探究初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中逆向思維的應(yīng)用

摘 要：逆向思維是一種與正向思維相反的思考方式，將逆向思維應(yīng)用于數(shù)學(xué)解題過程中能夠讓學(xué)生突破固定的思維模式。善于使用逆向思維不僅能夠使解題變得更加快速、便捷，還能夠提高學(xué)生的創(chuàng)造力和創(chuàng)新能力。如何在解題教學(xué)中巧妙融入逆向思維是教師需要思考并不斷探索的問題，文章就在初中數(shù)學(xué)的解題教學(xué)中應(yīng)用逆向思維的具體方式進(jìn)行討論。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué);解題教學(xué);逆向思維

中圖分類號：G633.6?文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A?文章編號：2095-624X（2021）09-0023-02

引 言

逆向思維在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用廣泛，不僅可以應(yīng)用于代數(shù)、幾何等不同類型的題目，還可以應(yīng)用于解題的不同步驟，逆向思維的思考角度和方式均與正向思維相反，學(xué)會摒棄正向思考的思維定式，秉持嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S邏輯是培養(yǎng)逆向思維的重要前提。教師需要在日常的解題教學(xué)中逐漸引導(dǎo)學(xué)生脫離思維定式，用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S進(jìn)行反向思考，鍛煉學(xué)生將逆向思維應(yīng)用于解題的不同步驟。

一、逆向分析，探索數(shù)學(xué)解題思路

分析題目內(nèi)容是解題的決定性步驟，只有進(jìn)行條理清楚的分析和思考，才能在復(fù)雜的題目中明晰解題思路，面對復(fù)雜的題目描述，學(xué)生往往不能順利地掌握解題思路。針對這種情況，教師需要在課堂中向?qū)W生介紹逆向解題的概念，逐漸培養(yǎng)學(xué)生逆向思考的習(xí)慣。逆向思維是創(chuàng)新型人才的必備素質(zhì)。數(shù)學(xué)是思維之花，數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)就是培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維，教給學(xué)生思考的方法。逆向思維在數(shù)學(xué)教學(xué)的應(yīng)用有利于學(xué)生加強對基礎(chǔ)知識的掌握程度，有利于學(xué)生構(gòu)建完整的數(shù)學(xué)知識體系。

例如，掌握數(shù)學(xué)定義與公式是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。但是，教師進(jìn)行新課教學(xué)時，只是用一些正面例子介紹數(shù)學(xué)概念與推理公式，這會限制學(xué)生思維，導(dǎo)致學(xué)生思維固化。在教師順向思維的影響下，學(xué)生只會順向考慮而不習(xí)慣反向思考，遇到稍微難的題目就做不來，這也是為什么學(xué)生常常在數(shù)學(xué)課上一聽就會，一做題就不會。教師需要深入研讀數(shù)學(xué)概念與公式，講解的時候從正面與反面進(jìn)行分析，讓學(xué)生明白靈活運用定理與公式才是解決數(shù)學(xué)題的關(guān)鍵。教師可以在習(xí)題講解的過程中，選擇典型例題為學(xué)生進(jìn)行逆向分析的演示，以此逐漸培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維。以八年級上冊的內(nèi)容為例，教師可以用“一次函數(shù)解決實際問題”的相關(guān)習(xí)題來舉例，教材115頁的“問題一”便是一道很好的例題，教師在講解這道例題時，可以采取以下思路。首先從問題出發(fā)，題目中第二問是“工廠每天生產(chǎn)多少件產(chǎn)品時有贏利”，關(guān)鍵詞為“贏利”。其次，分析關(guān)鍵詞。贏利即收入減去成本，學(xué)生需繼續(xù)分析收入、成本與生產(chǎn)數(shù)量的關(guān)系，根據(jù)題意，收入與成本均與生產(chǎn)數(shù)量有函數(shù)關(guān)系。最后，學(xué)生只需寫出函數(shù)關(guān)系便可得出答案。在解決這類問題時，學(xué)生常常因贏利、成本等概念，難以形成清晰的解題思路，此時，學(xué)生可以利用逆向思維，從待解決的問題出發(fā)，反向分析，在分析中尋找關(guān)鍵信息，逐漸厘清解題思路。

二、逆向證明，形成解題一般模式

逆向證明即反證法，是一種以逆向思維為基礎(chǔ)進(jìn)行證明的方式。面對證明題，學(xué)生往往因記錯或用錯原理、沒有思路而止步，此時，反證法不失為一種選擇。利用逆向思維將證明結(jié)果進(jìn)行假設(shè)，再根據(jù)假設(shè)進(jìn)行推理，若推理符合事實則假設(shè)成立，反之亦然。當(dāng)學(xué)生對證明題手足無措時可利用反證法輕松得出結(jié)論，教師可以在課堂中選擇例題進(jìn)行講解，培養(yǎng)學(xué)生逆向證明的意識。

