非接觸多磁環(huán)負剛度機構(gòu)非線性剛度行為特性研究

王 瑤，李占龍,，劉 琪，連晉毅，王建梅，秦 園

(1.太原科技大學 機械工程學院，太原 030024；2.教育部重型機械工程研究中心，太原 030024)

Carrella等[2]提出的三彈簧結(jié)構(gòu)首先為負剛度的研究打開了思路，利用兩斜置彈簧提供負剛度。Liu等[3]提出了歐拉屈曲梁結(jié)構(gòu)作為負剛度來調(diào)整平衡位置時的動剛度。Valeev等[4]提出了單獨碟簧和環(huán)形結(jié)構(gòu)組合而成的碟簧模型。任旭東等[5]采用兩個水平對稱空氣彈簧作為負剛度。徐道臨等[6]將5個線性彈簧并聯(lián)組合設(shè)計了非線性低頻隔振器。藍雙等[7]在新的結(jié)構(gòu)設(shè)計中棄用了壓縮彈簧，采用拉伸彈簧的準零剛度隔振器。與前者對比后發(fā)現(xiàn)拉伸式具有更寬的準零剛度區(qū)間以及結(jié)構(gòu)上的優(yōu)勢。杜寧等[8]通過利用平行四邊形的不穩(wěn)定性來產(chǎn)生負動剛度。Liu等[9]設(shè)計了凸輪-滾子-非線性彈簧機構(gòu)，并討論了水平阻尼對系統(tǒng)隔離力激勵和位移激勵的能力的影響。張春輝等[10]通過在平衡位置設(shè)置一定的預緊力的準零剛度隔沖器來提高平衡位置附近的魯棒性。

近年來也陸續(xù)有學者利用磁的特殊性質(zhì)構(gòu)建負剛度元件。Zhou等[11]利用電磁鐵設(shè)計了剛度可調(diào)的具有高靜剛度-低動剛度的磁性隔振器。磁彈簧提供負剛度，磁彈簧由電磁鐵和永磁鐵構(gòu)成，剛度值可以隨電流變化。Dong等[12]展開磁力準零剛度隔振技術(shù)研究，開發(fā)了由螺旋結(jié)合構(gòu)成的高靜態(tài)低動態(tài)剛度的多維低頻隔振器。柴凱等[13-16]分別利用等效磁荷法建立矩形永磁鐵和雙環(huán)形永磁鐵的磁力和剛度解析模型。嚴博等[17]提出利用多個永磁體的不同磁化方式和布置形式來實現(xiàn)高性能的非線性隔振，驗證了在小幅值和大幅值激勵下的有效隔振。Yang等[18]基于幾何非線性動力學負剛度特征衍生的幾何非線性隔振理論，建立了超低頻時滯隔振器控制策略，實現(xiàn)對小于1 Hz振動的有效控制。蘇智偉等[19]比較分析了含負剛度動力吸振隔振系統(tǒng)的傳遞和響應(yīng)特性。Kim等[20]將準零剛度隔振器應(yīng)用于超精密測量傳感器，實現(xiàn)對低頻微幅振動的有效控制，大幅提高傳感器精度。

本文基于磁彈簧原理，提出一種非接觸多磁環(huán)負剛度機構(gòu)(non-contact negative stiffness, NCNS)，結(jié)合氣動人工肌肉(pneumatic artificial muscle, PAM)正剛度機構(gòu)，設(shè)計了一種非接觸準零剛度隔振系統(tǒng)。為探明隔振系統(tǒng)剛度機理與特性，以負剛度機構(gòu)為研究對象，搭建了負剛度實驗臺，從理論和實驗對其剛度行為特性開展了系統(tǒng)研究，為隔振系統(tǒng)動力學建模、參數(shù)優(yōu)化及其工程應(yīng)用提供理論基礎(chǔ)。

1 非接觸多磁環(huán)負剛度機構(gòu)

