探究水上景物經(jīng)水面折射成像的規(guī)律

張懷華

（焦作市第十一中學(xué)，河南 焦作 454000）

1 引言

加拿大著名攝影師Eiko Jones曾經(jīng)在一些沼澤和湖泊中拍攝過神秘的水下世界.對(duì)于絕大多數(shù)沒有潛水經(jīng)歷的人們來說，池塘和湖泊的水下世界無疑是一個(gè)非常令人神往的地方.他的水下攝影作品《沼澤之心》曾獲“我們的水下世界國際影賽”（Our World Underwater）的銀獎(jiǎng).［1］正是因?yàn)镋iko Jones的工作，讓人們開始意識(shí)到這些水下世界也是值得保護(hù)的.

當(dāng)人們都在透過Eiko Jones的鏡頭欣賞這神奇的水下秘境的時(shí)候，高中物理教師們卻從圖1-4中看到了神奇的水面折射成像規(guī)律.即在潛水員的視野中，水上所有景物都出現(xiàn)在一個(gè)倒立的圓錐里.［2］

圖1

圖2

圖3

圖4

水上景物的像為什么都呈現(xiàn)在一個(gè)倒立的視錐中呢？水上景物的像又依照什么規(guī)律發(fā)生扭曲變形的呢？

2 探究水上景物經(jīng)水面折射成像的規(guī)律

當(dāng)水上景物發(fā)出或反射的光以掠射方式經(jīng)水面折射進(jìn)入觀察者眼中的過程中，入射角與折射角遵循光的折射定律，即

由于入射光線掠射，入射角i趨近于90°，則折射角r趨近于

當(dāng)水下觀察者逆著折射光線觀察水上景物的時(shí)候，就發(fā)現(xiàn)水上景物的像全部都呈現(xiàn)在一個(gè)倒立的圓錐（以下簡稱視錐）里.

由于水的折射率n為1.333，由（2）式可得，來自水上景物的光以掠射方式入射時(shí)，對(duì)應(yīng)的折射角r約為48.8°，視錐的頂角約為97.6°.

如圖5所示，［2］普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)教科書物理選修3-4中給出了水上景物與其經(jīng)水面折射所成像的插圖.那么，水上景物與其經(jīng)水面折射所成的像是否存在簡單的旋轉(zhuǎn)和縮放關(guān)系呢？

圖5

2.1 探究岸邊直立樹木經(jīng)水面折射所成像的方程

如圖6所示，在第四象限有一個(gè)水池，設(shè)水的折射率為n，水池的寬度為d，觀察者所在位置為點(diǎn)M，深度為h；用線段AD表示直立在岸邊的一棵樹，P點(diǎn)為樹上任意一點(diǎn)；P點(diǎn)發(fā)出兩條光線射向水面，入射點(diǎn)為非常接近的E、E′兩點(diǎn)，兩個(gè)入射點(diǎn)對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)分別為x和x′；兩條光線對(duì)應(yīng)的光路分別為PEM和PE′M′，兩條光線對(duì)應(yīng)的入射角分別為i和i′，對(duì)應(yīng)的折射角分別為r和r′；兩條折射光線的反向延長線相交于像點(diǎn)P′.

圖6 水下觀景光路圖

設(shè)物點(diǎn)P到入射點(diǎn)E的距離為l EP，像點(diǎn)P′到入射點(diǎn)E的距離為l EP′，則由三角函數(shù)的定義可得，入射角i和折射角r的正弦值和余弦值分別為

過入射點(diǎn)E′作EP、EP′的垂線，垂足分別為F和F′，由于E和E′兩點(diǎn)相距非常近，由微元法可得

由（9）、（10）式可得，像點(diǎn)P′到入射點(diǎn)E的距離l EP′為

2.2 探究潛水員深度對(duì)岸邊直立樹木經(jīng)水面折射成像的影響

由（2）式可知，從潛水員的視角看，岸上所有物體的像都呈現(xiàn)在一個(gè)倒立的視錐中，該視錐母線與中軸線的夾角為

當(dāng)潛水員的深度為h時(shí)，視錐與水平面的截面圓的半徑為

2.2.1 潛水員觀看到岸邊直立樹木部分像的條件

在幾何畫板軟件中繪制（22）、（23）式的圖像，可得樹木AD經(jīng)水面折射所成的像如圖7所示.

觀察圖7可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)岸邊直立樹木AD的根部位于截面圓外部的時(shí)候，樹木AD下半部分的像發(fā)生嚴(yán)重畸變，向外扭曲，并向無窮遠(yuǎn)處伸展，視錐的母線為樹木AD下半部分像的漸近線，這部分像嚴(yán)重虛化，難以觀察；樹木AD上半部分的像于實(shí)物相比較高較遠(yuǎn)，基本豎直，易于觀察.

圖7 成部分像的情形

當(dāng)岸邊直立樹木在截面圓外部的時(shí)候，潛水者只能看到岸邊樹木AD經(jīng)水面折射所成的較高較遠(yuǎn)、頂部直立、下部扭曲、底部虛化殘缺的像.

2.2.2 潛水員觀看到岸邊直立樹木完整像的條件

在幾何畫板軟件中繪制（24）、（25）式的圖像，可得樹木AD經(jīng)水面折射所成的像如圖8所示.

觀察圖8可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)岸邊樹木AD的根部位于截面圓內(nèi)部的時(shí)候，樹木AD下半部分的像發(fā)生輕微畸變，向外扭曲；樹木AD上半部分的像基本豎直；岸邊樹木AD成像完整，易于觀察.

圖8 成完整像的情形

當(dāng)岸邊直立樹木在截面圓內(nèi)部的時(shí)候，潛水者可以看到岸邊樹木AD經(jīng)水面折射所成的較高較遠(yuǎn)、整體直立、略有扭曲、成像完整.這結(jié)論與文獻(xiàn)［4］和文獻(xiàn)［5］中給出的“從水中看岸上的景物，看到的景物的像比景物的實(shí)際位置‘又高又遠(yuǎn)’”的定性結(jié)論相一致.

由上述分析可知，圖5中給出的水上景物折射成像圖示與實(shí)際情況并不相符.

3 結(jié)論

從潛水員的視角看，水上景物經(jīng)水面折射所成的像都位于頂角為97.6°的倒立的視錐內(nèi)；視錐與水平面存在截面圓；如果水岸交界處位于截面圓以外，潛水員能看到岸邊直立樹木經(jīng)水面折射所成的像較高較遠(yuǎn)、頂部直立、下部扭曲、底部殘缺；如果水岸交界處位于截面圓內(nèi)，潛水員能看到岸邊直立樹木經(jīng)水面折射所成的像根部重合、較高較遠(yuǎn)、整體直立、略有扭曲，成像完整.

在潛水員的視野中，原本平直的水岸看起來不再平直，原本豎直的樹木看起來也不再豎直，而是發(fā)生了一種有規(guī)律的扭曲，這種景象還與潛水員的位置密切相關(guān)，一旦潛水員的位置發(fā)生改變，看到的景象也隨之改變.景隨人動(dòng)，幻化無窮.