李建良 吳小燕 項(xiàng)祖法

【摘? ?要】為了解學(xué)生數(shù)學(xué)多元表征水平以及多元表征對(duì)解決問題的影響，對(duì)A校2017級(jí)110名學(xué)生進(jìn)行了連續(xù)三年的跟蹤調(diào)查。調(diào)查發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的總體表征方式和個(gè)體表征的豐富性并沒有發(fā)生明顯變化;學(xué)生的表征水平和解答水平總體保持一致，后者略高于前者;規(guī)范、合理的表征有助于學(xué)生分析和解決問題。因此，教學(xué)中要加強(qiáng)數(shù)學(xué)多元表征的正面引導(dǎo)，用恰當(dāng)?shù)谋碚鲙椭鷮W(xué)生提高問題解決能力，并最終提升學(xué)生的自主表征能力。

【關(guān)鍵詞】第一學(xué)段;數(shù)學(xué)多元表征;調(diào)查

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中，數(shù)學(xué)表征起到了極其重要的作用，數(shù)學(xué)表征能力發(fā)展在很大程度上影響著學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平。一般認(rèn)為，數(shù)學(xué)表征是指用一種便于思考和表達(dá)的形式來表示數(shù)學(xué)問題中的信息或?qū)ο?，從而更好地思考、分析和解決問題。數(shù)學(xué)表征具有多元形式，包括模型、圖形、圖像、口頭語言、書面語言和形式化的符號(hào)語言等。那么，在自然教學(xué)條件下，小學(xué)第一學(xué)段學(xué)生的數(shù)學(xué)多元表征意識(shí)與能力的發(fā)展會(huì)呈現(xiàn)怎樣的特征和規(guī)律？在學(xué)生數(shù)學(xué)思考與問題解決的過程中，數(shù)學(xué)多元表征究竟發(fā)生了怎樣的作用呢？我們對(duì)A校2017級(jí)110名學(xué)生（各年人數(shù)略有變化）進(jìn)行了為期三年的跟蹤調(diào)查。

一、調(diào)查的目的

具體的目的有兩方面：一是關(guān)于第一學(xué)段學(xué)生的數(shù)學(xué)多元表征水平，即了解學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中自然形成的多元表征意識(shí)與能力處于何種水平，表征方式有怎樣的特點(diǎn)，多元表征與問題解決之間是否存在必然的聯(lián)系等;二是關(guān)于數(shù)學(xué)多元表征的應(yīng)用和教學(xué)，即了解怎樣的表征方式有利于問題的解決，教師如何有針對(duì)性地在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)多元表征并逐步培養(yǎng)學(xué)生的相關(guān)意識(shí)和能力。

二、調(diào)查的時(shí)間、內(nèi)容和形式

連續(xù)三年每年進(jìn)行一次調(diào)查，每次調(diào)查均以書面測(cè)試的形式開展，每次測(cè)試均為15個(gè)小題，問題以教材內(nèi)容為基礎(chǔ)。為充分反映學(xué)生的數(shù)學(xué)多元表征能力，體現(xiàn)數(shù)學(xué)多元表征對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的作用，盡可能避免不經(jīng)表征直接列式計(jì)算的情況。15個(gè)測(cè)試題有不同程度的思維含量，并明確要求學(xué)生除了列式解答之外，還要用恰當(dāng)?shù)姆绞奖硎咀约旱乃伎歼^程。

每次測(cè)試均分為兩輪，首輪為學(xué)生自主表征并解決問題，即在測(cè)試卷上用自己認(rèn)為合適的方式對(duì)問題信息進(jìn)行表征以幫助思考與解決問題;次輪為學(xué)生根據(jù)教師提供的表征方式解決問題，該輪測(cè)試題由首輪測(cè)試題按照由易到難的順序重新調(diào)整，并輔以不同形式的數(shù)學(xué)表征，簡單的問題輔以單一的表征，復(fù)雜的問題輔以多元混合表征。

歷年的書面測(cè)試均安排在當(dāng)年的6月份，為保證充分展現(xiàn)學(xué)生的思考過程，每次測(cè)試時(shí)間均為1小時(shí)。

三、調(diào)查結(jié)果及分析

（一）表征形式的總體發(fā)展趨勢(shì)

