尋跡“理解證據(jù)”：數(shù)學習題教學的著力點

凌建青

摘要：“理解”是數(shù)學學習的目標指向，亦是過程追求。“解題”是促進學生數(shù)學理解的載體，又是檢測學生是否實現(xiàn)預期學習目標的反饋環(huán)節(jié)。學生能闡述解題的思考過程，能應對變式練習，能靈活遷移等，可視作學生解題的“理解證據(jù)”。尋跡理解證據(jù)是習題教學走向高效的精準著力點。

關鍵詞：理解;理解證據(jù);習題教學

中圖分類號：G623.5 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094（2021）02A-0106-05

教學的本質(zhì)是促進學生的學。教學首先要考慮學生的預期學習結(jié)果，即要實現(xiàn)怎樣的學習目標。其次，要明確學生怎樣的行為可以確證他們達到了預期的學習結(jié)果，然后再設計學習體驗和教學活動。這是有別于傳統(tǒng)教學的“逆向教學設計”，即追求以學生的學習為目標的教學設計。“逆向教學設計”認為“教學行為都是基于一定的教學目標，若是缺少了最后結(jié)果反饋的環(huán)節(jié)，那么教學是否有效就無從判斷，它的合法性是不成立的，因此關注學生的結(jié)果也是教學行為的題中之義?！盵1]習題是小學數(shù)學學科內(nèi)容的重要組成部分，解題是有效評估學生學習結(jié)果的“反饋環(huán)節(jié)”。正如數(shù)學家波利亞說過：“掌握數(shù)學意味著什么呢？意味著善于解題。”當然，解題只是學生的一種外顯行為，其最終的目的是通過“解題”評估學生是否真正理解了所學的內(nèi)容。

一、作為評估數(shù)學學習的“理解”

對于數(shù)學教師來說，“理解”一詞是再熟悉不過了，比如讓學生“理解算理，掌握算法”“理解等式的性質(zhì)”等，但對于這個耳熟能詳?shù)摹袄斫狻?，我們是否真的理解呢?/p>

1.作為學習結(jié)果的“理解”

“理解”是一種學生學習數(shù)學應追求的結(jié)果?！读x務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》把“了解”“理解”“掌握”“運用”作為一類描述結(jié)果目標的行為動詞。而“理解”是指“描述對象的特征和由來，闡述此對象與相關對象之間的區(qū)別和聯(lián)系?！盵2]可見，“理解”與“了解”不同，“了解”表示“知道”或者“初步認識”，指向的是事實性知識。盡管數(shù)學學習是從“了解”開始，但了解了事實性知識并不能導致“理解”?！袄斫狻敝赶蛑R本質(zhì)，是學生探索事實意義的結(jié)果。如知道“60%是一個百分數(shù)”是“了解”，認識到“60%表示的是一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾的數(shù)”則表明“理解”了百分數(shù)的意義。

2.作為學習過程的“理解”

理解需要時間和精力，“理解”不僅表示學習結(jié)果，也是一種推斷、推理的學習過程?！袄斫饩褪菍⑽覀兊闹R聯(lián)系、結(jié)合起來，從而弄清楚事物的含義（如果沒有理解，我們可能只會看到含糊的、孤立的或者無用的事實）?！盵3]7數(shù)學知識需要通過“理解”這一過程來實現(xiàn)“理解了”的結(jié)果。如認識三角形，不僅需要通過提供多元表征，讓學生建立三角形的直觀表象，還要通過正例、反例的辨析，建構(gòu)“三條線段首尾相接的平面圖形是三角形”的概念。學生認識到三角形不是某個具體的實物形狀或者是特定圖形，而是一個抽象了的符號，才能表明學生對三角形真正理解了。

3.作為學習目標的“理解”

“理解”還是“掌握”和“運用”的基礎?！袄斫庖馕吨軌蛑腔酆陀行У貞门c遷移——在任務環(huán)境中，有效地運用知識和技能。”[3]7而“掌握”和“運用”又能反過來檢測學生理解的程度。因此，能否真正“理解”所學知識的本質(zhì)應該成為每節(jié)課的學習目標之一，“理解”也是評估學生預期學習結(jié)果的重要指標。解題是學生鞏固知識技能的“必選動作”，也是對知識技能進行遷移和應用的重要途徑。通過解題讓“理解”走向“掌握”和“運用”，只有“理解了”才能“掌握”和“運用”，反過來只有通過“運用”才能加深和強化對知識本質(zhì)的理解。

