例談三角函數(shù)中有關(guān)ω問題的求值策略

楊偉達(dá)

(廣東省廣州市花都區(qū)第二中學(xué) 510800)

以ω為紐帶的三角函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)或f(x)=Acos(ωx+φ)試題一直困擾著學(xué)生，也是數(shù)學(xué)高考的難點和熱點.它常常與函數(shù)的周期、最值、極值、單調(diào)、零點、對稱軸等有機結(jié)合，不僅考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，也考查了直觀想象、邏輯推理、轉(zhuǎn)化與化歸等重要數(shù)學(xué)思想.本文對有關(guān)的ω取值問題作一個梳理，旨在提高復(fù)習(xí)效率.

一、精準(zhǔn)算值

例1 (2012年湖南)函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的部分圖象如圖1所示，其中，P為圖象與y軸的交點，A,C為圖象與x軸的兩個交點，B為圖象的最低點.

分析本題考查了三角函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、定積分相結(jié)合的綜合應(yīng)用.結(jié)合導(dǎo)函數(shù)圖象，通過求導(dǎo)，得出有關(guān)ω的代數(shù)式，再從已知特殊點代入即可求出ω的值.

解析(1)求導(dǎo)f′(x)=ωcos(ωx+φ).

解得ω=3.

由幾何概型知該點在△ABC內(nèi)的概率為

二、取整排除

有這樣一類三角函數(shù)題，根據(jù)題設(shè)條件不能直接確定周期的大小，但可以根據(jù)三角函數(shù)的有界性或圖形特征，列出關(guān)系式，然后取整代入，逐一檢驗，排除即可.

A.11 B.9 C.7 D.5

故選B.

(3) 隨著城市線網(wǎng)的不斷加密，部分車站可能調(diào)整為換乘站，建議中心城區(qū)車站在滿足進(jìn)、出站客流的前提下，適當(dāng)加寬站臺以及加大站廳公共區(qū)面積，這樣既可以提高服務(wù)水平，也為換乘改造預(yù)留了空間條件。

三、臨界逼近

有這樣一類三角函數(shù)題，往往涉及到它的圖象和性質(zhì)，依托其函數(shù)的有界性和周期性，臨界逼近列出不等條件即可求范圍.

①f(x)在(0,2π)有且僅有3個極大值點

②f(x)在(0,2π)有且僅有2個極小值點

其中所有正確結(jié)論的編號是( ).

A.①④ B.②③ C.①②③ D.①③④

分析本題考查三角函數(shù)的零點、極值、單調(diào)性及周期.本題還滲透了直觀想象、邏輯推理、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想.結(jié)合圖象，利用周期公式、單調(diào)區(qū)間有界性，列出不等式求解即可.

解析結(jié)合題目的已知條件及圖象，顯然①正確.

分析本題考查三角函數(shù)的單調(diào)性和周期.用平移方法得到平移后的減區(qū)間，結(jié)合三角函數(shù)的周期公式、單調(diào)區(qū)間有界性，列出不等式即可求得.