通過對(duì)三年總計(jì)332份調(diào)查卷中的4980個(gè)問題結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)第一學(xué)段學(xué)生比較常用的表征方式有圖示、文字、數(shù)字、式子（含等式）和表格。各年中這幾種表征方式的使用率雖有波動(dòng)，但總體規(guī)律較為一致。總體而言，圖示表征約占所有表征方式的45%左右;隨后依次是文字表征、數(shù)字表征，約各占10%;式子表征和表格表征各占1%左右;其余為無表征（如圖1）。三次測(cè)試結(jié)果表明，畫圖是學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)表征的第一選擇，這與學(xué)生的年齡特征以及畫圖直觀形象的特點(diǎn)有關(guān)，并且畫圖這一方式適合對(duì)大部分問題進(jìn)行表征。此外，在對(duì)一些特殊問題進(jìn)行表征時(shí)，學(xué)生也會(huì)選擇文字、數(shù)字等其他表征方式。

在解決問題的過程中，學(xué)生能自發(fā)地選擇畫圖這一方式進(jìn)行表征，這是一個(gè)可喜的現(xiàn)象。但如果過度集中于畫圖這一種方式，將不利于學(xué)生理解多種表征方式及其價(jià)值，也不利于學(xué)生在各種表征之間建立聯(lián)系，從而影響綜合運(yùn)用多種表征方式分析與解決問題。

（二）表征豐富性的個(gè)體發(fā)展趨勢(shì)

通過對(duì)歷年學(xué)生個(gè)體表征種類數(shù)量的統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)在對(duì)全部15個(gè)問題進(jìn)行表征時(shí)，用到3種表征方式的人數(shù)最多;對(duì)于同一個(gè)問題，大部分學(xué)生采用單一的表征方式，較少學(xué)生在個(gè)別問題中能同時(shí)使用兩種或兩種以上表征相結(jié)合的方式（如圖2）。

按照一般的規(guī)律，難度越大的問題，越需要借助多元表征解讀和分析信息，分解問題的難點(diǎn)。但實(shí)際情況是在歷年的測(cè)試中，三年級(jí)測(cè)試題難度最大，學(xué)生表征的愿望和水平反而明顯有所下降，且表征的豐富性也受到較大的限制。這說明，在往年的調(diào)查中，存在部分學(xué)生為了表征而表征的現(xiàn)象，他們的表征僅僅是因?yàn)楸灰蟊碚鳎⑽磳⒈碚髋c問題解決聯(lián)系起來，也沒有真正理解表征的意義和價(jià)值，而一旦遇到真正需要表征時(shí)，卻不能有效地借助表征描述和分析問題。

（三）表征水平與解答水平的關(guān)系

為了研究學(xué)生的問題表征水平與解答水平之間是否存在一定的聯(lián)系，我們通過如下評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（如表1）對(duì)兩者進(jìn)行賦分，以便進(jìn)行量化研究。

對(duì)歷年測(cè)試中每個(gè)學(xué)生的表征水平和解答水平進(jìn)行賦分，并以0.5分為一段進(jìn)行人數(shù)統(tǒng)計(jì)（如圖3）。從圖中可以發(fā)現(xiàn)，表征水平得分在1.5分（即平均水平）以下的有263人次，占總數(shù)的72.59%，解答水平得分在1.5分以下的有220人次，占總數(shù)的66.27%?？梢?，面對(duì)有一定思維含量的測(cè)試題，學(xué)生整體表征水平和解答水平均不高，兩者相差不大，前者略低于后者。

換一個(gè)角度，如果計(jì)算每一名學(xué)生表征水平與解答水平的分差，也將這一分差按照每0.5分為一段進(jìn)行統(tǒng)計(jì)（如圖4）。由圖可知，分差在0±0.5這一范圍內(nèi)的人數(shù)最多，合計(jì)242人次，占總數(shù)的72.89%，而這一范圍意味著表征水平和解答水平差距最小。可見，大部分學(xué)生的表征水平和解答水平較為一致。分差為0.5以上（表征水平明顯高于解答水平）有33人，分差為-0.5以下（表征水平明顯低于解答水平）的有57人。在兩種水平有明顯差距的學(xué)生中，解答水平高于表征水平的人數(shù)更多，從學(xué)生的答題情況中也可以看出，部分學(xué)生在面對(duì)數(shù)學(xué)問題時(shí)，更傾向于不借助表征直接列式解答?？梢姡谧匀唤虒W(xué)狀態(tài)下，通過數(shù)學(xué)多元表征解決問題并不能成為學(xué)生的自發(fā)行為。