二、尋跡學生解題過程的理解證據(jù)

波利亞在《“怎樣解題”表》中將解題過程分為四步：審題、制定解題計劃、執(zhí)行計劃和回顧。首先，需要分析題目中的已知條件和問題，將已有的知識、經(jīng)驗與新知識建立聯(lián)系，進行信息加工。其次，要調(diào)動相關的方法和策略規(guī)劃解題的思路，并運用適合的方法付諸實踐。最后，還要對自己的解題過程和結(jié)果回顧、檢驗。雖說小學數(shù)學的習題相對簡單，但成功解題一定是學生經(jīng)歷獨立思考后的結(jié)果，而這個思考的過程是別人無法替代的。學生能脫離他人的幫助成功解題也是教學的最終目標之一。數(shù)學課堂的“新授環(huán)節(jié)”會涉及解題，但無論是教師的示范講解，還是以組織者、引導者、合作者的身份參與學生解題，都會在一定程度上“干預”學生的獨立思考。因此，獨立完成解題是表明學生“理解”的先決條件、首要證據(jù)。當然，獨立解題并不等于理解，學生在解題過程中有怎樣的表現(xiàn)，才是表明理解的證據(jù)呢？

1.闡明思考過程

語言是思維的外殼。有經(jīng)驗的老師總喜歡在課上問學生“你是怎么想的”，讓學生把想法說出來，通過“出聲的思考”來判定學生的掌握情況。正所謂“心求通而達，口欲言而能”，要把一個問題、一件事完整清晰地表達出來，必須先要想明白、理通順。解題是一個復雜的思維過程，學生能有條理地講清解題思路，則可以判定學生已經(jīng)掌握了這題的解題方法或者策略，即便是再簡單的內(nèi)容亦是如此。如教學“整十、整百數(shù)乘一位數(shù)的口算”時，學習完“20×3”和“200×3”后，讓學生練習“800×3”，當學生能說出“8個百乘3是24個百，是2 400，所以只要先算8×3等于24，然后在后面添兩個0”時，即學生不僅能說出了怎么算的（算法），而且說出了為什么要這么算（算理），以此可作為學生的理解證據(jù)。

2.應對習題變式

變式是指通過變換同類事物的非本質(zhì)特征的表現(xiàn)形式，變更觀察事物的角度和方法，從而突出事物的本質(zhì)特征，突出那些隱蔽的本質(zhì)要素，讓學生在變式中思維，從而掌握事物的本質(zhì)和規(guī)律[4]。變式在日常教學中有著廣泛的運用，數(shù)學變式教學一般分為概念變式和習題變式?！白兪筋}”的難度通常略高于基礎題，是在不改變知識內(nèi)容的本質(zhì)屬性的前提下改變習題的形式。如《乘法分配律》的教學，像“25×13+75×13”屬于基礎題，解題時學生可直接套用乘法分配律的字母表達式“a×c+b×c=（a+b）×c”進行計算，不一定需要“理解”。而像“58×99+58”則屬于“變式題”，如果沒有理解乘法分配律的實質(zhì)，學生就會發(fā)現(xiàn)“直接套用不行，缺了一個數(shù)”。學生要從乘法意義角度理解才能正確簡算，即“99個58加上1個58等于100個58”。可見，學生解決“變式題”的過程就是一個排除干擾因素，把握數(shù)學本質(zhì)，融會貫通地運用知識的過程。教師要充分設計或運用“變式題”，來檢驗學生的理解。

