陳建均

【摘要】“直線與圓的位置關(guān)系”是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，通過這一章節(jié)的學(xué)習(xí)能讓學(xué)生更好地認(rèn)識生活，更好地建立起數(shù)形結(jié)合的思想，也能更好地促進(jìn)他們核心素養(yǎng)的發(fā)展。在探究“直線與圓的位置關(guān)系”的過程中能培養(yǎng)學(xué)生的高階思維能力，如分析能力、判斷能力和推測能力等，這些能力的發(fā)展又為學(xué)生核心素養(yǎng)的提升做了鋪墊。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué);核心素養(yǎng);直線與圓

《直線與圓的位置關(guān)系》這一部分的內(nèi)容對于初三的學(xué)生來說有一定的難度，這一章節(jié)的難度體現(xiàn)在各種認(rèn)知的綜合性上，表面上看只是探討直線與圓的位置關(guān)系，實(shí)際上所運(yùn)用的認(rèn)知卻是多方面的，包括勾股定理、三角形、平行四邊形、相似三角形和全等三角等方面的認(rèn)知。這些認(rèn)知的綜合光靠做題、題海戰(zhàn)是不能全面提升學(xué)生這方面的能力的。因此需要教師改變教學(xué)方式，讓學(xué)生有更多思考的機(jī)會，讓他們的思維火花盡可能地迸發(fā)，讓他們找到解決一類問題的密匙，而不只是一兩道題目。因此教師要將核心素養(yǎng)的培養(yǎng)落實(shí)到這一章節(jié)點(diǎn)點(diǎn)滴滴的教學(xué)活動中，讓學(xué)生基于核心素養(yǎng)而學(xué)習(xí)。

一、立足于學(xué)情，把握學(xué)生的起點(diǎn)

基于核心素養(yǎng)的初中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個首要條件就是教師要能立足學(xué)生的學(xué)情展開教學(xué)活動。學(xué)生的學(xué)情包含的內(nèi)容也是多方面的，它包含學(xué)生對基礎(chǔ)知識的掌握程度，也包含學(xué)生的思維特點(diǎn)、情感態(tài)度和學(xué)習(xí)方式等。學(xué)情是學(xué)生在某一個數(shù)學(xué)章節(jié)的綜合表現(xiàn)，要讓學(xué)生學(xué)習(xí)相關(guān)的認(rèn)知，要提升他們某一方面的能力，就要立足他們的學(xué)情，做到有的放矢，不能盲目提升。當(dāng)前的數(shù)學(xué)教學(xué)中存在不顧學(xué)生學(xué)情而進(jìn)行教學(xué)的現(xiàn)象，有時候教師講授的內(nèi)容超出了大多數(shù)學(xué)生的能力范圍，又或是大多數(shù)學(xué)生都會的內(nèi)容，教師還在反復(fù)地講。立足學(xué)生的學(xué)情，一點(diǎn)點(diǎn)地鋪墊，讓學(xué)生擁有一個扎實(shí)的起點(diǎn)，其更多素養(yǎng)的生成自然就指日可待。

以下面這題為例，如圖1所示，直線AB經(jīng)過⊙O上的點(diǎn)C，并且OA=OB，CA=CB。求證：直線AB是⊙O的切線。

這是這一章節(jié)一道基礎(chǔ)的題目，學(xué)生只要連接OC，從OA=OB這一條件出發(fā)，就能推斷出△AOB是等腰三角形;接著再從CA=CB這一條件入手，推斷出OC⊥AB;最后學(xué)生再結(jié)合“直線AB經(jīng)過⊙O上的點(diǎn)C”這一條件得出直線AB是⊙O的切線。由學(xué)生做題過程，教師基本能推斷出這樣的學(xué)情，即，學(xué)生知道運(yùn)用切線判定定理需滿足兩個條件：①經(jīng)過半徑外端;②垂直于這條半徑。教師再次設(shè)計的題目就要以這個學(xué)情為基準(zhǔn)進(jìn)行適當(dāng)?shù)耐卣?，也就是要讓學(xué)生沿著這個起點(diǎn)往縱深奔跑。于是教師設(shè)計這樣的題目：如圖2，已知OA=OB=5厘米，AB=8厘米，⊙O的直徑為6厘米。求證：AB與⊙O相切。學(xué)生運(yùn)用到這一章節(jié)中輔助線的作法：過O點(diǎn)作OC⊥AB交AB于C點(diǎn)。他們先是證明△AOB是等腰三角形，再推斷出：CA=CB=，AB=4厘米;最后由OB=5厘米，運(yùn)用勾股定理得出OC= 52+42 =3厘米。因?yàn)椤袿的半徑為3厘米，所以AB與⊙O相切。從這題當(dāng)中能明顯地發(fā)現(xiàn)學(xué)生知道切線的三種判定方法，這題運(yùn)用到的是直線到圓心的距離等于該圓的半徑。知道這些學(xué)情之后，教師要基于這樣的起點(diǎn)促進(jìn)學(xué)生生長。教師問，以上兩例輔助線的作法是否相同？有什么規(guī)律可以找尋？明顯地，基于核心素養(yǎng)的初中數(shù)學(xué)教學(xué)要能貼著學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，讓他們適切地生長。

