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      基于構(gòu)造法的高中數(shù)學(xué)解題方法探討

      2021-08-05 11:51:16段黽釗
      數(shù)理化解題研究 2021年18期
      關(guān)鍵詞:題干實數(shù)條件

      段黽釗

      (江蘇省南通市海門市包場高級中學(xué) 226100)

      數(shù)學(xué)知識具有比較強的繁雜性與抽象性特性,是高中生學(xué)習(xí)的重點與難點所在,尤其是其中涉及到許多復(fù)雜性與綜合性比較強的類型題,常常使學(xué)生陷入解題困境.在正向解題思路下無法快速求解數(shù)學(xué)問題,如果可以靈活地應(yīng)用逆向思維,借助構(gòu)造法分析問題,那么就可以通過對題干中的隱性及顯性解題信息進(jìn)行挖掘來快速明確求解問題所必備的關(guān)鍵解題條件與信息,進(jìn)而可以簡化學(xué)生求解問題的過程,提高了他們求解數(shù)學(xué)問題的能力.

      一、基于構(gòu)造方程法,求解數(shù)學(xué)問題

      構(gòu)造方程法是求解高中數(shù)學(xué)題中用的比較多一種解題方法,主要是由于方程和函數(shù)之間具有緊密聯(lián)系,許多數(shù)學(xué)類型題常常都可以通過尋求方程和函數(shù)之間的相關(guān)性來進(jìn)行求解.構(gòu)造方程法主要是在對相關(guān)問題中的已知條件以及它們之間的相關(guān)性進(jìn)行深入分析的基礎(chǔ)上,通過利用這些已知關(guān)系與條件來相應(yīng)地構(gòu)造能夠求解問題的等量方程.

      例1已知(m-n)2-4(n-x)(x-m)=0,試求參數(shù)m,n,x之間互相構(gòu)成等差數(shù)列.

      解析在求解這道與數(shù)列相關(guān)的類型題中,如果采用傳統(tǒng)求解方法,那么整體的求解難度比較大,并且還會使學(xué)生進(jìn)行大量的計算,容易造成錯解情況.此時在求解這道問題中可以靈活地運用構(gòu)造法,以“參數(shù)m,n,x之間互相構(gòu)成等差數(shù)列”這一待求解條件作為求解問題的已知條件,同(m-n)2-4(n-x)(x-m)=0這一給定的關(guān)系式相結(jié)合,那么可以具象化和簡單化處理這道抽象數(shù)學(xué)問題,大大提高了問題求解效率.

      解構(gòu)造如下方程:(m-n)t2-(m-n)t+(x-m)=0;

      令F(t)=(n-x)t2+(m-n)t+(x-m).

      通過分析本道題,可以發(fā)現(xiàn):F(1)=0,可知:(n-x)t2+(m-n)t+(x-m)=0的實數(shù)根保持相等,求解可得:t=1,所以可知相應(yīng)方程實數(shù)根均為1.然后可以結(jié)合韋達(dá)定理來得到如下方程:m+n=2x,所以可知參數(shù)m,n,x之間互相構(gòu)成等差數(shù)列.

      基于上述分析可知,在求解這道問題中,核心解題思想是借助構(gòu)造法的運用來簡化復(fù)雜的問題,提高問題求解的準(zhǔn)確率與效率.

      試求:tan(α+β+γ)的值.

      解析針對上述這道涉及到三角函數(shù)的問題,學(xué)生在求解的過程中如果直接采取分解待求函數(shù)tan(α+β+γ)的方式來求解問題,那么會大大增加學(xué)生求解問題的難度,并且非常容易出現(xiàn)錯解情況.此時如果靈活應(yīng)用構(gòu)造方程的方法來簡化問題,那么可以大大提高解題的便捷性與準(zhǔn)確度,并且可以避免因為計算量過大而造成錯解情況的出現(xiàn).

      解假定tanα=x,tanβ=y,tanγ=z,那么基于給定的題干條件可知,

      由此可見,靈活運用構(gòu)造方程思想等一些方法來簡化問題求解過程,這樣可以最大程度提高學(xué)生求解數(shù)學(xué)問題的質(zhì)量與效率.

