雙層耦合非對(duì)稱反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)中的振蕩圖靈斑圖*

劉雅慧 董夢(mèng)菲 劉富成2)? 田淼 王碩 范偉麗

1) (河北大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院, 保定 071002)

2) (河北大學(xué)生命科學(xué)與綠色發(fā)展研究院, 保定 071002)

1 引 言

自組織斑圖是非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的一個(gè)典型特征, 普遍存在于自然界以及眾多非線性系統(tǒng)中,例如物理、化學(xué)以及生物系統(tǒng)等[1-7].在過去的大半個(gè)世紀(jì)內(nèi), 人們對(duì)斑圖形成機(jī)理的認(rèn)識(shí)有了突飛猛進(jìn)的發(fā)展.眾所周知, 非線性系統(tǒng)中時(shí)空斑圖的形成源于系統(tǒng)的失穩(wěn), 且總是伴隨著相應(yīng)的對(duì)稱性破缺現(xiàn)象, 不同的對(duì)稱性破缺(或者說分岔類型)對(duì)應(yīng)著不同的時(shí)空斑圖類型.其中最為常見的分岔類型有三種: 霍普夫分岔、圖靈分岔以及短波分岔, 產(chǎn)生的斑圖分別為時(shí)序振蕩態(tài)、靜態(tài)圖靈斑圖以及時(shí)空振蕩斑圖[1,4].

近年來, 時(shí)空振蕩斑圖由于其豐富的動(dòng)力學(xué)行為而越來越受到人們的關(guān)注[2,8,9].產(chǎn)生時(shí)空振蕩斑圖的方式有很多, 除了上面提到的短波分岔外, 不同分岔引發(fā)的模式之間的相互作用也可以形成時(shí)間上和空間上均具有周期性的斑圖結(jié)構(gòu).例如當(dāng)系統(tǒng)處于圖靈和霍普夫切空間點(diǎn)時(shí), 就可以形成行波[10]、駐波[11]、振蕩四邊形[12]、振蕩六邊形、螺旋波等[13].

耦合反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)是目前研究不同模式之間相互作用的一種最為常用的方法[14-16].例如,2002年Yang等[17]在研究?jī)蓚€(gè)圖靈模相互作用時(shí)發(fā)現(xiàn), 當(dāng)一個(gè)圖靈長(zhǎng)波模的次諧波處于霍普夫區(qū)域時(shí), 通過次諧波圖靈模與霍普夫模相互作用, 可以形成一種由三套子六邊形相互嵌套的弛豫型振蕩的振蕩六邊形斑圖, 其中三個(gè)子六邊形之間的相位相差 2 π/3.2003年, 該小組還詳細(xì)研究了圖靈和短波模之間的相互作用, 獲得了一種眨眼六邊形斑圖, 同樣, 該斑圖由三套相位相差 2 π/3 的六邊形相互嵌套而成, 但是其振蕩屬于正弦振蕩.除了眨眼六邊形斑圖外, 還獲得了各種相互嵌套的其他類型的時(shí)空振蕩斑圖, 例如螺旋波和同心圓波混合但是呈現(xiàn)六邊形分布的時(shí)空斑圖[18].Anguelov和Stoltz[19]對(duì)比了單層和雙層耦合反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)中圖靈-霍普夫相互作用的區(qū)別, 得到了反六邊形振蕩以及反條紋振蕩斑圖, 并給出了各種時(shí)空斑圖的空間相圖.最近, Li等[20]通過非線性耦合雙層反應(yīng)擴(kuò)散模型, 獲得了振蕩四邊形斑圖.Pal等[21]研究發(fā)現(xiàn)在兩個(gè)耦合反應(yīng)系統(tǒng)中也存在著時(shí)空反共振現(xiàn)象.