3.靈活遷移應用

“遷移”是學習發(fā)生的重要指標，“應用”是遷移的重要表征之一，也是檢驗學習結(jié)果的最佳途徑[5]。習題教學中，可能會出現(xiàn)以下兩種情況，一是學生已經(jīng)理解并掌握了習題涉及的本質(zhì)內(nèi)容，但卻在解題的過程中表現(xiàn)不好;二是沒有理解并掌握習題涉及的本質(zhì)內(nèi)容，卻在解題的過程中表現(xiàn)良好。顯然，對于出現(xiàn)第一個問題的情況不難理解，只要分析錯誤原因即可。但對于第二個問題，則需要考慮習題本身的評估標準是否指向?qū)W生知識的遷移和應用。評估遷移發(fā)生需要兩個要素：“外觀與感受都比較新穎的任務和讓學生將先前知識運用于具體情況的環(huán)境?！盵6]也就是學生能在陌生的情境中將所學的知識靈活應用。如學習了“圓的認識”后，布置“為什么窨井蓋和車輪要做成圓的”;學習了“認識三角形”后布置“椅子搖晃了，可以用什么辦法來解決”等。這些指向知識應用的社會實踐類的題目，不僅是檢驗學生知識遷移應用的途徑，也是數(shù)學教學的應然追求。

三、基于“理解證據(jù)”的習題教學原則

1.“理解為先”的設計原則

習題作為數(shù)學課程的重要內(nèi)容，是培養(yǎng)學生學科核心素養(yǎng)的重要載體，也是提高教學質(zhì)量的關鍵因素。習題設計考驗著教師的專業(yè)能力，習題的內(nèi)容導向、目標引領決定著學生的發(fā)展方向。事實證明，重復機械的“題海戰(zhàn)術”的效果事倍功半，只會在加重學生負擔的過程中消磨學生的學習興趣。數(shù)學是“講理”的，是以學生學會“理性地思考”為目標的。習題設計也應遵循以“理解”為目標，綜合考慮習題的鞏固性、挑戰(zhàn)性、應用性、拓展性特點，基于尋求學生解題的理解證據(jù)進行設計，“以始為終”才能“事半功倍”。

2.“循序漸進”的組織原則

為了讓解題更好地促進學生的理解，教師要架構(gòu)習題的結(jié)構(gòu)。一般按“基礎題”“變式題”“遷移應用題”的順序有層次地組織學生獨立解題。在學生獨立解題過程中，教師也要介入其中，要根據(jù)學生的學情反饋及時調(diào)整習題的呈現(xiàn)。當發(fā)現(xiàn)大部分學生無法應對“變式題”或者“遷移應用題”的挑戰(zhàn)時，還需要回到“基礎題”，加強對概念或者技能的鞏固上來。這也正是優(yōu)秀教師，為什么要在學生解題時不斷地“巡視”學生解題過程的原因。教師不僅要呈現(xiàn)有層次的習題，更要了解學生在解題過程中的真實表現(xiàn)，及時調(diào)整習題的呈現(xiàn)序列，實現(xiàn)真正意義上的“循序漸進”。

3.“因材施教”的實施原則

“因材施教”中的“材”既是指教材，又是指學生。盡管對于習題教學要以“理解”為目標，但還是應遵循“因材施教”的原則。首先，從教材內(nèi)容來看，不是所有的習題設計都是指向“理解”的。對同一內(nèi)容，不同階段的要求是不同的。如“角”“三角形”“平行四邊形”“圓”等平面圖形在“第一學段”的要求是“認一認”，習題的教學指向“了解”為目標。這些內(nèi)容安排在“第二學段”時，涉及了圖形的基本概念，則需要設計以“理解”為目標的習題。其次，學生的差異是客觀存在的，同一習題，對于不同層次的學生在以“理解”為目標的層次上要區(qū)別對待，這吻合了數(shù)學課程標準提出的理念“不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展”。

四、基于“理解證據(jù)”的習題教學實施

1.解讀教材，習題結(jié)構(gòu)化

教材是集“課標精神”、編者意圖、教法、學法引領等要素于一身的內(nèi)容載體，是教師組織教學最主要的內(nèi)容文本。教師解讀教材時，要結(jié)合自己對“課標精神”和編者意圖的理解，根據(jù)學生實際，制定切實可行的學習目標。制定目標的過程也是一個目標分類的過程，要分清哪些內(nèi)容指向“了解”，哪些內(nèi)容指向“理解”等，再根據(jù)目標指向?qū)滩奶峁┑牧曨}進行必要的加工、改造，落實到教學活動中去。如蘇教版四年級《射線、直線、角》一課（見表1），要求學生對線段、射線、直線正確識別的習題是指向“了解”的，只要讓學生觀察這些圖形表征的外在特點：“直的，有幾個端點”，學生就能鑒別。而對于它們的本質(zhì)特征“有限長”和“無限長”的比較，需要設計指向“理解”的習題。因為線段有起點和終點，所以有限長;射線和直線是可以向一邊或者兩邊無限延長的，所以無限長。可見，基于數(shù)學知識本質(zhì)的習題一定是指向?qū)W生理解的。