（四）有效表征與問題解決的關(guān)系

通過對(duì)第一學(xué)段學(xué)生自主表征整體水平的調(diào)查和具體個(gè)案的分析，發(fā)現(xiàn)學(xué)生中存在表征方式選擇不合理，表征形式單一，表征與問題信息之間的關(guān)系不夠緊密等問題。因此，在第二輪測(cè)試中，教師為學(xué)生提供了適合每個(gè)問題的表征方式，并且按照由易到難的順序，問題的表征形式逐步增多。一般按照表2所示的順序提供表征方式，難度相似的問題之間表征方式隨問題的特點(diǎn)有所調(diào)整。

從上文可知，在自然教學(xué)狀態(tài)下，學(xué)生的自主表征能力并沒有明顯的增長。但從連續(xù)三年的調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，總體而言，在教師提供規(guī)范、合理的表征方式之后，學(xué)生的答題得分基本都有所提升。由圖5可知，學(xué)生運(yùn)用教師提供的表征方式解決問題的能力是隨著年齡的增長而逐年提升的。尤其是對(duì)于難度較大的問題，規(guī)范的表征所起到的啟發(fā)作用越來越明顯。歷年的測(cè)試題中，第11題至第15題的難度都比較大，因此教師提供的表征形式也達(dá)到了三種或三種以上。對(duì)于這些有難度的問題，一年級(jí)時(shí)，教師提供的表征方式所起的作用并不明顯，二年級(jí)時(shí)，學(xué)生在利用這些表征解決難題時(shí)的表現(xiàn)不太穩(wěn)定，到了三年級(jí)，規(guī)范的表征對(duì)解決難題的作用有了明顯的提升。

從以上特點(diǎn)可以看出，第一學(xué)段的學(xué)生已經(jīng)了解了數(shù)學(xué)表征的幾種基本形式，但他們不善于根據(jù)問題信息自己創(chuàng)造表征來幫助思考和解決問題。不過，隨著年齡的增長，學(xué)生逐漸意識(shí)到了數(shù)學(xué)表征的價(jià)值并能嘗試運(yùn)用已有的表征且起到了明顯的效果。

四、調(diào)查發(fā)現(xiàn)與啟示

（一）表征的水平不會(huì)隨年齡增長而自然提升

調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在第一學(xué)段中，如果沒有人為的干預(yù)和滲透，學(xué)生的自主表征意識(shí)與能力并不會(huì)隨著年齡的增長而增長。在三年的跟蹤調(diào)查中，學(xué)生在自主表征時(shí)主要用到的表征方式并沒有明顯變化，且有單一化的趨向，即不斷偏向于畫圖這一表征方式。通過對(duì)學(xué)生表征方式的逐個(gè)分析，我們還發(fā)現(xiàn)，僅畫圖而言，也逐漸由畫示意圖發(fā)展為畫線段圖。畫圖的本意是發(fā)展學(xué)生的幾何直觀，使復(fù)雜抽象的問題變得簡明直觀，但是對(duì)于第一學(xué)段的學(xué)生來說，線段圖過于抽象，并且不能解決所有類型的問題。此外，文字、數(shù)字、表格等表征形式的占比也逐年下降，表征形式的豐富性受到了極大的限制，這不利于學(xué)生發(fā)展和形成借助多種表征的共同作用解決問題的能力。