然而, 這些研究大多集中于相同反應(yīng)擴(kuò)散模型之間的耦合, 對(duì)于不同模型之間耦合的研究還比較少.在實(shí)際的非線性系統(tǒng)中, 不同系統(tǒng)的局部動(dòng)力學(xué)行為是不同的[22-24].例如, 在生物系統(tǒng)中, 熱帶鯰魚的皮膚結(jié)構(gòu)主要由表層表皮和底層真皮組成.由于不同皮膚層是由不同類型的細(xì)胞構(gòu)成的, 即不同皮膚層的局部動(dòng)力學(xué)行為是不同的[22].在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中, 系統(tǒng)是由具有不同功能的動(dòng)態(tài)單元(例如大腦中的神經(jīng)元或社會(huì)中的個(gè)體)間的耦合相互作用而成[23].介質(zhì)阻擋放電系統(tǒng)也是一種典型的多層耦合斑圖形成系統(tǒng)[24-26].它由放電層和電介質(zhì)層組成, 放電產(chǎn)生的體電荷部分積累到介質(zhì)表面形成表面電荷, 反過來表面電荷也會(huì)直接影響體放電, 兩者相互耦合, 從而可以產(chǎn)生豐富多彩的時(shí)空斑圖, 例如, 四邊形斑圖、六邊形斑圖、超點(diǎn)陣斑圖、螺旋波斑圖等[27-29].研究表明, 氣體放電系統(tǒng)一種特殊的反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng), 可以唯象地用反應(yīng)擴(kuò)散模型來描述[25,26,30].為了進(jìn)一步弄清介質(zhì)阻擋放電系統(tǒng)中各類時(shí)空斑圖形成的機(jī)理, 尤其是體電荷和表面電荷之間的耦合, 最近本小組線性耦合了兩種不同的反應(yīng)擴(kuò)散模型, 獲得了許多與實(shí)驗(yàn)相符合的模擬結(jié)果[31].除此以外, 還發(fā)現(xiàn)了一種新型的振蕩六邊形結(jié)構(gòu), 與以前發(fā)現(xiàn)的振蕩六邊形不同, 該振蕩六邊形是由圖靈模與處于霍普夫區(qū)域的高階模相互作用而成的, 但耦合機(jī)制還不甚清楚[31].為了進(jìn)一步研究其動(dòng)力學(xué)行為以及產(chǎn)生條件, 本文通過線性耦合兩個(gè)不同的反應(yīng)擴(kuò)散模型, 系統(tǒng)研究了超臨界圖靈模、次臨界圖靈模、高階圖靈模以及霍普夫模之間的相互作用, 并分析了它們對(duì)振蕩圖靈斑圖形成機(jī)理和時(shí)空動(dòng)力學(xué)行為的影響.

2 物理模型

線性耦合兩個(gè)不同的反應(yīng)擴(kuò)散模型, 構(gòu)建一個(gè)非對(duì)稱的雙層耦合反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)模型.在無量綱的情況下, 該模型具有以下形式[17]:

其中, ( u1,v1) 和 ( u2,v2) 分別表示第一層和第二層的子反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng), 這里u和v分別為反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)中的活化子濃度和阻塞子濃度, Du和 Dv分別為它們的擴(kuò)散系數(shù), ?2為拉普拉斯算符.α 為兩個(gè)子系統(tǒng)活化子之間的耦合強(qiáng)度, 方程 f (u,v) 和g(u,v)為每層的子反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)的局部動(dòng)力學(xué)方程, 不同的反應(yīng)系統(tǒng)有著不同的具體表達(dá)式.本文選取Brusselator模型和Lengyel-Epstein模型來分別充當(dāng)兩個(gè)子系統(tǒng).在無量綱的情況下, Brusselator模型的局部動(dòng)力學(xué)方程具有下列形式[32]:

其中, 系數(shù)a和b是系統(tǒng)的控制參數(shù).

Lengyel-Epstein模型在無量綱情況下形式如下[33]:

式中, 系數(shù)c和d是系統(tǒng)的控制參數(shù).對(duì)于子系統(tǒng)1和子系統(tǒng)2, 其均勻定態(tài)解分別為(u10,v10)=通過系統(tǒng)的色散關(guān)系可以分析失穩(wěn)模的性質(zhì)以及系統(tǒng)的分岔類型.對(duì)于模型以及數(shù)值算法的詳細(xì)描述可參見文獻(xiàn)[31].

圖1(a)為雙層線性耦合反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)的色散關(guān)系曲線圖, 而圖1(b)和圖1(c)分別給出了單層Brusselator模型和單層Lengyel-Epstein模型的色散關(guān)系圖.可以看出, 雙層耦合系統(tǒng)中存在著兩個(gè)圖靈模式: 一個(gè)為超臨界圖靈模, 其波數(shù)較小(長(zhǎng)波模), 我們稱其為 k1, 相應(yīng)的本征值大小為 h1, 此模式是由第二層子系統(tǒng)Lengyel-Epstein模型所激發(fā)的失穩(wěn)模; 另一個(gè)為次臨界圖靈模, 其波數(shù)較大(短波模), 我們稱其為 k2, 相應(yīng)的本征值大小為 h2,此模式是由第一層子系統(tǒng)Brusselator模型所激發(fā)的穩(wěn)定模.對(duì)于圖靈模, 其波數(shù)大小與系統(tǒng)變量的擴(kuò)散系數(shù)成反比, 而本征值高度則與系統(tǒng)內(nèi)阻塞子和活化子的擴(kuò)散系數(shù)之比正相關(guān), 所以通過調(diào)節(jié)模型中各變量的擴(kuò)散系數(shù), 可以改變兩個(gè)圖靈模的大小和本征值高度.

