【摘 要】文章借助圖形幫助教師直觀地理解數(shù)學(xué)教育理論模型建構(gòu)的常用方式，如MPCK理論的樹形圖模型、MKT理論的韋恩圖模型、HPM理論的流程圖模型、數(shù)學(xué)課程綜合難度的雷達圖模型、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)體系的幾何體模型、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)評價的坐標(biāo)系模型、數(shù)學(xué)教育雙邏輯體系的對稱圖模型等。建構(gòu)數(shù)學(xué)教育理論模型有助于教師形象且不失邏輯地詮釋自己的教育教學(xué)觀點和理論。

【關(guān)鍵詞】圖說;數(shù)學(xué)教育理論;模型建構(gòu)

《數(shù)學(xué)寫真集（第1季）——無需語言的證明》一書由許多“無需語言的證明”的圖形組成，書中許多“證明”——圖形令人拍案叫絕，充分顯示了：“有什么比用插圖來展現(xiàn)一個個重要的數(shù)學(xué)知識點更好的主意呢？”[1]筆者希望借助圖形幫助廣大教師直觀地理解許多復(fù)雜、深奧的數(shù)學(xué)教育原理。

理論與實踐本是相輔相成、辯證統(tǒng)一的關(guān)系，但很多中小學(xué)教師往往畏懼?jǐn)?shù)學(xué)教育理論，認(rèn)為理論過于抽象、難以理解。為此，筆者專門對30多個數(shù)學(xué)教育理論模型做了分析，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)教育理論模型的建構(gòu)主要有樹形圖、韋恩圖、流程圖、雷達圖、幾何體、坐標(biāo)系、對稱圖等形式，這些圖形能形象且不失邏輯地向教師揭示某項理論研究的精髓。

一、MPCK理論的樹形圖模型

毋庸置疑，教師所具備的知識、能力、素養(yǎng)直接影響著教育質(zhì)量。自20世紀(jì)80年代以來，人們從不同角度提出了許多關(guān)于教師的知識模型。其中，美國學(xué)者舒爾曼（Shulman）研究團隊提出的Pedagogical Content Knowledge（簡稱PCK）理論，即學(xué)科教學(xué)知識或者教學(xué)內(nèi)容知識理論有較大影響力[2-3]。

針對美國教師教育中的培養(yǎng)模式、教師資格認(rèn)定和教師教育研究中所存在的學(xué)科知識與教育學(xué)知識脫節(jié)的現(xiàn)象，舒爾曼團隊經(jīng)過研究后提出PCK這一概念，認(rèn)為成功的教學(xué)不僅需要教師的學(xué)科知識，而且需要教師的學(xué)科教學(xué)知識，也就是說為了促進學(xué)生的理解，教師必須自己先理解表征概念的方法，具備將教學(xué)內(nèi)容轉(zhuǎn)化為便于教學(xué)的知識。

PCK理論提出后，國外學(xué)者開展了大量的研究工作。2005年以后，PCK理論受到我國教育界的關(guān)注，并迅速成為教師知識研究領(lǐng)域的熱門話題。

如果放在數(shù)學(xué)教學(xué)領(lǐng)域，討論的就是數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容知識，即Mathematical Pedagogical Content Knowledge（簡稱MPCK）。圖1為MPCK理論的樹形圖模型[4]。該樹形圖模型的一個顯著優(yōu)點是把MPCK做了兩級分類，便于人們開展局部與整體研究。其中，處在第一層級的四類知識分別是數(shù)學(xué)學(xué)科知識（MK）、一般教學(xué)法知識（PK）、有關(guān)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的知識（CK）、教育技術(shù)知識（TK）。

與MPCK理論類似，我國的章建躍博士提出了“四個理解”的觀點，他認(rèn)為“理解數(shù)學(xué)、理解教學(xué)、理解學(xué)生、理解技術(shù)”（簡稱“四個理解”）是數(shù)學(xué)教師教好數(shù)學(xué)的前提，也是數(shù)學(xué)教學(xué)改革的基石[5]。雖然還沒有人給出“四個理解”的理論模型，但“四個理解”的觀點已經(jīng)受到我國中學(xué)數(shù)學(xué)教師的青睞，截至2021年4月中國知網(wǎng)收錄的以之為題的文章多達70余篇。

其實，無論MPCK還是“四個理解”，除了教育技術(shù)這個因素，兩者還與數(shù)學(xué)教育學(xué)經(jīng)典理論中的“三論”——數(shù)學(xué)課程論、數(shù)學(xué)教學(xué)論、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論相吻合[6]。這就告訴我們，數(shù)學(xué)教育理論往往是相通的，它們是相同實質(zhì)的不同表現(xiàn)形式。