圖1為非接觸多磁環(huán)準零剛度隔振器結(jié)構(gòu)，主要包括承載平臺、PAM正剛度機構(gòu)和NCNS負剛度機構(gòu)。承載平臺由球鉸與中心軸連接，可有效適應(yīng)偏載工況；正剛度機構(gòu)由PAM多自由度平臺構(gòu)成，可根據(jù)載荷情況實時調(diào)節(jié)正剛度大小及平臺角度，達到對準零剛度系統(tǒng)內(nèi)部傳力的垂向歸一化，進而實現(xiàn)內(nèi)部解耦，以適應(yīng)承載剛度和平衡剛度需求；NCNS負剛度機構(gòu)由同軸排列的上磁環(huán)、下磁環(huán)和內(nèi)磁環(huán)組成，上下磁環(huán)固定在內(nèi)殼體凹槽處，內(nèi)磁環(huán)固定在中心軸上，與上下磁環(huán)呈相吸磁極分布。振動通過球鉸平臺傳遞給中心軸，中心軸帶動內(nèi)磁環(huán)在上下磁環(huán)之間運動，由于磁力作用產(chǎn)生負剛度。

1.球鉸承載平臺; 2.中心軸; 3.直線軸承; 4.上端蓋; 5.上磁環(huán); 6.內(nèi)磁環(huán); 7.下磁環(huán); 8(1).內(nèi)殼體1; 8(2).內(nèi)殼體2; 9.外殼體; 10.PAM上蓋; 11.PAM; 12.PAM座; 13.底座。

為探明負剛度機理與特性，將負剛度機構(gòu)作為研究對象，并做如下假設(shè)：① 內(nèi)磁環(huán)與上下磁環(huán)沿軸向等距設(shè)置；② 上下磁環(huán)幾何參數(shù)相同，且與內(nèi)磁環(huán)呈相吸磁分布；③ 內(nèi)磁環(huán)重力遠小于作用磁力，可忽略；④ 考慮內(nèi)外(上下)磁環(huán)因相對位移而產(chǎn)生對內(nèi)磁環(huán)的綜合垂向力，將負剛度機構(gòu)等效為圖2所示的坐標系。

如圖2所示，將坐標系xoy面與內(nèi)磁環(huán)下表面中心點重合，內(nèi)磁環(huán)垂向運動為z軸，且向上為正。內(nèi)磁環(huán)與上下磁環(huán)沿軸向等距設(shè)置，距離為l；上下磁環(huán)間距離為H；內(nèi)磁環(huán)的內(nèi)徑、外徑和高度分別為d1、D1、T1，上下磁環(huán)的內(nèi)徑、外徑和高度分別為d2、D2、T2，z為內(nèi)磁環(huán)沿軸向移動的位移；下角標1表示內(nèi)磁環(huán)變量，下角標2表示上下磁環(huán)變量，下角標2a指代上磁環(huán)變量，下角標2b指代下磁環(huán)變量。

圖2 負剛度機構(gòu)坐標系

2 負剛度理論建模

2.1 三磁環(huán)模型磁力計算

由分子電流假說[21]永磁體的磁矩可表示成由體電流密度Jt和面電流密度Jm構(gòu)成，故由磁媒質(zhì)中的安培定律得到體電流密度和面電流密度的表達式為

(1)

Jm=M×e

(2)

式中：e為垂直磁體表面的單位矢量；M是沿軸向的磁化強度矢量。環(huán)形永磁鐵沿軸向均勻磁化，磁環(huán)強度矢量分別為M1和M2；磁化強度矢量與剩余磁通密度Br1和Br2的關(guān)系分別為M1=Br1/μ0，M2=Br2/μ0，μ0=4π×10-7NA-2為真空磁導率。

由于沿軸向均勻磁化，根據(jù)式(1)、(2)可知，三磁環(huán)內(nèi)環(huán)形永磁體的體電流密度均為零，只在環(huán)形永磁體的內(nèi)外圓柱表面具有非零的面電流密度，表示為

(3)

式中：φ為內(nèi)外圓柱表面切向單位向量。

在圖2所建坐標系空間內(nèi)取點p(rp,φp,zp)，根據(jù)比奧-薩伐爾定律[22]可知，p點沿軸向磁化的環(huán)形永磁體產(chǎn)生的剩余磁通密度表示為