圖1 雙層線性耦合系統(tǒng)以及單層系統(tǒng)的色散關(guān)系 (a) 雙層線性耦合系統(tǒng); (b) 單層Brusselator模型; (c) 單層Lengyel-Epstein模型.參數(shù)取值為: ( a,b)=(3,9) ,(c,d)=(15,9) , D u1=2.2 , D v1=4.0 , D u2=21.9 ,Dv2=400,α=0.15Fig.1.Dispersion relationship of two-layered linear coupling system and single layer system: (a) Two-layered linear coupling system; (b) single layer Brusselator model; (c) single layer Lengyel-Epstein model.Parameter: ( a,b)=(3,9) ,(c,d)=(15,9), D u1=2.2 , D v1=4.0 , D u2=21.9 ,Dv2=400 , α =0.15.

3 模擬結(jié)果與討論

采用歐拉向前差分的方法進(jìn)行積分, 數(shù)值模擬在一個(gè)含有 1 28×128 個(gè)空間格點(diǎn)的二維平面上進(jìn)行, 取時(shí)間積分步長(zhǎng) Δ t=0.01 個(gè)時(shí)間單位, 取空間積分步長(zhǎng) Δ x=Δy=1.0 個(gè)空間單位, 擴(kuò)散項(xiàng)在數(shù)值計(jì)算中選擇五點(diǎn)差分格式.邊界條件選用周期性邊界條件, 初始條件為均勻定態(tài)加上一個(gè)很小的隨機(jī)擾動(dòng).擴(kuò)散參數(shù) Du和 Dv的乘積決定圖靈模波數(shù)k的大小, 而 Du和 Dv的相對(duì)大小決定圖靈模的本征值高度.本文先確定波數(shù)k的大小, 再通過改變 Du和 Dv的相對(duì)大小來調(diào)節(jié)相應(yīng)的本征值高度.

3.1 同步振蕩六邊形斑圖的基本性質(zhì)

圖2給出了雙層非對(duì)稱耦合反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)在圖1(a)色散關(guān)系下的同步振蕩六邊形斑圖.圖2(a)為該同步振蕩六邊形斑圖的振幅分布圖, 顯然, 振幅呈現(xiàn)六邊形陣列排布, 并且幅值大小跟第二層活化子濃度 u2成反比, 也就是說圖靈模 u2的靜態(tài)效應(yīng)會(huì)抑制 u1的振幅.該振幅六邊形陣列的空間波數(shù)為 k1=0.2 , 由于六邊形陣列中的每一個(gè)斑點(diǎn)的振蕩都是同相位的, 所以圖2(b)給出了六邊形陣列中任意一個(gè)斑點(diǎn)處(圖2(a)中A點(diǎn))活化子 u1隨時(shí)間t的變化圖, 可以看出該同步振蕩六邊形斑圖呈現(xiàn)正弦式的振蕩, 振蕩周期 T =2.37 , 相應(yīng)的圓頻率 ω =2.66.從單層Brusselator模型的色散關(guān)系圖(圖1(b))可知, 圓頻率 ω =2.66 對(duì)應(yīng)的波數(shù)為0.33, 此波數(shù)約為因此我們判斷時(shí)間振蕩來源于模式.在單層Brusselator模型中, 此模式是次臨界模, 原本是穩(wěn)定的, 但是由于受到另一層Lengyel-Epstein系統(tǒng)中 k1模式的驅(qū)動(dòng), 而被激發(fā)出來了.也就是說, 受到Lengyel-Epstein系統(tǒng)中的超臨界圖靈模 k1的激勵(lì), Brusselator系統(tǒng)中同時(shí)激發(fā)了圖靈模 k1和處于霍普夫區(qū)域的高階超臨界圖靈模此兩種模式相互作用形成了同步振蕩六邊形斑圖.

圖2 同步振蕩六邊形斑圖(參數(shù)與圖1相同) (a) 振幅分布; (b) A點(diǎn) u1 的時(shí)間變化關(guān)系圖; (c) 半個(gè)振蕩周期內(nèi)的斑圖演化過程Fig.2.Synchronous oscillatory hexagon pattern: (a) Amplitude distribution; (b) time variation of u1 at position A; (c) evolution of pattern in half an oscillating period.Parameters are the same as those in Fig.1.