利用樹形圖建構(gòu)的理論模型還有數(shù)學(xué)教育學(xué)體系（曹才翰，1987）[7]、數(shù)學(xué)知識的分類模型（喻平，2000）[8]、高中數(shù)學(xué)研究型教學(xué)模式（李昌官，2018）[9]等。

二、MKT理論的韋恩圖模型

在上述MPCK理論的基礎(chǔ)上，美國密歇根州立大學(xué)教育學(xué)院鮑爾（Ball）教授研究團隊于2000年前后提出了Mathematical Knowledge for Teaching（簡稱MKT）理論，即面向教學(xué)的數(shù)學(xué)知識理論。經(jīng)過10年左右的不斷完善，MKT理論的韋恩圖模型如圖2所示。

其中，一般內(nèi)容知識（CCK）指除教學(xué)外，在其他背景下也使用的數(shù)學(xué)知識和技能;專門內(nèi)容知識（SCK）指教學(xué)所特有的數(shù)學(xué)知識和技能;水平內(nèi)容知識（HCK）指關(guān)于數(shù)學(xué)主題之間相互關(guān)聯(lián)的知識;內(nèi)容與學(xué)生知識（KCS）指把數(shù)學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)情況相結(jié)合的知識;內(nèi)容與教學(xué)知識（KCT）指把數(shù)學(xué)與教學(xué)相結(jié)合的知識;課程與內(nèi)容知識（KCC）指關(guān)于課程標(biāo)準(zhǔn)、教科書等課程資源的知識。我們將CCK、SCK、HCK統(tǒng)稱為學(xué)科內(nèi)容知識（SMK），將KCS、KCT、KCC統(tǒng)稱為教學(xué)內(nèi)容知識（PCK）。

MKT理論將原來割裂的學(xué)科內(nèi)容知識與教學(xué)內(nèi)容知識融合并統(tǒng)一為面向教學(xué)的數(shù)學(xué)知識，并給出了精致的分類（即圖2中的六個板塊）。很多人認(rèn)為MKT理論是“教好數(shù)學(xué)需要哪些類型的數(shù)學(xué)知識”這一問題當(dāng)前最好的答案[10-11]。

與MKT理論相通的是我國的數(shù)學(xué)教學(xué)基本功經(jīng)驗。數(shù)學(xué)教學(xué)基本功是我國數(shù)學(xué)教研組師徒傳承的寶貴經(jīng)驗，受到我國中學(xué)數(shù)學(xué)教師甚至教育主管部門的重視。數(shù)學(xué)教學(xué)基本功主要包括：（1）解題;（2）教材解讀;（3）新授課教學(xué)設(shè)計;（4）課件制作;（5）課堂組織;（6）板書;（7）作業(yè)設(shè)計;（8）復(fù)習(xí)課與試卷講評;（9）命題。它們可與MKT理論建立起對應(yīng)關(guān)系。[12]

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出，數(shù)學(xué)教師應(yīng)以《中學(xué)教師專業(yè)標(biāo)準(zhǔn)》為指導(dǎo)，提升自身的專業(yè)水平，數(shù)學(xué)教師要努力提升通識素養(yǎng)、數(shù)學(xué)專業(yè)素養(yǎng)、數(shù)學(xué)教育理論素養(yǎng)、教學(xué)實踐能力，并對這四方面的素養(yǎng)或能力做了具體闡述[13]。這比MKT理論與數(shù)學(xué)教學(xué)基本功經(jīng)驗增加了教師的通識素養(yǎng)，具有更加宏觀的指導(dǎo)意義。

利用韋恩圖建構(gòu)的理論模型還有數(shù)學(xué)競賽（奧林匹克數(shù)學(xué)）的性質(zhì)模型（羅增儒，2000）[14]、青年數(shù)學(xué)教師專業(yè)發(fā)展共同體ERTP理論模型（劉祖希等，2018）[15]等。

三、HPM理論的流程圖模型

HPM是History and Pedagogy of Mathematics（數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育）的簡稱。1972年，數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)關(guān)系國際領(lǐng)導(dǎo)小組成立，標(biāo)志著HPM作為一個研究領(lǐng)域正式出現(xiàn)。HPM自20世紀(jì)末引入我國，目前的研究達到了一個前所未有的高度，既有HPM的學(xué)術(shù)組織、研究團隊、理論成果[16]，也有HPM的實踐隊伍、課例模式、案例成果[17-18]。華東師范大學(xué)汪曉勤教授研究團隊建構(gòu)的HPM理論如圖3所示，這是一個流程圖模型[19]。