二、創(chuàng)設(shè)有效情境，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象力

初中學(xué)生有一定的直觀思維能力，相對于抽象思維，在這一方面是他們的一個優(yōu)勢，他們對著一些具體的畫面能展開豐富的聯(lián)想。作為數(shù)學(xué)教師要進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的直觀思維，進(jìn)而讓他們建立起嚴(yán)密的數(shù)學(xué)思維。同時，直觀思維能幫助學(xué)生提升數(shù)學(xué)實(shí)踐能力，增強(qiáng)創(chuàng)新意識。教學(xué)中教師要盡量給學(xué)生創(chuàng)設(shè)激發(fā)直觀思維的機(jī)會，讓他們拓展這方面的能力。一般來說，初中學(xué)生需要具備六項(xiàng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，直觀思維是一個重要的素養(yǎng)，是產(chǎn)生其他能力的基礎(chǔ)。有了直觀思維，學(xué)生才能構(gòu)建抽象的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，進(jìn)而進(jìn)一步理解相關(guān)事物的本質(zhì)。換言之，直觀思維是探索數(shù)學(xué)推理過程的前提，是形成論證思路以讓數(shù)學(xué)回歸現(xiàn)實(shí)世界的主要方式。當(dāng)前筆者所列舉的《直線與圓的位置關(guān)系》是初中重要的平面幾何認(rèn)知，與學(xué)生生活、現(xiàn)實(shí)空間都有著明顯的聯(lián)系。學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中能得到直覺上的支持，再加上這一章節(jié)的綜合性，許多題目有著多樣的形式結(jié)構(gòu)，這些都為培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力創(chuàng)設(shè)了極好的條件。

就以往的經(jīng)驗(yàn)來看，在教學(xué)過程中教師沒有利用好這一章節(jié)切實(shí)地落實(shí)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)。如果學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)得到了提升，他們就能發(fā)現(xiàn)解決問題的思路，進(jìn)而促進(jìn)多元思維的發(fā)展。

教師在講解直線與圓的關(guān)系時，沒有直接從書上的概念入手，也沒有在黑板上展示相關(guān)的圖片，而是在早上將學(xué)生帶到一個湖邊，讓他們趴在欄桿上看日出。對于這樣的情境，學(xué)生感到新奇，自然就愿意投入其中。學(xué)生一開始看到的是太陽還沒有從湖面上升起來，用他們自己的話說，看到的只是害羞的太陽的小半個臉。教師問學(xué)生：如果從數(shù)學(xué)的角度來看，這是一幅怎樣的幾何圖形？學(xué)生盯著遠(yuǎn)處還沒露出水面的太陽說，是不是一條直線與半個圓，如果想象一下的話，應(yīng)該是這條直線穿過這個圓。學(xué)生繼續(xù)觀看，他們看到太陽正好從地平線上出來了，教師問：這是一個怎樣的圖形呢？學(xué)生想了想說，一條直線貼著圓走過，好像要與圓相交，又好像要與圓分離。這一刻學(xué)生還沒有接觸到切線的概念，他們用自己的語言描述了這樣一個關(guān)系。可以確切地看到，教師創(chuàng)設(shè)這樣的情境，讓學(xué)生的直觀思維充分展現(xiàn)了出來。再接著，學(xué)生看到了太陽離開了地平線，越過了周圍的一些建筑物，用學(xué)生的話說，直線與圓越來越遠(yuǎn)了。教師讓學(xué)生將看到的日出場景以簡筆畫的形式表現(xiàn)出來，學(xué)生畫出的就是三個不同的直線與圓的位置圖。帶著具體的景象，帶著剛才的想象，學(xué)生更容易在所畫的圖像中研究直線與圓關(guān)系的內(nèi)核?？梢?，教師要多創(chuàng)設(shè)真實(shí)有效的情境，讓學(xué)生的直觀思維飛起來，進(jìn)而激發(fā)其他思維。