圖2 (c)給出了該同步振蕩六邊形斑圖在半個(gè)振蕩周期內(nèi)的時(shí)空演化過程.在 t1=1.48 時(shí)刻, 六邊形亮斑結(jié)構(gòu)中心處濃度最低, 外圍濃度最高, 再向外濃度降低, 從而形成了一種具有圓環(huán)結(jié)構(gòu)的超六邊形斑圖.在 t2=1.78 時(shí)刻, 中心斑點(diǎn)處濃度最高, 從中心向外濃度逐漸降低, 形成了一種超點(diǎn)陣六邊形斑圖.隨著時(shí)間演化, 中心斑點(diǎn)處濃度開始降低, 在 t5=2.38 時(shí)刻, 從中心斑點(diǎn)向外, 濃度先降低再升高, 呈現(xiàn)白眼六邊形斑圖.在 t6=2.75 時(shí)刻, 中心斑點(diǎn)處濃度降至最低, 遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于最外環(huán)濃度, 此時(shí)形成了簡(jiǎn)單的蜂窩狀六邊形斑圖.

3.2 霍普夫模式對(duì)振蕩六邊形斑圖的影響

為了研究霍普夫模式在同步振蕩六邊形斑圖形成過程中所起的作用, 固定其他參數(shù)不變, 通過改變控制參數(shù)b來調(diào)節(jié)霍普夫模本征值的大小.圖3(a)為不同參數(shù)b下的色散關(guān)系曲線圖及其局部放大圖.控制參數(shù)b的改變, 除了可以調(diào)節(jié)霍普夫本征值的大小, 還對(duì)圖靈模 k2和 h2有影響, 對(duì)k1和 h1影響很小.但由于 h2的值非常小, 也就是說圖靈模 k2的作用很微弱, 因此這里主要考慮圖靈模k1與霍普夫之間的相互作用, 后面將詳細(xì)討論圖靈模 k2和 h2對(duì)斑圖的影響.在 8.5＜b＜9.33 范圍內(nèi),霍普夫模本征值的大小隨著參數(shù)b的增大呈現(xiàn)下降趨勢(shì); 在 9.33＜b＜10 范圍內(nèi), 霍普夫模本征值的大小隨著參數(shù)b的增大而增大.圖3(b)為不同參數(shù)b下獲得的時(shí)空斑圖及相應(yīng)的活化子濃度u1隨時(shí)間t的變化圖.當(dāng) b =8.5 時(shí), 系統(tǒng)距離霍普夫分岔點(diǎn)還比較遠(yuǎn), 霍普夫模本征值比較小, 此時(shí)圖靈模 k1及其高階模均處于圖靈區(qū)域內(nèi), 此時(shí)系統(tǒng)產(chǎn)生了靜態(tài)蜂窩狀六邊形斑圖, 如圖3(b1)所示.這與介質(zhì)阻擋放電系統(tǒng)中的靜態(tài)蜂窩狀六邊形斑圖一致[34,35].在 8.86＜b＜9.32 范圍內(nèi), 隨著參數(shù)b的增大, 霍普夫模本征值的大小呈現(xiàn)下降趨勢(shì),但是高階圖靈模進(jìn)入到霍普夫區(qū)域內(nèi), 此時(shí)系統(tǒng)產(chǎn)生了振蕩六邊形斑圖(圖3(b2)和圖3(b3)),這就說明該振蕩六邊形斑圖是由超臨界圖靈模k1與處于霍普夫區(qū)域的高階模相互作用而成的.當(dāng)b ＜ 9.23時(shí), 振蕩六邊形具有單一的振蕩周期T0, 如圖3(b2)所示.此斑圖與介質(zhì)阻擋放電實(shí)驗(yàn)中得到的點(diǎn)環(huán)斑圖相符合[5,28].當(dāng)b ＞ 9.23時(shí), 振蕩六邊形經(jīng)歷倍周期分岔而進(jìn)入雙倍周期振蕩, 即T=2T0, 如圖3(b3)所示.在 9.32＜b＜9.33 這個(gè)很小的范圍內(nèi), 系統(tǒng)處于近似5倍周期振蕩, 但每次振蕩的周期各不相同, 即T=T1+T2+T3+T4+T5≈5T0, 盡管振幅依然呈現(xiàn)六邊形陣列排布, 但是振蕩相位各不相同, 即系統(tǒng)產(chǎn)生的是非同步六邊形斑圖, 如圖3(b4)所示.在參數(shù)9.33＜b＞9.7范圍內(nèi), 霍普夫模本征值的大小隨著參數(shù)b的增大而增大, 霍普夫模式開始被激發(fā).當(dāng)b=9.5時(shí), 非同步斑圖的六邊形空間結(jié)構(gòu)開始破缺, 其振蕩周期呈現(xiàn)為近似三倍周期, 且有T=T1+2T2≈3T0, 如圖3(b5)所示.當(dāng) b ＞9.7 時(shí), 霍普夫模式引起的振蕩起主導(dǎo)作用, 此時(shí)無論是空間上還是時(shí)間上, 都進(jìn)入到混沌狀態(tài)(圖3(b6)).目前人們已經(jīng)在介質(zhì)阻擋放電系統(tǒng)中實(shí)驗(yàn)觀測(cè)到了輝光模式下的倍周期分岔和混沌現(xiàn)象[36,37], 盡管斑圖模式下還未見有實(shí)驗(yàn)報(bào)道, 但是在等離子體流體模擬中獲得了相似的結(jié)果[38].