B(rp,φp,zp)=Br(rp,φp,zp)r+

Bφ(rp,φp,zp)φ+Bz(rp,φp,zp)z

(4)

其中，

(5)

rpcos(φp-φ1)]Φ0r(i)dφ1dz1

(6)

Bφ(rp,φp,zp)=0

(7)

(zp-z(k))2|1/2

(8)

內(nèi)磁環(huán)承受的總磁力Fz由上磁環(huán)對其吸引力F1-2a和下磁環(huán)對其吸引力F1-2b疊加，表達式為

Fz=F1-2a+F1-2b

(9)

由安培定律可知，內(nèi)磁環(huán)內(nèi)外圓柱表面上的電流元Idl在上下環(huán)形永磁體產(chǎn)生的磁場中受到的安培力為：

dF=Idl×B

(10)

故

(11)

(12)

式中：

(13)

(14)

(15)

2.2 非線性負剛度

將內(nèi)磁環(huán)軸向磁力對z(k)求一階偏導數(shù)，即可得負剛度機構(gòu)非線性剛度解析表達式為

Φ3)dz2dφ2dφ1

(16)

(17)

(18)

(19)

3 模型驗證

3.1 模型建立

基于表1所列參數(shù)建立負剛度機構(gòu)計算模型，進行磁場耦合特性分析，并獲得負剛度行為特性。在ANSYS Maxwell中建立多磁環(huán)負剛度模型，按照表1設(shè)置磁環(huán)參數(shù)并設(shè)定z向充磁，得到有限元仿真模型。圖3和圖4分別為軸向充磁條件下磁通密度分布圖和磁場強度分布圖。由圖3和圖4可知，任一磁環(huán)的磁場強度都沿軸向區(qū)域分布，且徑向?qū)ΨQ，與充磁方向一致；磁環(huán)上下端面磁性最強，可實現(xiàn)相鄰磁面的最大磁力且均勻分布；端面磁場強度峰值為6.145×105A/m。

圖4 磁場強度分布圖

表1 環(huán)形永磁體的參數(shù)

圖3 磁通密度分布圖

3.2 實驗驗證

圖5為搭建的負剛度實驗臺。實驗臺上安裝有刻度軸、高精度動態(tài)測力計、磁環(huán)夾具和負剛度磁環(huán)(釹鐵硼)等。上下磁環(huán)固定在刻度軸上，測力計與內(nèi)磁環(huán)同軸連接，可沿刻度軸上下移動，實現(xiàn)對不同位移下內(nèi)磁環(huán)的復合軸向磁力進行測試并記錄。實驗前首先測得中心軸及內(nèi)磁環(huán)整體重力為1 N，對于磁環(huán)間磁力而言可忽略不計，與計算環(huán)境條件統(tǒng)一。

1.測力計固定座；2.固定軸；3.下磁環(huán)；4.底座；5.梅花手擰螺絲；6.內(nèi)磁環(huán)；7.磁環(huán)固定座；8.上磁環(huán)；9.測力計。

依據(jù)表1所示參數(shù)，設(shè)置實驗條件，獲得在H=50 mm且軸向最大位移z為±20 mm下的內(nèi)磁環(huán)力-位移數(shù)據(jù)，對比結(jié)果見圖6。從圖6中可以發(fā)現(xiàn)，計算結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)基本吻合，二者校正決定系數(shù)Adjusted R-square為0.999 75，驗證了計算模型的可靠性。

圖6 擬合仿真曲線和實驗數(shù)據(jù)

4 負剛度行為特性

由式(16)可知，負剛度Kz由磁環(huán)幾何尺寸D、d、T、H和l以及永磁體的物理特性決定。因此，對于給定的釹鐵硼環(huán)形永磁體負剛度機構(gòu)，可通過調(diào)節(jié)其幾何和物理參數(shù)來探究參數(shù)特性，揭示負剛度行為規(guī)律。

