伍健棟，劉勇軍

（華南理工大學(xué)工商管理學(xué)院，廣州 510640）

隨著市場經(jīng)濟的不斷發(fā)展，企業(yè)間競爭日益加劇，如何在眾多與企業(yè)經(jīng)營發(fā)展密切相關(guān)的項目中選擇合適的項目進(jìn)行投資，進(jìn)而加強企業(yè)自身的盈利能力、抗風(fēng)險能力以及競爭力等已成為企業(yè)最關(guān)注的問題.而項目組合選擇研究的正是如何在一組有限的可選項目中挑選若干合適的項目，進(jìn)而在滿足資源限制等約束的前提下，最大限度地實現(xiàn)組織目標(biāo)的問題［1］.

作為投資組合領(lǐng)域的一個重要分支，項目組合選擇問題可追溯至Markowitz于1952年提出的均值-方差模型［2］.之后，一些學(xué)者結(jié)合項目管理背景，展開了對該問題的研究.Ghasemzadeh等［3］提出了項目組合選擇的0～1整數(shù)規(guī)劃模型.Carazo等［4］引入多目標(biāo)規(guī)劃模型解決項目選擇與調(diào)度問題.Be?ikci等［5］研究了資源緊縮政策下的多項目環(huán)境問題.Kalashnikov等［6］將精益六西格瑪項目組合表示為一個雙目標(biāo)二次規(guī)劃問題并求解.Liesi?等［7］利用偏好規(guī)劃構(gòu)建魯棒項目組合優(yōu)化模型.王勇勝等［8］建立了不確定多期滾動項目組合選擇模型.陶莎等［9］考慮了項目間交互作用及參數(shù)不確定性，提出項目組合選擇魯棒優(yōu)化模型.Song等［10］基于可接受性分析方法解決了多準(zhǔn)則項目組合問題.李星梅等［11］將魯棒優(yōu)化理論拓展到主動打斷項目組合選擇問題中.閆慶友等［12］構(gòu)建了動態(tài)主動打斷項目組合選擇模型.

已有研究大多只考慮了在固定期限內(nèi)進(jìn)行項目的選擇與調(diào)度.但由于組織目標(biāo)及資源限制等多種因素的影響，投資者很難事先主觀設(shè)定合適的期限進(jìn)行投資；若設(shè)定不當(dāng)，則會影響組織目標(biāo)的實現(xiàn).因此，Jafarzadeh等［13］提出了基于所選項目執(zhí)行期來確定投資期限的項目組合選擇整數(shù)規(guī)劃模型.隨后，Liu和Zhang［14］提出了考慮消費因素與破產(chǎn)風(fēng)險控制的靈活時間期限項目組合選擇模型.然而，這兩個模型都是在不可借貸的假設(shè)下建立的，而現(xiàn)實中投資者通常是允許借貸的.因此，本文考慮了資金的可借貸因素，在借貸利率不一致且存在借款限額的情況下，提出了具有靈活時間期限的項目組合選擇模型.針對所提出的非線性規(guī)劃模型，設(shè)計了蟻獅-差分進(jìn)化算法進(jìn)行模型求解.最后，結(jié)合數(shù)值算例與模型對比分析闡明了模型和算法的有效性，并通過參數(shù)靈敏度分析探討了借款限額對投資決策的影響.

1 項目組合選擇模型的構(gòu)建

記αt表示在時刻t因項目組合提前完工獲得的獎勵或超期完工遭受的罰金；當(dāng)t0，當(dāng)t>T時，αt<0，否則αt=0.則項目組合因期限調(diào)整產(chǎn)生的獎懲額ΔWe為

記rB,t和rL,t分別表示時刻t的借入與貸出利率；Wt表示投資者在時刻t進(jìn)行項目投資支出并收回完工項目收益后的資金凈額；Bt表示時刻t的借款限額.那么，在完成投資前的任意時刻t，投資者若按最大限額借入資金B(yǎng)t，其資金總額不得為負(fù)值，即Wt+Bt≥0.則當(dāng)時刻t=1時，W1為投資者初始財富扣除此時產(chǎn)生的項目投資支出，得到

而當(dāng)t=2,…,T*-1時，若此時資金不足(Wt<0)，則借入資金|Wt|，并在時刻t+1支付利息rB,t|Wt|；若此時仍有資金剩余(Wt>0)，則全部貸出，在時刻t+1獲取利息收入rL,t Wt，即