圖3 參數(shù) b對(duì)時(shí)空斑圖的影響 (a) 不同參數(shù)b下的色散關(guān)系曲線; (b1)靜態(tài)蜂窩狀六邊形斑圖, b =8.5 ; (b2)單倍周期同步振蕩六邊形斑圖, b =9 ; (b3) 2倍周期非同步振蕩六邊形斑圖, b =9.25 ; (b4) 5倍周期非同步振蕩六邊形斑圖, b =9.33 ; (b5) 3倍周期非同步振蕩斑圖, b =9.5 ; (b6)時(shí)空混沌,b=10Fig.3.Influence of parameter bon spatio-temporal patterns: (a) Dispersion curves under different parameters b; (b1) static honeycomb hexagon pattern at b =8.5 ; (b2) single-period synchronous oscillation hexagon pattern at b =9 ; (b3) non-synchronous oscillation hexagon pattern of 2 times the period at b =9.25 ; (b4) non-synchronous oscillation hexagon pattern of 5 times the period at b=9.33 ; (b5) non-synchronous oscillation pattern of 3 times the period at b =9.5 ; (b6) spatio-temporal chaos at b =10.

3.3 圖靈模強(qiáng)度 h2 對(duì)振蕩六邊形斑圖的影響

由前文可知, 振蕩六邊形斑圖是由圖靈模 k1與其高階模相互作用而成.接下來研究Brusselator系統(tǒng)的圖靈模強(qiáng)度 h2對(duì)振蕩六邊形斑圖的影響.分兩種情況來討論: 一是兩個(gè)圖靈模之間滿足空間共振關(guān)系; 二是不滿足空間共振關(guān)系.首先討論不滿足空間共振的情況.以波數(shù)比為1∶5為例, 固定參數(shù) Du2=21.9 , Dv2=400 , 使圖靈模始終保持 k1=0.2 , h1=0.3 , 并且固定耦合強(qiáng)度α=0.15.通過調(diào)節(jié)參數(shù) Du1和 Dv1的大小, 保證圖靈模 k2=1 不變, 而只改變圖靈模強(qiáng)度 h2的大小,探究圖靈模強(qiáng)度 h2對(duì)振蕩六邊形斑圖的影響.圖4給出了不同 h2下的各種時(shí)空斑圖.從圖4(b)可以看出: 在 h2＜-4.8 范圍內(nèi), 形成的是靜態(tài)圖靈斑圖;在 - 4.8＜h2＜-0.74 范圍內(nèi), 形成的是動(dòng)態(tài)斑圖;在 h2＞-0.74 范圍內(nèi), 形成的是靜態(tài)圖靈斑圖.當(dāng)h2=-5.5 時(shí), 本征值高度 h2很低, 系統(tǒng)中的次臨界圖靈模 k2不能被激發(fā)出來, 且此時(shí)高階圖靈模處于圖靈區(qū)域內(nèi), 所以系統(tǒng)形成了靜態(tài)蜂窩狀六邊形斑圖, 如圖4(b1)所示.增大本征值高度h2至—3.44時(shí), 系統(tǒng)中的高階圖靈模處于霍普夫區(qū)域內(nèi), 且其本征值高于次臨界圖靈模的本征值h2, 此時(shí)系統(tǒng)呈現(xiàn)如圖4(b2)所示的同步振蕩六邊形斑圖, 同樣證實(shí)了振蕩六邊形斑圖是由圖靈模k1與其高階模相互作用而成的.繼續(xù)增大本征值高度 h2, 當(dāng) h2=-0.56 時(shí), 次臨界圖靈模的本征模 h2高于高階模盡管高階模也處于霍普夫區(qū)域, 但是系統(tǒng)優(yōu)先選擇 k2, 因此在兩個(gè)圖靈模k1和 k2的相互作用下形成了一種具有兩種空間尺度的靜態(tài)超六邊形斑圖, 該斑圖中每個(gè)晶胞均由四個(gè)相鄰的暗點(diǎn)排列而成, 如圖4(b3)所示.該斑圖與介質(zhì)阻擋放電實(shí)驗(yàn)中觀察到的超六邊形斑圖相類似[39].繼續(xù)升高 h2至—0.21, 與前面所述相同, 系統(tǒng)仍然優(yōu)先選擇 k2, 此時(shí)系統(tǒng)呈現(xiàn)六邊形和條紋混合的靜態(tài)疊加斑圖, 晶胞整體呈現(xiàn)六邊形排列, 其內(nèi)部有兩種結(jié)構(gòu), 一種是六邊形結(jié)構(gòu), 另一種是條紋結(jié)構(gòu), 如圖4(b4)所示.在 0 ＜h2＜0.6 范圍內(nèi), 此時(shí)圖靈模 k2轉(zhuǎn)變?yōu)槭Х€(wěn)模, 因此Brusselator模型的斑圖類型主要由圖靈模 k2決定, 但是依然受到圖靈模 k1的影響, 因此系統(tǒng)中呈現(xiàn)斑點(diǎn)與條紋的靜態(tài)混合斑圖, 如圖4(b5)所示.繼續(xù)增大本征值高度h2, 系統(tǒng)呈現(xiàn)單一波長(zhǎng)的靜態(tài)條紋斑圖, 即系統(tǒng)完全由其自身的本征模 k2所決定, 如圖4(b6)所示.