2.關注學情，教學序列化

“以學情分析來尋求教學的起點”已經(jīng)成為廣大教師的共識，在學生解題過程中，教師也要將“學情關注”進行到底。只有將學生內(nèi)在思維活動外顯為可視的言語和行為，才能真實地掌握學生解題時的理解證據(jù)。首先，教師要努力成為一名傾聽者，給學生創(chuàng)設更多的時間和空間，使其解題時不能只顧“動手做”，還要養(yǎng)成“動腦想”，更要“動口說”。其次，教師要努力成為一名觀察者，在學生解題時不斷巡視，觀察學生群體在面對習題的挑戰(zhàn)時（可能來自變式題，也可能來自遷移應用題），能否在新的情境中靈活運用知識技能，是否需要進行習題序列的調(diào)適。如蘇教版六年級下《比例的基本性質(zhì)》一課中，習題“根據(jù)3×4=2×6寫出比例”是對基本題的變式，但學生解題時大面積出現(xiàn)了“3：4=2：6”的錯誤解法。詢問學生想法后發(fā)現(xiàn)，對于比例的基本性質(zhì)“因為a：b=c：d，所以ad=bc”，學生無法進行逆向遷移，也就是不知道根據(jù)“ad=bc”也能推出“a：b=c：d”。而比例的基本性質(zhì)是一個充分必要條件，順向推理和逆向推理都成立。同時，教師教學的重點也放在了順向推理上，即“因為a：b=c：d，所以ad=bc”造成了學生的不理解。學生解題時的學情反饋檢測出了教師教學的不足，這就需要教師重新調(diào)適教學。

3.促進發(fā)展，評價多元化

學生的差異性決定了解題過程和結(jié)果的多樣性，不同的學生在解題時表現(xiàn)不同，這也給教學評價帶來了挑戰(zhàn)。評價的目的是促進學生的發(fā)展，因此，教師對于學生解題的評價要有不同的“尺”。首先，解題是通過知識技能的運用來促進“理解”和獲得“理解”的過程，以“理解證據(jù)”評估學生的解題是“第一把尺”。如做計算時不僅掌握算法，還能理解算理;解決問題時，不僅能獲得答案，還能概括出數(shù)量關系。其次，解題過程要注重學生良好習慣的養(yǎng)成，如仔細審題、自覺檢驗等。良好的解題習慣是提升學生解題能力的前提，也是學生一生受用的關鍵能力，這是“第二把尺”。再次，習題的類型各異，難易程度不同，有些習題的結(jié)果不唯一，即使結(jié)果唯一解題的方法也是多樣化、差異化的。教師不能只顧解題的結(jié)果，也要“理解”學生不同方法背后的真實想法，尊重差異，允許合理的多元化，這是評估學生解題的“第三把尺”，因為創(chuàng)造往往是在寬松、和諧的環(huán)境中生長出來的。當然，需要指出的是，有些題目的方法多樣化，教師還是有必要進行分析、比較、優(yōu)化，因為小學生對自己的解題是沒有判斷能力的，往往認為自己想出來的方法是最好的。

在扎實推進小學數(shù)學“雙基教學”，落實“精講多練”的同時，作為數(shù)學教師需要進一步明確的是，掌握了知識與技能并不表示學生能夠靈活運用，只有真正理解了，才能在新的問題情境中實現(xiàn)遷移應用。正如約翰·D.布蘭思福特《人是如何學習的》一書中所指出的，“當學生學會如何從他們的練習中提取內(nèi)在的聯(lián)系和主題，他們就能夠形成何時、何地、為什么以及如何運用所學知識來解決新問題的靈活理解了。”

參考文獻：

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責任編輯：李韋