這個模型展示了HPM理論的核心內(nèi)容：立足1個視角（數(shù)學(xué)史），通過2座橋梁（歷史與現(xiàn)實、數(shù)學(xué)與人文），采用4種形式（附加式、復(fù)制式、順應(yīng)式、重構(gòu)式），遵循5個原則（科學(xué)性、可學(xué)性、有效性、人文性、趣味性），將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)，發(fā)揮數(shù)學(xué)教學(xué)的6大價值（知識之諧、方法之美、探究之樂、能力之助、文化之魅、德育之效），實現(xiàn)立德樹人的根本任務(wù)。這個HPM理論模型是中國學(xué)者對世界HPM的貢獻，增強了中國數(shù)學(xué)教育研究的理論自信[20]。

利用流程圖建構(gòu)的理論模型還有關(guān)系—映射—反演（RMI）原理（徐利治，1983）[21]、數(shù)學(xué)建模的基本過程（《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》）、數(shù)學(xué)主題教學(xué)設(shè)計的過程（《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》）、數(shù)學(xué)“情境—問題”教學(xué)模式（呂傳漢等，2001）[22]、基于數(shù)學(xué)文化的教學(xué)模式（張維忠等，2009）[23]、數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的APOS理論模型（杜賓斯基，1991）、數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計原理（涂榮豹，2018）[24]、數(shù)學(xué)解題思維調(diào)節(jié)與控制系統(tǒng)（周春荔，2012）[25]、教育數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育的關(guān)系（張景中，1989）[26]等。

四、數(shù)學(xué)課程綜合難度的雷達圖模型

鮑建生教授于2002年在其博士學(xué)位論文中提出了數(shù)學(xué)課程綜合難度的雷達圖模型，如圖4所示。該模型借鑒了美國國家教育統(tǒng)計中心工作報告（2001）中的課程總體難度（Overall difficulty）的概念，并結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科的特征，以數(shù)學(xué)題的難度來衡量數(shù)學(xué)課程的難度[27-28]。數(shù)學(xué)課程綜合難度的雷達圖模型受到廣泛引用，截至2021年4月中國知網(wǎng)收錄的該模型引用文獻高達390余篇。

這個模型包含五個難度因素：背景、探究、知識含量、推理、運算，每個因素又劃分為不同的水平，根據(jù)等級權(quán)重，利用公式計算一組題目在每個因素上的加權(quán)平均數(shù)，具體如下：

di=∑jnijdijn（∑jnij=n;i=1，2，3，4，5;j=1，2，…）。

其中di表示五個難度因素的取值，dij表示第i個難度因素的第j個水平的權(quán)重，nij表示一組題目中屬于第i個難度因素的第j個水平的題目的個數(shù)，其總和等于該組題目的總數(shù)n。

得到五個di值后就可以畫出反映課程綜合難度的五邊形雷達圖，根據(jù)圖形的整體態(tài)勢還可以分析課程的綜合水平與難度特征。

當(dāng)然，這個模型也有值得商榷的地方：一是以習(xí)題的難度代替課程（教科書）的難度，顯然不夠全面;二是習(xí)題的五個難度因素的劃分既比較粗略，也沒有對所獲得的五個數(shù)值進行必要的整合。之后許多研究者對此進行了改進。[29]

利用雷達圖建構(gòu)的理論模型還有數(shù)學(xué)教材例題難度模型（濮安山等，2016）[30]、幾何課程難度模型（史寧中等，2005）[31]、高中生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)測評框架（朱立明，2020）[32-33]等。

五、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)體系的幾何體模型

自從《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》提出了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)六要素：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算和數(shù)據(jù)分析，許多研究者嘗試建構(gòu)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)體系的幾何模型，比較典型的有三棱臺模型（曹培英，如圖5所示）[34]、魔方模型（孫成成、胡典順）[35]、金字塔模型（呂世虎、吳振英）[36]。

筆者曾對這些模型分別進行了評析。其中，三棱臺模型的優(yōu)點是將《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出的10個核心詞（除去非數(shù)學(xué)特征的“創(chuàng)新意識”，并增加具有數(shù)學(xué)特征的“抽象”）歸類到三棱臺的6個頂點，上底面頂點表示的核心素養(yǎng)整體作用于下底面頂點表示的核心素養(yǎng)。該三棱臺模型既做好了義務(wù)教育與普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的銜接，又突出了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的層次[37]。