上述現(xiàn)象無疑與教師過于強(qiáng)調(diào)思考過程的抽象化有關(guān)，由此也看出教師教學(xué)對(duì)學(xué)生發(fā)展的影響。如果教師過于強(qiáng)調(diào)線段圖，學(xué)生則自然會(huì)選擇用線段圖進(jìn)行表征，畫不出線段圖時(shí)只能放棄;反之，如果教師能有意識(shí)地滲透多元表征，學(xué)生則會(huì)嘗試運(yùn)用更多的表征方式以及表征方式的組合來解決問題。這從三年級(jí)的調(diào)查結(jié)果中也可以得到印證，當(dāng)問題變得復(fù)雜時(shí)，學(xué)生無法運(yùn)用相對(duì)抽象的線段圖進(jìn)行表征，只好選擇直接列式或者干脆放棄嘗試。

（二）有效的表征能提高學(xué)生的問題解決能力

顯然，教師的干預(yù)對(duì)學(xué)生表征意識(shí)與能力的發(fā)展會(huì)產(chǎn)生明顯的作用，這個(gè)作用有可能是積極的，也有可能是消極的。從“每一年第二輪測(cè)試時(shí)教師為學(xué)生提供的表征能促使學(xué)生問題解決得分明顯上升”這一現(xiàn)象可以得出結(jié)論，規(guī)范、有效、形式豐富的數(shù)學(xué)表征，能幫助學(xué)生深入思考，發(fā)現(xiàn)問題信息之間的聯(lián)系，從而更好地解決問題。

通過對(duì)具體的學(xué)生表征和解答的個(gè)案分析，我們發(fā)現(xiàn)，對(duì)于優(yōu)等生而言，只需要使用書面文字或圖示等靜態(tài)的表征方式，即可解決問題;對(duì)于中等生，則需要借助可供操作的學(xué)具、教師的口頭提示等來解決問題;對(duì)于后進(jìn)生，則需要借助動(dòng)畫演示幫助他們進(jìn)行思考，部分較復(fù)雜的問題，綜合運(yùn)用上述表征方式或者教師加以適當(dāng)提示，學(xué)生也能解決問題。并且，如果將數(shù)學(xué)多元表征運(yùn)用到真實(shí)的課堂教學(xué)活動(dòng)中，在師生互動(dòng)、生生互動(dòng)中，學(xué)生能獲得更大的啟發(fā)，多元表征會(huì)發(fā)揮更大的作用。

（三）教學(xué)干預(yù)的最終目的是培養(yǎng)學(xué)生的自主表征能力

在教學(xué)中，教師要積極思考，如何在面對(duì)不同的教學(xué)內(nèi)容時(shí)，采用最恰當(dāng)?shù)谋碚鞣绞?，使學(xué)生在模仿的過程中，逐步提高數(shù)學(xué)多元表征的有效性。同時(shí)，為了培養(yǎng)學(xué)生的自主表征意識(shí)與能力，教師為學(xué)生提供表征方式時(shí)，要注意尺度的把握，不能越俎代庖，以教師的思考替代學(xué)生的思考。教師在進(jìn)行多元表征示范時(shí)，提供的表征方式除了包含基本信息之外，不宜過多地呈現(xiàn)其他信息，而應(yīng)留有余地，這會(huì)有利于學(xué)生不斷地對(duì)表征方式進(jìn)行補(bǔ)充和豐富，有利于學(xué)生主動(dòng)利用這些表征組織并發(fā)現(xiàn)信息之間的關(guān)聯(lián)。另外，教學(xué)中應(yīng)采用教師示范與學(xué)生自主嘗試相結(jié)合的方式，通過交互活動(dòng)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)多元表征能力。對(duì)于一些特殊的問題，在條件允許的情況下應(yīng)使學(xué)生有機(jī)會(huì)進(jìn)行動(dòng)手操作，對(duì)于解決問題過程中的難點(diǎn)應(yīng)以合理的方式給予學(xué)生適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)。

在教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生通過經(jīng)歷多元表征過程，不斷思考、學(xué)習(xí)如何合理運(yùn)用表征方式，提高自主表征的能力。在此基礎(chǔ)上，還要鼓勵(lì)學(xué)生在多種表征之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換與轉(zhuǎn)譯，養(yǎng)成從不同的角度思考問題以及用不同表征相互啟發(fā)印證的習(xí)慣，進(jìn)而提高學(xué)生分析問題與解決問題的能力。

（浙江省杭州市蕭山區(qū)夾灶小學(xué) 311247）

（浙江省杭州市蕭山教師發(fā)展學(xué)院 311201）