因此，本文通過進(jìn)行最優(yōu)項目組合選擇與調(diào)度，在允許范圍內(nèi)決定實際投資期限，并在滿足最大借款限制等約束的情況下，實現(xiàn)投資者最終財富的最大化，得到模型P如下：

2 蟻獅-差分優(yōu)化算法

2.1 蟻獅優(yōu)化算法基本原理

1）螞蟻隨機游走.每只螞蟻為尋找食物在所有維度進(jìn)行隨機游走，隨機游走的公式如下：

式中：t為螞蟻游走的步數(shù)；cumsum為游走位置的累積值；M是算法最大迭代次數(shù)；r(t)為0或1的隨機數(shù).為確保螞蟻在解空間內(nèi)進(jìn)行游走，需對游走位置進(jìn)行歸一化處理：

2）螞蟻誤入陷阱.蟻獅的位置可視為陷阱中心.每只螞蟻基于蟻獅的適應(yīng)度值，通過輪盤賭方式選擇所誤入的蟻獅陷阱，因此螞蟻隨機游走的范圍邊界受到蟻獅位置的影響：

式中：Rs(t)是螞蟻圍繞輪盤賭選擇的蟻獅的隨機游走；Relite(t)則是圍繞精英蟻獅的隨機游走.

3）螞蟻滑落穴底.蟻獅刨出沙土迫使螞蟻下滑，表現(xiàn)為陷阱邊界隨著迭代次數(shù)增加而減小：

其中：當(dāng)t≤0.1M時，I=1；否則I=10w t M（w=2，t>0.1M；w=3，t>0.5M；w=4，t>0.75M；w=5，t>0.9M；w=6，t>0.95M），M為最大迭代次數(shù).

4）蟻獅重筑陷阱.將螞蟻與蟻獅按適應(yīng)度排序，挑選適應(yīng)度最優(yōu)的N個位置更新蟻獅位置.

2.2 蟻獅-差分優(yōu)化算法設(shè)計

基本ALO算法在求解復(fù)雜優(yōu)化問題時仍存在早熟收斂和易陷入局部最優(yōu)的問題，因此一些學(xué)者在其基礎(chǔ)上開展了改進(jìn)工作，如吳偉民等［19］提出了包含雙重反饋機制的ALO算法，Dong等［20］在ALO算法中引入了動態(tài)隨機游走方法和動態(tài)反向?qū)W習(xí)策略等.本文針對所提出的離散型非線性規(guī)劃模型，通過采用適當(dāng)?shù)木幋a和約束處理方法，改進(jìn)ALO算法部分環(huán)節(jié)，并引入差分進(jìn)化算子等，從而設(shè)計了蟻獅-差分進(jìn)化（Antlion Differential Evolution，ALDE）算法.

2）邊界收縮限制.通過離散化連續(xù)變量來求解離散優(yōu)化問題時，若連續(xù)變量變化幅度很小，離散化后的離散變量很可能未發(fā)生變化，因此蟻獅捕食范圍在迭代后期的過度收縮會加劇算法難以跳出局部最優(yōu)的問題.因此，本文對陷阱上界即式（13）進(jìn)行改進(jìn)如下：

式中：κd表示第d維變量離散化后可能取到的整數(shù)個數(shù)，繼而限制了陷阱上界的收縮范圍.

3）精英化的線性遞增處理.為了提高算法前期的全局搜索能力，緩解算法早熟收斂的問題，將式（12）的精英化處理改為線性遞增形式，降低個體前期受局部最優(yōu)解的影響程度，如下：

式中：λ(t)=λmin+(λmax-λmin)?t M，λmin和λmax分別取0和0.5.

4）差分進(jìn)化算子.差分進(jìn)化算子的變異與交叉操作常用于改進(jìn)算法全局搜索能力，如下：

式中：Uv為第v只蟻獅變異后的位置，a，b和c為隨機選擇的互不相同的蟻獅序號，F(xiàn)是[0.2,0.8]內(nèi)的隨機數(shù)，PCR控制交叉概率，θ為[0,1]內(nèi)隨機數(shù)，d0為{1 ,2,…,D}內(nèi)隨機數(shù).記適應(yīng)度函數(shù)為Fit(?)，當(dāng)進(jìn)化后的個體適應(yīng)度更優(yōu)，則替換原來的個體，即

5）約束處理方法.本文采用自適應(yīng)懲罰函數(shù)法［21］進(jìn)行約束處理.記約束優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)為f(X)，第j個約束條件為gj(X)≤0，則解X的違反約束程度V(X)=∑j=1max(gj(X),0).記當(dāng)前的最優(yōu)適應(yīng)度和最大違約程度分別為Fitg和Vg，則X的適應(yīng)度值為

6）算法步驟.