      二、基于構(gòu)造數(shù)列法,求解數(shù)學(xué)問題

      數(shù)列作為高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容,是高考數(shù)學(xué)試卷必考的題目.其中主要涵蓋了等差數(shù)列、等比數(shù)列兩個方面的數(shù)列知識,但是卻依舊包含比較多的數(shù)學(xué)內(nèi)容.在求解數(shù)列問題時,如果可以靈活地運用構(gòu)造數(shù)列的方法,那么在求解部分?jǐn)?shù)學(xué)題目中常常會發(fā)揮非常神奇的效用,具體就是借助聯(lián)想或替換等方法來構(gòu)建等比數(shù)列或等差數(shù)列,之后結(jié)合數(shù)列方面的相關(guān)知識來深入分析題干當(dāng)中的相關(guān)信息、條件及要求,這樣可以極大地簡化問題,提高問題分析及解決的有效性.

      解析基于題干信息,給出部分解題條件與信息來求解Sn是一道比較常見的類型題.在明確前幾項之和,且給定了{(lán)an}這一通項公式,所以可以借此來推算出相應(yīng)的Sn表達(dá)式.

      解基于問題題干信息可得,在n≥2的時候,an=Sn-Sn+1,所以可知:

      三、基于構(gòu)造函數(shù)法,求解數(shù)學(xué)問題

      同構(gòu)造方法這一解題方法類似,構(gòu)造函數(shù)法也是求解數(shù)學(xué)問題中比較常見的一類解題方法,二者本質(zhì)在解題上存在相通性.在平時的解題教學(xué)中,可以結(jié)合具體的解題來指導(dǎo)學(xué)生同時訓(xùn)練自身靈活應(yīng)用構(gòu)造函數(shù)法求解數(shù)學(xué)問題的能力.通過有效應(yīng)用構(gòu)造函數(shù)法分析及求解數(shù)學(xué)問題,可以鍛煉學(xué)生思維的靈活性,尤其是在代數(shù)問題、三角函數(shù)問題、幾何問題等相關(guān)數(shù)學(xué)類型題當(dāng)中.如果可以指導(dǎo)學(xué)生深入挖掘所給數(shù)學(xué)題目中的關(guān)鍵信息,找到其中有關(guān)的函數(shù)關(guān)系,那么可以將這些復(fù)雜數(shù)學(xué)問題的求解過程進(jìn)行簡化,配合函數(shù)問題求解方法及思想的靈活應(yīng)用可以大大提高學(xué)生求解數(shù)學(xué)問題的能力,同時借助構(gòu)造函數(shù)方法的靈活應(yīng)用可以進(jìn)一步提高整體的解題準(zhǔn)確率.

      例4已知a,b,c,d均為實數(shù),且滿足:針對任意一個實數(shù)x,均滿足下一不等式:acosx+bcos2x+ccos3x+dcos4x≤1.試求:a+b-c+d的最大值,以及此時a,b,c,d各自的值是多少?

      解析在求解這一道三角函數(shù)相關(guān)的類型題中,由于其中涉及到a,b,c,d幾個未知參數(shù),所以在對相應(yīng)不等式進(jìn)行化簡的時候會遇到一些難題,學(xué)生常常不知道該如何解題.此時如果可以靈活應(yīng)用構(gòu)造函數(shù)法,那么可以將復(fù)雜的三角函數(shù)問題進(jìn)行簡化,快速找到解題的突破口,避免大量的計算.

      解令f(x)=acosx+bcos2x+ccos3x+dcos4x

      此時可以令t=cosx(-1≤t≤1),那么可知:

      f(x)-1=acosx+bcos2x+ccos3x+dcos4x-1

      通過進(jìn)一步簡化上式,可以得到:

      f(x)-1=2(t-1)(t+1)(2t-1)[2dt-(1-d)]≤0

      針對定義域為(-1≤t≤1)范圍內(nèi)的t,上式均成立,所以可知:d>0,且2d/2=(1-d)/1,求解得:d=1/2.這樣可以快速求解本道題的正確答案為:最大值為3,且對應(yīng)最大值時候a,b,c,d分別為1,1/2,-1和1/2.

      綜上所述,在求解某些數(shù)學(xué)問題中,如果可以指導(dǎo)學(xué)生巧用構(gòu)造法,通過構(gòu)造數(shù)列、構(gòu)造函數(shù)以及構(gòu)造方程,可以有效簡化求解的問題,大大提高學(xué)生解題的準(zhǔn)確度與效率.但是在實際求解問題中應(yīng)用構(gòu)造法期間,必須要結(jié)合實際的類型題進(jìn)行合理分析,保證可以選擇適宜的構(gòu)造法來簡化問題,這樣才能不斷提升學(xué)生運用構(gòu)造法解題的能力.

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      1.1 實數(shù)
      為什么夏天的雨最多
      比較實數(shù)的大小
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