基于新課標(biāo)的中學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)方法探討

趙喆 胡華

摘 要：數(shù)學(xué)建模是指根據(jù)實(shí)際問(wèn)題來(lái)建立數(shù)學(xué)模型，對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解，然后根據(jù)結(jié)果去解決實(shí)際問(wèn)題。將之應(yīng)用于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，可以有效地解決數(shù)學(xué)知識(shí)自身抽象性強(qiáng)、難于理解的問(wèn)題。中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的方法主要有理論分析法、模擬法、函數(shù)擬合法。在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中利用建模方法，可以構(gòu)建具有故事性的數(shù)學(xué)模型、從實(shí)際生活中尋找藍(lán)本來(lái)構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型、立足熱點(diǎn)事件來(lái)構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型、從實(shí)際應(yīng)用出發(fā)來(lái)構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型。

關(guān)鍵詞：新課改;中學(xué)數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)建模

基金項(xiàng)目：2019年寧夏高校一流基層教學(xué)組織 “數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教研室”（項(xiàng)目編號(hào)：nxyljcjxz-1）。

與其他學(xué)科相比，數(shù)學(xué)這門(mén)學(xué)科存在抽象性很強(qiáng)的特點(diǎn)，這就為教師教學(xué)與學(xué)生學(xué)習(xí)帶來(lái)一定的難度，特別體現(xiàn)在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中。為了更好地強(qiáng)化教學(xué)效果，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中引入建模的教學(xué)方法是一種很有意義的嘗試。以下我們對(duì)此進(jìn)行了一些討論，希望能夠?qū)ο嚓P(guān)的工作提供一些有益的參考。

一、數(shù)學(xué)模型與中學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)

關(guān)于數(shù)學(xué)模型，目前還沒(méi)有一個(gè)統(tǒng)一的定義。大致說(shuō)來(lái)，數(shù)學(xué)模型就是運(yùn)用數(shù)理邏輯方法和數(shù)學(xué)語(yǔ)言建構(gòu)的一種模型。具體來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)模型是為了實(shí)現(xiàn)某種特定的目的，用字母、數(shù)字及其他數(shù)學(xué)符號(hào)建立起來(lái)的等式及不等式、圖表、圖像等為外在表現(xiàn)形式的一種描述事物數(shù)理特征及其內(nèi)在結(jié)構(gòu)的較為簡(jiǎn)化、抽象的數(shù)學(xué)表達(dá)方式。

數(shù)學(xué)模型一般來(lái)說(shuō)應(yīng)具有以下特點(diǎn)：能夠真實(shí)、系統(tǒng)、形象地反映特定對(duì)象的數(shù)學(xué)關(guān)系;具有代表性與典型性;具有外推性，在對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行研究時(shí)，能夠還原原型的數(shù)理結(jié)構(gòu)與數(shù)學(xué)信息;能夠?qū)崿F(xiàn)預(yù)定的任務(wù)。

作為對(duì)特定的數(shù)學(xué)關(guān)系的一種表達(dá)形式，數(shù)學(xué)模型具有便于理解的特點(diǎn)，它將數(shù)學(xué)關(guān)系以簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)語(yǔ)言或是直觀可見(jiàn)的圖像、圖表等進(jìn)行表達(dá)，從而讓人更為容易地把握數(shù)學(xué)關(guān)系的實(shí)質(zhì)。這一特點(diǎn)在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中是非常重要的。

簡(jiǎn)單地說(shuō)，通過(guò)建模的方法進(jìn)行中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，不僅可以將原本抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生容易理解的簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)圖示，而且可以有效地避免數(shù)學(xué)知識(shí)距離學(xué)生的日常生活遙遠(yuǎn)這一問(wèn)題，通過(guò)現(xiàn)實(shí)生活中的事例類(lèi)比，讓學(xué)生更好地理解相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)。