Step 1：設(shè)置算法參數(shù)，隨機生成初始的螞蟻和蟻獅種群，計算相應(yīng)的適應(yīng)度值，記錄初始的最優(yōu)適應(yīng)度和最大違反約束程度，令t=1.

Step 2：采用輪盤賭方式選擇蟻獅，利用式（14），（15），（10）和（11）計算陷阱邊界，利用式（8），（9）和（16）計算螞蟻在陷阱中隨機游走后的位置，計算適應(yīng)度值.

Step 3：在所有螞蟻和蟻獅中挑選適應(yīng)度最優(yōu)的N個位置對所有蟻獅位置進(jìn)行更新.

Step 4：執(zhí)行差分進(jìn)化算子并更新蟻獅位置，更新最優(yōu)適應(yīng)度和最大違反約束程度.

Step 5：將精英蟻獅位置更新為當(dāng)前適應(yīng)度最優(yōu)的蟻獅位置.

Step 6：令t=t+1，若t>M，則算法求解結(jié)束，否則返回Step 2.

3 算例分析

表1 可選項目的投資期數(shù)、投資支出與收益數(shù)據(jù)Tab.1 Implementation periods，expenditures and returns of the alternative projects

表2 期限調(diào)整獎懲值Tab.2 The amount of gain or loss due to adjusting the time horizon

為了說明ALDE算法的有效性，對基本ALO算法進(jìn)行了對比測試，兩者均運行100次.結(jié)果顯示，ALDE算法求得的目標(biāo)值的平均值、最大值、最小值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為7 581.90、7 652.22、7 324.66和48.11，而ALO算法求得的對應(yīng)結(jié)果則分別為7 004.42、7 436.36、6 506.13和203.85.圖1展示了兩個算法分別求得最大目標(biāo)值的一次運算的迭代曲線.由此可見，ALDE算法的全局搜索能力更強，其求解效果及求解穩(wěn)定性都明顯優(yōu)于ALO算法.

圖1 ALDE和ALO算法的迭代曲線Fig.1 Iteration curves of algorithms ALDE and ALO

此外，為了闡明靈活時間期限及資金借貸因素對模型結(jié)果的影響，本文還與模型P在固定期限下的變體模型Pfixed以及不考慮資金借貸的靈活期限項目選擇模型FTPP［13］進(jìn)行了對比分析.表3展示了三個模型的求解結(jié)果，其中，各項目所對應(yīng)數(shù)值j表示該項目開始投資的時間，若對應(yīng)“－”則表示不投資該項目，WT*為完成投資時的最終財富值.如表3所示，本文模型P共選擇了16個項目，如項目1、17和20在時刻1開始投資，項目19在時刻3開始投資等；實際投資期限T*=14，共逾期了4期完成投資，因此產(chǎn)生逾期罰金ΔWe=-925，最終財富WT*=7 652.22.而在固定期限下，由于前期資金不足及不能延期投資，模型Pfixed只能投資11個項目，其最終財富比模型P低了586.62，可見靈活時間期限決策賦予企業(yè)獲取更高收益的機會.而不允許借貸的FTPP模型的實際投資期限T*=15，比模型P多推遲了一期，但最終只投資了13個項目，說明當(dāng)不可借貸時企業(yè)在該期限內(nèi)仍面臨資金不足的問題，不能投資所有優(yōu)質(zhì)項目，最終財富值也比本文模型P低了930.17.

表3 不同模型下的投資策略及投資結(jié)果Tab.3 The investment strategies and results under different models

圖2 借款限額取不同值時投資者的財富曲線及最終財富值Fig.2 Investor’s wealth curves and final wealth values with different upper bounds of borrowing amounts

4 結(jié)語

本文考慮了資金的可借貸性，在借貸利率不同且存在借款限額的情況下，提出了具有靈活時間期限的項目組合選擇模型.然后，設(shè)計了蟻獅-差分進(jìn)化算法來求解該模型，取得較好的求解效果.最后，通過算例分析，得出靈活時間期限決策以及允許資金借貸均有利于提高項目組合收益的結(jié)論.而參數(shù)靈敏度分析結(jié)果也表明，更高的借款限額使投資者有機會在更短期限內(nèi)完成更多項目的投資，從而獲取更高的回報.鑒于靈活時間期限決策的優(yōu)越性，未來可考慮構(gòu)建多類資產(chǎn)的靈活時間期限混合投資組合模型，探討靈活時間期限對混合資產(chǎn)組合決策的影響.