jīng)典力學(xué)中向量的絕對速度和相對速度之間的關(guān)系，單位向量對時間求導(dǎo)可寫成式（7）的形式。

[liBSi=liBwi×Si]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （7）

式中，[Bwi]為緩沖桿[i]在基坐標(biāo)系[BOBxyz]中的角速度。

將式（5）、式（6）代入式（4）中，可得：

[Bvp+Bw×BAi=liBSi+liBwi×Si]? ? ? ? ? ? ? （8）

因?yàn)閇Bwi×Si]與[Si]正交，所以在式（7）兩邊同時點(diǎn)乘[Si]，根據(jù)點(diǎn)乘和叉乘的交換律可得：

[Si?Bvp+BAi×SiBw=li]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（9）

對于八桿并聯(lián)平臺，將式（9）寫成矩陣形式：

[Li=Jq]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （10）

式中，[Li=l1，l2，l3，l4，l5，l6，l7，l8T]為緩沖桿的速度。

將雅克比矩陣[J]寫成[8×6]的矩陣，形式為：

[J=S1TBA1×S1S2TBA2×S2??S8TBA8×S8]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（11）

2.2 廣義質(zhì)量矩陣的計算

動平臺相對于動坐標(biāo)系[AOAx′y′z′]的慣性張量[AI]定義為[3×3]的對稱矩陣：

[AI=AIxx-AIxyAIxz-AIxyAIyy-AIyz-AIxz-AIyzAIzz]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （12）

根據(jù)慣性張量平移和旋轉(zhuǎn)的基本原理可得，動平臺相對于基坐標(biāo)系[BOBxyz]的慣性張量為：

[BI=BRATAIxx+my2+z2-AIxy+mxyAIxz+mxz-AIxy+mxyAIyy+mx2+z2-AIyz+myz-AIxz+mxz-AIyz+myzAIzz+mx2+y2BRA]? ? ?（13）

動平臺在固定坐標(biāo)系[BOBxyz]中的質(zhì)量矩陣為：

[M=m000000m000000m000000000BI000]? ? ? ? ? ? ? ? ? （14）

2.3 廣義剛度和阻尼矩陣的計算

根據(jù)虎克定理可得，緩沖桿微小位移[ΔL]和緩沖桿關(guān)節(jié)力[τ]的關(guān)系如下：

[τ=κ×ΔL]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （15）

式中，[κ=diagk1，k2，k3，k4，k5，k6，k7，k8]，其為[8×8]的對角矩陣。

在這個對角矩陣中，每個元素表示每根緩沖桿的剛度系數(shù)。根據(jù)雅克比矩陣的定義，人們可以得到以下公式：

[ΔL=J×ΔX]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（16）

式中，[ΔX]為動平臺無限小的角度位移向量。

動平臺輸出扭力三維向量[F=fx，fy，fz，nx，ny，nz]和緩沖桿關(guān)節(jié)力[τ]的關(guān)系如下：

[F=JT×τ]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （17）

將式（15）、式（16）代入式（17），可得：

[ΔL=K×ΔX]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （18）

式中，[K]為整個運(yùn)動平臺系統(tǒng)的廣義剛度矩陣。

矩陣[K]用公式可以表示為：

[K=JTκJ]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （19）

廣義阻尼矩陣與廣義剛度矩陣形式相同，同理可得：

[C=JTcJ]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （20）

式中，[c=diagc1，c2，c3，c4，c5，c6，c7，c8]。

3 系統(tǒng)固有頻率分析

系統(tǒng)的固有頻率是系統(tǒng)振動的重要特性之一，在振動研究中有著十分重要的意義，它是避免共振的依據(jù)，也是多自由度解耦分析的前提。在對八桿并聯(lián)緩沖平臺進(jìn)行緩沖分析時，為避免發(fā)生共振，應(yīng)該使各階固有頻率盡量集中，以擴(kuò)大隔振帶寬，并且遠(yuǎn)離激勵頻率。因此，對系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)在一定范圍內(nèi)的固有頻率分布進(jìn)行討論是有必要的，可以為工程中結(jié)構(gòu)參數(shù)的優(yōu)化提供理論基礎(chǔ)。

3.1 固有頻率方程

由于固有頻率只與系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)屬性有關(guān)，所以將系統(tǒng)激勵[[F（t）]]去掉，得到系統(tǒng)自由振動方程：

[Mq+Cq+Kq=0]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （21）

當(dāng)系統(tǒng)阻尼對系統(tǒng)固有頻率的影響可以忽略時，該系統(tǒng)可作為無阻尼系統(tǒng)進(jìn)行分析，由式（21）可得到代數(shù)方程：

[K-ω2MAi=0]? ? ? ? ? ? ?（22）

式中，[ω]為系統(tǒng)固有圓頻率;[Ai]為第[i]階固有振型。

由式（22）可得，系統(tǒng)的特征方程為：

[D-λI=0]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （23）

其中，參數(shù)[D]和[λ]可以用公式表示為：

[D=K-1?M]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （24）

[λ=1ω2]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（25）

將[ω2]按升序排序，即

[0<ω21≤ω22…≤ωnn]? ? ? ? ? ? ? ? ?（26）

定義[fi=ωi=2πfi]為系統(tǒng)的第[i]階固有頻率。當(dāng)[i]=1時，[f1]為系統(tǒng)的第一階固有頻率，也就是基頻。

3.2 所建動力學(xué)模型驗(yàn)證

為檢驗(yàn)所建動力學(xué)方程的正確性，本研究采用多剛體動力學(xué)仿真軟件ADAMS建立八桿并聯(lián)平臺模型，如圖5所示，并對其進(jìn)行模態(tài)分析，將仿真所得結(jié)果與計算結(jié)果進(jìn)行對比驗(yàn)證。