中學(xué)數(shù)學(xué)中的建模方法教學(xué)大致遵循“建?！饽！边@樣一個(gè)過(guò)程，即首先建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型，然后引導(dǎo)學(xué)生解決這一模型中提出的問(wèn)題。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生能學(xué)習(xí)并掌握相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)。對(duì)此，可以用圖1來(lái)表示：

在圖1中，我們可以看出，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用建模的教學(xué)方法，其目的是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的高度抽象性進(jìn)行化解，通過(guò)將之與學(xué)生熟悉的日常生活問(wèn)題等領(lǐng)域相聯(lián)系，從而讓學(xué)生更好地理解、掌握這些知識(shí)。

二、中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中建模的常用方法

（一）理論分析法

這是非常常見(jiàn)的一種建模方法。它是運(yùn)用學(xué)生所學(xué)習(xí)過(guò)的公理、定理、推論來(lái)建立合理的數(shù)學(xué)模型，并應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)對(duì)模型的問(wèn)題進(jìn)行解答。由于模型是對(duì)原型真實(shí)、系統(tǒng)的反映，因此可以外推到對(duì)原型問(wèn)題的解答。這一建模方法的特點(diǎn)在于，在解決數(shù)學(xué)模型提出的問(wèn)題時(shí)，應(yīng)用的仍然是數(shù)學(xué)知識(shí)。在一定程度上來(lái)說(shuō)，這是通過(guò)對(duì)原始問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)化來(lái)構(gòu)建一個(gè)新的數(shù)學(xué)模型，并從數(shù)學(xué)層面來(lái)對(duì)這個(gè)模型進(jìn)行求解的過(guò)程。

（二）模擬法

這是在現(xiàn)實(shí)中對(duì)模擬的數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行反復(fù)實(shí)驗(yàn)，以此來(lái)求解的一種方法。其核心環(huán)節(jié)在于所構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型的結(jié)構(gòu)與性質(zhì)應(yīng)該與原始數(shù)學(xué)問(wèn)題的結(jié)構(gòu)、性質(zhì)一致，也就是我們?cè)谇拔闹兴f(shuō)的數(shù)學(xué)模型應(yīng)真實(shí)、系統(tǒng)地反映原本的數(shù)學(xué)問(wèn)題。只有這樣，才能在解決模型中的問(wèn)題后將之外推到原始的數(shù)學(xué)問(wèn)題上來(lái)。在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐中，報(bào)童賣(mài)報(bào)問(wèn)題是應(yīng)用模擬法的一個(gè)典型問(wèn)題。在此，我們就是通過(guò)建立基本數(shù)學(xué)關(guān)系后進(jìn)行反復(fù)實(shí)驗(yàn)，從而確定最優(yōu)解的范圍的。

（三）函數(shù)擬合法

這種方法是通過(guò)在直角坐標(biāo)系上確定各數(shù)值的位置來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。首先，將已知的各項(xiàng)數(shù)據(jù)在坐標(biāo)系上標(biāo)出;然后通過(guò)繪制曲線(xiàn)，將這些代表已知數(shù)據(jù)的點(diǎn)連接起來(lái);接下來(lái)再根據(jù)繪制出的曲線(xiàn)，求解出圖像的函數(shù)關(guān)系式。這類(lèi)建模方法在解決人口增長(zhǎng)等現(xiàn)實(shí)問(wèn)題時(shí)經(jīng)?？梢杂玫?。

關(guān)于數(shù)學(xué)建模的方法還有一些，不過(guò)由于其涉及中學(xué)以外的高等數(shù)學(xué)知識(shí)，因此很難在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中進(jìn)行應(yīng)用，我們?cè)谶@里也就不再介紹了。