利用幾何體建構(gòu)的理論模型還有數(shù)學(xué)“四基”教學(xué)理論的正方體模型（張奠宙等，2011）[38]、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力結(jié)構(gòu)的圓錐模型（唐恒鈞等，2016）[39]、HPM教學(xué)實踐探究的三棱錐模型（王科，2017）[40]等。

六、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)評價的坐標(biāo)系模型

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出，數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)質(zhì)量水平是六個數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)水平的綜合表現(xiàn)，每一個數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)劃分為三個水平，每一個水平通過數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)在四個方面（情境與問題、知識與技能、思維與表達、交流與反思）的具體表現(xiàn)進行表述。這就是說，可以通過數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)水平來評價學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)質(zhì)量水平。據(jù)此，可從素養(yǎng)成分、素養(yǎng)體現(xiàn)、素養(yǎng)水平三個維度建構(gòu)高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)評價的坐標(biāo)系模型，如圖6所示[41]。

在這個模型中，每個點P（x，y，z）代表了某種數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)（x=1，2，3，4，5，6）在某個方面（y=1，2，3，4）的表現(xiàn)為某一水平（z=1，2，3）。

利用坐標(biāo)系建構(gòu)的理論模型還有最近發(fā)展區(qū)理論的數(shù)軸模型（維果茨基，1932）、數(shù)學(xué)解題坐標(biāo)系（羅增儒，1997）[42]、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論的研究框架（鮑建生等，2009）[43]、數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的結(jié)構(gòu)（寧銳等，2019）[44]、數(shù)學(xué)教研論文寫作的基本規(guī)律（劉祖希等，2016）[45]、數(shù)學(xué)文化的三維坐標(biāo)系統(tǒng)（顧亞龍，2014）[46]等。

七、數(shù)學(xué)教育雙邏輯體系的對稱圖模型

人們對完善的數(shù)學(xué)教育學(xué)體系孜孜以求。南京師范大學(xué)研究團隊建構(gòu)了數(shù)學(xué)教育雙邏輯體系的理論模型，如圖7所示，這是一個對稱圖模型[47]。該模型詮釋了數(shù)學(xué)教育作為學(xué)科不但要遵循教與學(xué)的對應(yīng)原則，還應(yīng)該遵循教與數(shù)學(xué)對應(yīng)的原則。也就是說，數(shù)學(xué)教育學(xué)體系需要雙向建構(gòu)，既要由一般教育理論演繹數(shù)學(xué)教育規(guī)律，也要由數(shù)學(xué)的學(xué)科特征提取數(shù)學(xué)教育規(guī)律。其中，教與學(xué)對應(yīng)的中介因素包括教學(xué)論、課程論、學(xué)習(xí)論、教育技術(shù)，這些因素確保數(shù)學(xué)教學(xué)活動遵循教育教學(xué)的基本規(guī)律、遵循學(xué)生的心理特點;教與數(shù)學(xué)對應(yīng)的中介因素包括教師的數(shù)學(xué)知識和經(jīng)驗、教育取向的數(shù)學(xué)哲學(xué)、教育數(shù)學(xué)、教育取向的數(shù)學(xué)史，這些因素直接影響數(shù)學(xué)教學(xué)活動的數(shù)學(xué)特征，即正確地、適當(dāng)?shù)伢w現(xiàn)數(shù)學(xué)的知識方法和思維價值。

數(shù)學(xué)教育雙邏輯體系的理論模型可看作是對曹才翰教授在1987年提出的數(shù)學(xué)教育學(xué)體系的改進，其優(yōu)化了原體系的邏輯和層次。

利用對稱圖建構(gòu)的理論模型還有數(shù)學(xué)教育學(xué)研究的雙邏輯起點（單墫、喻平，2001）[48]、數(shù)學(xué)教學(xué)中的思維活動（張乃達，1987）[49]、教師核心素養(yǎng)和能力雙螺旋結(jié)構(gòu)模型（王光明等，2019）[50]等。

綜上所述，解讀數(shù)學(xué)教育理論模型建構(gòu)的常用方式，有助于教師理解理論與實踐之間的聯(lián)系，拓展理論的傳播力和實踐的生命力。期待廣大數(shù)學(xué)教師選用合適的模型建構(gòu)方式，詮釋自己的教育教學(xué)理論和觀點。

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（責(zé)任編輯：陸順演）