圖4 非共振時(shí)不同本征值 h 2 下的時(shí)空斑圖 (a) 不同本征值 h 2 下的色散關(guān)系曲線; (b1) 靜態(tài)蜂窩狀六邊形斑圖, h 2=-5.50 ,Du1=5.25 , D v1=6.5 ; (b2) 同步振蕩六邊形斑圖, h 2=-3.44 , D u1=3.62 , D v1=5 ; (b3) 超六邊形斑圖, h 2=-0.56 ,Du1=2.2, D v1=4.6 ; (b4) 疊加斑圖, h 2=-0.21 , D u1=2.1 , D v1=4.8 ; (b5)混合斑圖, h 2=0.26 , D u1=2.03 ,Dv1=5.3 ; (b6) 條紋斑圖, h 2=0.62 , D u1=1.98 ,Dv1=5.8Fig.4.Complex patterns under different eigenvalues h 2 at non-resonance: (a) Dispersion curves under different eigenvalues h 2 ;(b1) static honeycomb hexagon pattern, h 2=-5.50 , D u1=5.25 , D v1=6.5 ; (b2) synchronous oscillation hexagon pattern,h2=-3.44 , D u1=3.62 , D v1=5 ; (b3) super-hexagon pattern, h 2=-0.56 , D u1=2.2 , D v1=4.6 ; (b4) superposition pattern, h 2=-0.21 , D u1=2.1 , D v1=4.8 ; (b5) hybrid pattern, h 2=0.26 , D u1=2.03 , D v1=5.3 ; (b6) stripe pattern,h2=0.62, D u1=1.98 , D v1=5.8.

由此可知, 在非共振條件下, 要想形成振蕩六邊形斑圖, 除了系統(tǒng)中的高階圖靈模處于霍普夫區(qū)域內(nèi)外, 還需滿足Brusselator模型中的次臨界圖靈模 k2對(duì)應(yīng)的本征值高度低于處于霍普夫區(qū)域的高階圖靈模的本征值高度.此外, 在某些參數(shù)條件下, 處于霍普夫區(qū)域模式也可能被激發(fā), 它與基模相互作用可以形成振蕩四邊形斑圖, 但是該振蕩四邊形是不穩(wěn)定的, 最終會(huì)演變?yōu)檎袷幜呅伟邎D.

接下來討論圖靈模滿足空間共振的情況.固定參數(shù) Du2=21.9 , Dv2=400 , 保證圖靈模大小k1=0.2 及其相應(yīng)的本征值高度 h1=0.3 不變, 并且固定耦合強(qiáng)度 α =0.15.通過調(diào)節(jié)參數(shù) Du1和Dv1的大小, 探究圖靈模強(qiáng)度 h2對(duì)振蕩六邊形斑圖的影響.圖5給出了不同 h2下的各種時(shí)空斑圖.當(dāng)h2＜-1.5 時(shí), 本征值高度 h2比較低, 且此時(shí)高階模處于圖靈區(qū)域內(nèi), 因此在超臨界圖靈模k1的調(diào)制下, 系統(tǒng)形成了靜態(tài)蜂窩狀六邊形斑圖(圖5(b1)).增大本征值高度 h2, 在-1.5＜h2＜0范圍內(nèi), 兩個(gè)子系統(tǒng)中均呈現(xiàn)六邊形陣列排布, 對(duì)稱性相同, 滿足空間共振關(guān)系.此時(shí)雖然高階圖靈模被激發(fā), 并高于次臨界圖靈模 k2, 但是由于空間共振作用, 系統(tǒng)依然優(yōu)先選擇 k1和 k2兩個(gè)圖靈模間的相互作用, 因此在系統(tǒng)中呈現(xiàn)靜態(tài)黑眼斑圖, 如圖5(b2)所示.在 h2＞ 0范圍內(nèi), 圖靈模k2為失穩(wěn)模, 此時(shí)系統(tǒng)完全由其自身的本征模 k2決定, 形成了如圖5(b3)所示的具有單一波長(zhǎng)的條紋斑圖, 該條紋斑圖與介質(zhì)阻擋放電系統(tǒng)中觀察到的條紋斑圖相符合[25,28].