由表1可知，兩種模型計算固有頻率的誤差很小，因此動力學(xué)模型正確，這為后續(xù)討論相關(guān)參數(shù)對系統(tǒng)固有頻率的影響提供了理論支撐。

4 結(jié)構(gòu)參數(shù)對固有頻率的影響

根據(jù)式（1）所示的動力學(xué)模型，本研究設(shè)定平臺各結(jié)構(gòu)參數(shù)的取值范圍，通過仿真計算得到各參數(shù)對固有頻率的影響變化規(guī)律。

4.1 緩沖桿剛度系數(shù)

緩沖桿的剛度系數(shù)是系統(tǒng)重要的結(jié)構(gòu)參數(shù)，根據(jù)式（22）可知，它直接影響系統(tǒng)的固有頻率。由圖6可以看出，當(dāng)平臺三個姿態(tài)角為零，平臺沒有偏置，處于初始位姿時，[x]軸和[y]軸方向的固有頻率相同，6階固有頻率由4條曲線顯示。隨著緩沖桿的剛度（k）增加，六階固有頻率也呈正比遞增;觀察4條曲線的斜率可知，高階固有頻率要比低階固有頻率更加敏感，隨著緩沖桿剛度的增加，六階固有頻率呈發(fā)散趨勢。

4.2 上平臺鉸接點(diǎn)半徑

一般情況下，下平臺鉸接點(diǎn)半徑受安裝空間和安裝位置的限制，為方便分析，下面研究上、下平臺鉸接點(diǎn)半徑比[ra/rb]對系統(tǒng)固有頻率的影響，根據(jù)設(shè)計要求，將下平臺鉸接點(diǎn)半徑固定為0.235 m，通過改變上、下平臺半徑比[ra/rb]來分析系統(tǒng)的六階固有頻率。如圖7所示，低階固有頻率對上、下平臺半徑比變化更加敏感，且在上、下平臺半徑比為0.75左右時出現(xiàn)拐點(diǎn)，隨著比例的增大，系統(tǒng)的固有頻率呈分散趨勢，拐點(diǎn)的出現(xiàn)為后續(xù)的參數(shù)優(yōu)化提供了參考。

4.3 上、下平臺外接圓近鉸點(diǎn)夾角

由圖8可知，隨著上平臺外接圓近鉸點(diǎn)夾角的逐漸增大，六階固有頻率呈分散趨勢，且繞[z]軸旋轉(zhuǎn)方向的固有頻率變化最大，其次是沿[x]軸和沿[y]軸方向的固有頻率變化。由圖9可知，下平臺外接圓近鉸點(diǎn)夾角的變化對系統(tǒng)六階固有頻率的影響趨勢大致和上平臺一樣?？傮w來說，上、下平臺外接圓近鉸點(diǎn)夾角對系統(tǒng)六階固有頻率的影響并不大，但是在上、下平臺質(zhì)心高度一定的情況下，其直接反映了緩沖平臺各根緩沖桿的傾斜程度和整體長度，所以人們在設(shè)計時也不能將其忽略。

4.4 上、下平臺質(zhì)心高度

下面研究上、下平臺質(zhì)心高度對固有頻率的影響，其實(shí)質(zhì)是研究動平臺位置變化對其的影響，因?yàn)楫?dāng)其高度改變時可以看作動平臺沿[z]軸方向發(fā)生移動，位姿的變化必然使六階固有頻率發(fā)生變化，而且影響還比較大，但是在結(jié)構(gòu)設(shè)計時可以將高度看作系統(tǒng)的固有結(jié)構(gòu)參數(shù)。如圖10所示，隨著高度的逐漸增加，系統(tǒng)的六階固有頻率呈分散狀態(tài)，其對沿[z]軸方向的固有頻率影響最大，與其他五階固有頻率不同，隨著高度的增加，沿[z]軸方向的固有頻率呈遞增趨勢。

5 結(jié)論

為了使八桿并聯(lián)緩沖平臺具有良好的隔振性能，降低共振的發(fā)生率，本文對其廣義質(zhì)量矩陣、廣義剛度矩陣與廣義阻尼矩陣進(jìn)行推導(dǎo)，通過廣義固有頻率數(shù)學(xué)模型分析了結(jié)構(gòu)參數(shù)對系統(tǒng)固有頻率的影響，并借助ADAMS軟件進(jìn)行驗(yàn)證。結(jié)果表明，緩沖桿剛度系數(shù)、上下平臺質(zhì)心距離、上平臺鉸接點(diǎn)半徑與系統(tǒng)六階固有頻率成非線性關(guān)系，上、下平臺外接圓近鉸點(diǎn)夾角與六階固有頻率呈線性關(guān)系且影響較小，分析所得結(jié)果為此類多桿并聯(lián)緩沖平臺的優(yōu)化設(shè)計提供理論指導(dǎo)。

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