4.1 充磁方向

分別計算沿Z向充磁和沿Y向充磁條件下負剛度行為特性，見圖7。由圖7可知，在同樣磁場強度條件下，兩種充磁方向的負剛度區(qū)間寬度相同，但沿Z向充磁負剛度機構(gòu)的最大彈性力大于沿Y向充磁負剛度機構(gòu)，差值約50 N。因此，沿Z向充磁負剛度機構(gòu)具有較強的負剛度特性，承載能力顯著。

圖7 磁方向?qū)ω搫偠鹊挠绊?/p>

4.2 幾何參數(shù)

圖8～11分別為改變磁環(huán)的內(nèi)徑d、外徑D和厚度T，以及上下磁環(huán)間距H得到的負剛度機構(gòu)力-位移曲線。首先可以發(fā)現(xiàn)，磁環(huán)內(nèi)、外徑和厚度的變化僅會影響負剛度機構(gòu)的最大彈性力，對負剛度區(qū)間寬度影響較小，基本穩(wěn)定在±20 mm之間。在負剛度位移區(qū)間，負剛度特性對內(nèi)磁環(huán)外徑和上下磁環(huán)內(nèi)徑的敏感性較強，即較小內(nèi)磁環(huán)外徑/外磁環(huán)內(nèi)徑變化會導致負剛度特性的大幅變化；磁環(huán)內(nèi)徑的增大、外徑較小或厚度減小均會導致負剛度特性減弱，這是由于幾何參數(shù)的變化會導致磁環(huán)體積的變化，進而導致磁場強度的變化。因此，在準零剛度隔振器設(shè)計時，可通過改變磁環(huán)內(nèi)外徑和厚度的變化，在不改變負剛度區(qū)間的基礎(chǔ)上，來調(diào)節(jié)隔振器的承載剛度，進而確定與之匹配的正剛度范圍。由圖11可知，隨H增加，負剛度區(qū)間從-15～15 mm擴展到-25～25 mm附近，但負剛度峰值穩(wěn)定不變。因此，可以通過調(diào)節(jié)H在不改變負剛度行為特性的基礎(chǔ)，擴展隔振系統(tǒng)的行程。

圖8 環(huán)形永磁體內(nèi)徑對磁剛度的影響

圖9 環(huán)形永磁體外徑對磁剛度的影響

圖10 磁環(huán)高度T對磁剛度的影響

圖11 上下磁環(huán)距離H對磁剛度的影響

4.3 磁場強度

圖12為不同磁導率Br值下負剛度機構(gòu)的力-位移曲線。由圖12可以發(fā)現(xiàn)，磁導率Br的增加，負剛度機構(gòu)的最大彈性力增大，其負剛度區(qū)間保持不變，與解析剛度式(16)一致。

圖12 不同Br值對磁剛度的影響

5 結(jié) 論

本文提出了一種新型非接觸多磁環(huán)準零剛度隔振器，由三磁環(huán)NCNS負剛度機構(gòu)和PAM正剛度機構(gòu)串聯(lián)組成。為探明隔振系統(tǒng)負剛度機理與特性，將NCNS負剛度機構(gòu)作為研究對象，推導出其解析剛度表達式，建立了計算模型，對其負剛度行為特性及參數(shù)特性開展了系統(tǒng)研究。主要結(jié)論有：

(1)NCNS負剛度機構(gòu)具有顯著的負剛度特性，在同樣幾何參數(shù)和負剛度區(qū)間條件下，軸向充磁比徑向充磁獲得更大的負剛度，配合與之匹配的正剛度機構(gòu)，在滿足低頻寬帶隔振性能的基礎(chǔ)，能獲得較強的承載能力。

(2)負剛度機構(gòu)剛度行為特性具有明顯的參數(shù)依賴性，調(diào)整磁環(huán)參數(shù)D、d、T和Br值可提升負剛度的承載性能，但不改變負剛度區(qū)間；調(diào)整H可拓展負剛度區(qū)間，但不改變承載性能。

(3)計算模型與實驗有很好的一致性，驗證了該模型的正確性，為下一步新型準零剛度隔振系統(tǒng)動力學建模、參數(shù)優(yōu)化及其工程應(yīng)用提供了理論基礎(chǔ)。