三、中學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的方式

（一）構(gòu)建具有故事性的數(shù)學(xué)模型

由于數(shù)學(xué)知識(shí)具有很強(qiáng)的理論性、抽象性，且與現(xiàn)實(shí)生活之間相距較遠(yuǎn)，因此很多學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)缺乏主動(dòng)學(xué)習(xí)的興趣。要想強(qiáng)化數(shù)學(xué)教學(xué)的效果，讓學(xué)生更好地掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，這種現(xiàn)狀必須改變。對(duì)此，可以采用將教材中涉及的純理論數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)變成具有實(shí)際背景的數(shù)學(xué)模型問(wèn)題的方法來(lái)解決。也就是說(shuō)，通過(guò)構(gòu)建具有實(shí)際背景的數(shù)學(xué)模型，來(lái)化解數(shù)學(xué)知識(shí)原本的高度抽象性特點(diǎn)。

如在關(guān)于等比數(shù)列求和公式的教學(xué)中，我們就可以利用古印度那個(gè)在國(guó)際象棋棋盤(pán)上以每一格的數(shù)量是前一格的二倍的規(guī)則擺放谷粒的故事。由于該故事具有真實(shí)的背景和很強(qiáng)的故事性，因此可以讓學(xué)生對(duì)如何計(jì)算等比數(shù)列的和這個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)產(chǎn)生興趣。

與等比數(shù)列求和公式相比，在國(guó)際象棋棋盤(pán)上擺放谷粒只是應(yīng)用這個(gè)公式的一個(gè)具體的實(shí)例。但由于這個(gè)實(shí)例可以有效地化解數(shù)學(xué)公式自身所具有的高度抽象性特點(diǎn)，因此這種教學(xué)方式可以很好地吸引學(xué)生的課堂注意力。

（二）從實(shí)際生活中尋找藍(lán)本構(gòu)建數(shù)學(xué)模型

在建立基于日常生活的數(shù)學(xué)模型時(shí)，要注意保證數(shù)學(xué)模型能夠真實(shí)、完整地反映具體的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)。模型問(wèn)題與數(shù)學(xué)問(wèn)題之間的差別主要在于二者的不同表述，而其實(shí)際性質(zhì)與結(jié)構(gòu)則是一致的。需要注意的是，這類(lèi)數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)要盡可能地貼近學(xué)生的日常生活，選擇他們?cè)谌粘Ｉ钪兴芙佑|到的事例來(lái)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，這也是以日常生活為模本的數(shù)學(xué)建模教學(xué)與傳統(tǒng)的應(yīng)用題解答之間的區(qū)別。我們的數(shù)學(xué)教學(xué)體系中一直有應(yīng)用題這樣一類(lèi)取材于實(shí)際生活的題目，但是很多應(yīng)用題是以工業(yè)生產(chǎn)等距離學(xué)生日常生活較遠(yuǎn)的事例為取材對(duì)象。雖然這類(lèi)題目可以有效地化解數(shù)學(xué)知識(shí)的抽象性，但是很多應(yīng)用題所涉及的生產(chǎn)、銷(xiāo)售過(guò)程等內(nèi)容學(xué)生并不了解。因而當(dāng)我們進(jìn)行與實(shí)際生活相聯(lián)系的數(shù)學(xué)建模教學(xué)時(shí)，要有意識(shí)地選取那些學(xué)生在平時(shí)生活中可以見(jiàn)到或至少能夠接觸到的事例來(lái)建模。

四、結(jié)語(yǔ)

以上我們對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的含義、方法、方式進(jìn)行了一些討論。由于數(shù)學(xué)學(xué)科自身具有抽象性、理論性強(qiáng)的特點(diǎn)，因此采用建模的方法來(lái)進(jìn)行教學(xué)對(duì)于學(xué)生更好地理解、掌握這些知識(shí)具有很重要的意義。這樣可以有效地將復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識(shí)具體化，使之與學(xué)生所熟悉的內(nèi)容相結(jié)合，從而避免了學(xué)生因數(shù)學(xué)知識(shí)枯燥、難以理解而不愿學(xué)習(xí)的狀況發(fā)生。同時(shí)，這樣也可以更好地將理論與實(shí)際結(jié)合起來(lái)，引導(dǎo)學(xué)生面向社會(huì)、面向未來(lái)。

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