圖5 共振時(shí)不同本征值 h 2 下的時(shí)空斑圖 (a) 不同本征值 h 2 下的色散關(guān)系曲線; (b1)靜態(tài)蜂窩狀六邊形斑圖, h 2=-1.7 ,Du1=14.55, D v1=24 ; (b2) 靜態(tài)黑眼斑圖, h 2=-1.1 , D u1=13.6 , D v1=25 ; (b3) 條紋斑圖, h 2=1.0 , D u1=12 ,Dv1=40Fig.5.Spatiotemporal patterns under different eigenvalues h 2 at resonance: (a) Dispersion curves under different eigenvalues h 2 ;(b1) static honeycomb hexagon pattern, h 2=-1.7 , D u1=14.55 , D v1=24 ; (b2) static black eye pattern, h 2=-1.1 ,Du1=13.6, D v1=25 ; (b3) stripe pattern, h 2=1.0 , D u1=12 , D v1=40.

3.4 耦合強(qiáng)度對(duì)振蕩六邊形斑圖的影響

耦合強(qiáng)度也是影響不同模式之間相互作用的一個(gè)重要因素.圖6(a)給出了不同耦合強(qiáng)度下的色散關(guān)系曲線圖及其局部放大圖.可以看出, 霍普夫模本征值的大小隨著耦合強(qiáng)度的增大先減小后增大.圖6(b)給出了不同耦合強(qiáng)度下獲得的相應(yīng)的時(shí)空斑圖.當(dāng)耦合強(qiáng)度 α =0.1 時(shí), 與圖3(b1)的情況類似, 系統(tǒng)距離霍普夫分岔點(diǎn)還比較遠(yuǎn), 霍普夫模本征值比較小, 且高階圖靈模處于圖靈區(qū)域內(nèi), 因此系統(tǒng)形成靜態(tài)蜂窩狀六邊形斑圖, 如圖6(b1)所示.在 0.12＜α＜0.42 范圍內(nèi), 霍普夫模本征值的大小隨著耦合強(qiáng)度的增大呈現(xiàn)下降趨勢(shì), 但是高階圖靈模進(jìn)入到霍普夫區(qū)域內(nèi), 系統(tǒng)產(chǎn)生了振蕩六邊形斑圖(圖6(b2)和圖6(b3)).這再一次證實(shí)了振蕩六邊形斑圖是由圖靈模 k1與其高階模相互作用而成.繼續(xù)增大耦合強(qiáng)度,在 0.42＜ α ＜1 范圍內(nèi), 系統(tǒng)中的 k1由原來的超臨界圖靈模變?yōu)榱舜闻R界圖靈模, 系統(tǒng)呈現(xiàn)均勻態(tài).因此系統(tǒng)要想產(chǎn)生振蕩六邊形斑圖, k1必須是超臨界圖靈模, 且形成六邊形陣列排布.

圖6 不同耦合強(qiáng)度下的時(shí)空斑圖(其他參數(shù)同圖1) (a) 不同耦合強(qiáng)度下的色散關(guān)系曲線圖; (b1)靜態(tài)蜂窩狀六邊形斑圖,α=0.1 ; (b2)同步振蕩六邊形斑圖, α =0.17 ; (b3)非同步振蕩六邊形斑圖, α =0.3 ; (b4)均勻態(tài),α=0.6Fig.6.Spatio-temporal patterns under different coupling intensities at non-resonance: (a) Dispersion relationship curve diagram under different coupling intensities; (b1) static honeycomb hexagon pattern at α =0.1 ; (b2) synchronous oscillation hexagon pattern at α =0.17 ; (b3) non-synchronous oscillation hexagon pattern at α =0.3 ; (b4) uniform state at α =0.6.Other parameters are the same as those in Fig.1.