三、設(shè)計教學(xué)活動，提高學(xué)生的邏輯推理能力

數(shù)學(xué)是思維的體操，思維與數(shù)學(xué)是緊密聯(lián)系在一起的。教師在教學(xué)中不注重培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，那么學(xué)生的數(shù)學(xué)能力也得不到根本的發(fā)展。思維能將數(shù)學(xué)教學(xué)推向深遠(yuǎn)，能讓學(xué)生進(jìn)入深度學(xué)習(xí)的狀態(tài)。邏輯推理能力是重要的思維能力，是關(guān)鍵的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。當(dāng)學(xué)生擁有一定的邏輯推理能力，他們就能自己構(gòu)建起一定的數(shù)學(xué)知識體系，就能夠自主地、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)厮伎紗栴}。在《直線與圓的位置關(guān)系》這一章節(jié)的學(xué)習(xí)中，教師要給學(xué)生提供邏輯推理的條件與機(jī)會，就是要讓他們自己參與到具體的數(shù)學(xué)活動中來，讓他們自己去體驗(yàn)、猜想、實(shí)驗(yàn)、推理和論證。這一系列的數(shù)學(xué)活動其實(shí)就是邏輯推理能力產(chǎn)生與發(fā)展的過程，在這個過程中，教師要做好指導(dǎo)工作，要讓學(xué)生掌握正確的方法，進(jìn)而提升他們的邏輯推理素養(yǎng)。

以圖3為例，AB是⊙O的直徑，AM和BN是它的兩條切線，DE切⊙O于點(diǎn)E，交AM于點(diǎn)D，交BN于點(diǎn)C，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，連接OF。教師先問學(xué)生：OD與BE有怎樣的位置關(guān)系？學(xué)生先是根據(jù)題目中的文字說明將圖形畫出來，也就是說，學(xué)生在猜想之前先是動手作圖。圖形畫出來之后，學(xué)生通過直接的觀察，發(fā)現(xiàn)OD與BE應(yīng)該平行，這是他們的猜想。接著他們就開始推理，依據(jù)一般的作輔助線的規(guī)律，學(xué)生先是連接OE，從AM、DE是⊙O的切線，OA、OE是⊙O的半徑等條件出發(fā)，得出：∠ADO=∠EDO，∠DAO=∠DEO=90°，∠AOD=∠EOD=∠AOE，再結(jié)合∠ABE=∠AOE，推斷出：∠AOD=∠ABE，OD∥BE。為了進(jìn)一步提升學(xué)生的推理能力，教師讓學(xué)生猜一猜圖中還有哪些線段存在一定的等量關(guān)系。要想猜，就需要實(shí)驗(yàn)。學(xué)生將圖形剪下來，進(jìn)行一定的拼湊，他們發(fā)現(xiàn)OF可能只有CD的一半。明顯地，學(xué)生已經(jīng)掌握了一般的推理過程，即，需要親手操作或者從實(shí)驗(yàn)入手，再做大膽的設(shè)想。學(xué)生發(fā)現(xiàn)BC、CE是⊙O的切線，這一條件還沒有利用，他們連接OC，進(jìn)而得出：OCB=∠OCE。他們再從AM∥BN出發(fā)，推斷出∠ADO+∠EDO+∠OCB+∠OCE=180°。接著他們由∠ADO=∠EDO，得出2∠EDO+2∠OCE=180°，即∠EDO+∠OCE=90°。最后他們利用Rt△DOC中F是DC的中點(diǎn)這一條件，得出OF=CD?？傊?，教師要多創(chuàng)設(shè)需要進(jìn)行邏輯推理的數(shù)學(xué)活動，讓學(xué)生的思維得到充分鍛煉，讓素養(yǎng)噴薄生長。

四、結(jié)束語

初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是義務(wù)教育階段第三學(xué)段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，要凸顯其基礎(chǔ)性和生長性，一方面要注意知識的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，即知識從哪里長出來，另一方面要注意知識的延伸性，即知識最終走向哪里，教師必須從整體上把握知識的結(jié)構(gòu)。在把握知識整體架構(gòu)的前提下，教師要在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中著眼于發(fā)展學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，不能局限于掌握數(shù)學(xué)知識本身，更多地關(guān)注學(xué)生在學(xué)習(xí)過程能力的發(fā)展、素養(yǎng)的提升。因此，教師要從發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)出發(fā)，抓實(shí)日常的課堂教學(xué)，在學(xué)習(xí)過程中培養(yǎng)學(xué)生的核心能力，使其養(yǎng)成核心素養(yǎng)。

【參考文獻(xiàn)】

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[2]顧靖楠.例談初中數(shù)學(xué)概念課的教學(xué)——以《直線與圓的位置關(guān)系（1）》為例[J].好家長，2017（13）.