3.5 振蕩黑眼斑圖

接下來討論兩個(gè)圖靈模 k1, k2以及霍普夫模共同作用下生成的振蕩復(fù)雜斑圖.圖7給出了兩個(gè)圖靈模滿足空間共振時(shí)獲得的振蕩黑眼斑圖.色散關(guān)系如圖7(a)所示.圖7(b)為該振蕩黑眼斑圖的振幅分布圖, 可以看出, 振幅呈現(xiàn)六邊形陣列排布,且振幅中心斑點(diǎn)處的濃度遠(yuǎn)小于外圍濃度.由于該振蕩黑眼斑圖為非同步振蕩, 所以在圖7(c)給出了3個(gè)不同斑點(diǎn)處(分別標(biāo)記為A, B, C )活化子u1隨時(shí)間t的變化圖, 可以看出該振蕩黑眼斑圖呈現(xiàn)正弦型時(shí)間振蕩, 3個(gè)位置處的振蕩周期相同,均為 T =2.84 , 但是相位不相同, A, B, C相位依次延遲, 且3點(diǎn)的振蕩幅度也不相同, A點(diǎn)的振蕩幅度最大.圖7(d)為該振蕩黑眼斑圖的時(shí)空演化過程, 顯然, 在振蕩過程中, 各個(gè)斑點(diǎn)為非同步振蕩,但在整體上呈現(xiàn)六邊形陣列排布.

圖7 振蕩黑眼斑圖( ( a,b)=(3,10.5) , ( c,d)=(15,9) , D u1=15 , D v1=23 , D u2=21.9 , D v2=400 , α =0.45 ) (a) 耦合系統(tǒng)的色散關(guān)系曲線; (b) 振幅分布; (c) 3個(gè)位置處 u1 的時(shí)間變化關(guān)系圖; (d) 斑圖演化過程Fig.7.Oscillatory black-eye pattern ( ( a,b)=(3,10.5) , ( c,d)=(15,9) , D u1=15 , D v1=23 , D u2=21.9 , D v2=400 ,α=0.45 ): (a) Dispersion curve of coupled system; (b) amplitude distribution; (c) time variation of u1 at three positions; (d) evolution of pattern.

該振蕩黑眼斑圖的形成機(jī)理與圖5(b2)的黑眼斑圖有所不同.與圖5(b2)相比, 在這種情況下,系統(tǒng)經(jīng)歷了霍普夫分岔, 激發(fā)了霍普夫模式, 因此該振蕩黑眼斑圖是在超臨界圖靈模 k1、次臨界圖靈模 k2以及霍普夫模的共同作用下形成的.

4 結(jié) 論

通過線性耦合Brusselator模型和Lengyel-Epstein模型, 數(shù)值研究了雙層耦合非對(duì)稱反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)中振蕩圖靈斑圖的動(dòng)力學(xué)行為.模擬結(jié)果表明, 時(shí)空振蕩圖靈斑圖的形成和選擇取決于霍普夫模、圖靈模及其高階模之間的相互作用.Lengyel-Epstein模型中激發(fā)的超臨界圖靈模 k1, 不僅在Brusselator模型中產(chǎn)生了圖靈模 k1, 還激勵(lì)了處于霍普夫區(qū)域的次臨界模在這兩個(gè)模式的相互作用下產(chǎn)生了同步振蕩六邊形斑圖.此振蕩六邊形斑圖形成的條件是Brusselator模型中的次臨界圖靈模 k2的本征值高度低于處于霍普夫區(qū)域的高階圖靈模的本征值高度, 且兩個(gè)圖靈模之間不存在空間共振關(guān)系.隨著控制參數(shù)b的增加,該振蕩六邊形斑圖首先經(jīng)歷倍周期分岔進(jìn)入雙倍振蕩周期, 經(jīng)歷多倍振蕩周期后, 在霍普夫模式的參與下, 最終進(jìn)入時(shí)空混沌態(tài).當(dāng)系統(tǒng)的兩個(gè)圖靈模滿足空間共振時(shí), 系統(tǒng)優(yōu)先選擇空間共振模式,從而產(chǎn)生靜態(tài)超點(diǎn)陣斑圖.霍普夫模和圖靈模共同作用下只能產(chǎn)生非同步振蕩圖靈斑圖, 例如振蕩黑眼斑圖.此外, 耦合強(qiáng)度也是影響振蕩圖靈斑圖的一個(gè)重要因素.耦合強(qiáng)度不僅可以影響斑圖的振幅大小, 還影響空間結(jié)構(gòu)的具體形式, 隨著耦合強(qiáng)度逐漸增大, 系統(tǒng)依次經(jīng)歷了靜態(tài)蜂窩狀六邊形斑圖、同步振蕩六邊形斑圖以及非同步振蕩六邊形斑圖, 最終進(jìn)入均勻狀態(tài).

本文的研究結(jié)果有助于人們進(jìn)一步認(rèn)知各種非線性系統(tǒng)中不同模式之間的相互作用及相應(yīng)的斑圖選擇機(jī)理.