例如，在進(jìn)行八年級下冊內(nèi)容的講解時，教師可以選擇例題向?qū)W生引入反證法的解題方式，學(xué)生在之前的學(xué)習(xí)中初步認(rèn)識了概率，但他們對隨機事件和確定事件的判斷仍存在困難。以教材中的例題為例，判斷“沒有水分，種子發(fā)芽”是隨機事件、必然事件還是不可能事件，學(xué)生在進(jìn)行判斷時，通常會將生活經(jīng)驗作為依據(jù)判斷，然而在判斷時不乏學(xué)生將偶然情況作為依據(jù)而猶豫不決或判斷錯誤。針對這種情況，教師需要向?qū)W生示范以反證法為輔佐幫助判斷事件，提高正確率，教師可以按照以下思路為學(xué)生講解。首先，選定一種事件作為假設(shè)，比如假設(shè)此事件為必然事件。其次，以此為條件進(jìn)行推理，顯而易見，沒有水分，種子仍然可以發(fā)芽是不符合事實的。最后，得出結(jié)論，該事件為必然事件的假設(shè)不成立，所以可以排除這種可能。依此類推，直至得出結(jié)論。除此以外，反證法還可以應(yīng)用于代數(shù)證明、平面幾何證明等證明題，教師引導(dǎo)學(xué)生使用反證法輔助解題，既可以為學(xué)生提供有效的解題方法，提高解題的正確率，又可以提高學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。

三、逆向驗證，提高學(xué)生解題速度

逆向思維能力可以讓學(xué)生突破順向思維，從問題的結(jié)果或者對立面分析，有利于學(xué)生多視角看待問題，拓寬解題思路，活躍學(xué)生思維，培養(yǎng)學(xué)生敏捷性思維，從而提高學(xué)生解題速度和正確率。其中，逆向驗證也是逆向思維應(yīng)用于解題的常用方法，不僅能夠提高解題速度，還能夠幫助學(xué)生進(jìn)行檢查，提高答題正確率。教師需在講解習(xí)題的過程中向?qū)W生進(jìn)行使用逆向思維驗證的訓(xùn)練，幫助學(xué)生熟練掌握方法，提高解題能力。

例如，在九年級上冊的教學(xué)內(nèi)容中，“一元二次方程”是學(xué)生極易出錯的板塊，教師可以在進(jìn)行該部分習(xí)題講解時讓學(xué)生使用逆向思維驗證習(xí)題答案，幫助學(xué)生避免低級錯誤。一元二次方程的解通常不止一個，然而當(dāng)一元二次方程應(yīng)用于實際問題時需要學(xué)生對方程的解進(jìn)行取舍，教師需在課堂講解時通過例題向?qū)W生說明驗證的重要性。以教材25頁的例題為例，該方程有“0.2”和“-2.2”兩個解，而該題目中的“x”為利潤增長率，不可能為負(fù)值，所以學(xué)生需要舍去“-2.2”的解，為避免學(xué)生忘記舍去不合理的方程解，教師需告知學(xué)生將最終答案代入題目中進(jìn)行檢驗，思考是否符合事實。試題的形式多種多樣，關(guān)于“一元二次方程”的單項選擇題也是學(xué)生出錯的高發(fā)地。選擇題的混淆選項較多加之學(xué)生粗心大意，是造成學(xué)生出錯的“元兇”。針對此類題目，教師更需向?qū)W生說明利用逆向思維對選項進(jìn)行檢查的必要性。教師培養(yǎng)學(xué)生利用逆向思維對題目結(jié)果進(jìn)行檢驗，能夠幫助學(xué)生養(yǎng)成及時檢查的良好做題習(xí)慣，同時還能大大降低學(xué)生的出錯率。

四、習(xí)題訓(xùn)練，培養(yǎng)逆向分析能力

所謂的逆向思維，就是從命題相反的、對立的方向進(jìn)行分析的方法。因為有的時候已知條件太少，正向分析無法得出有用的結(jié)論，而通過相反的角度思考問題往往能夠得出答案。在初中生數(shù)學(xué)考試中，逆向思維的應(yīng)用是廣泛的，例如，公式逆用、排除法、反證法等。雖然逆向思維在數(shù)學(xué)解題中的作用很大，但是參加單招考試的初中生可能無法很快掌握逆向思維的應(yīng)用方法。因此，教育者應(yīng)該在日常教學(xué)工作中培養(yǎng)學(xué)生的逆向分析能力，以此提高學(xué)生綜合素養(yǎng)。在初中解題教學(xué)運用逆向思維，可以讓數(shù)學(xué)學(xué)困生加強對基礎(chǔ)知識的學(xué)習(xí)，建立對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心;也可以讓數(shù)學(xué)優(yōu)秀生開闊視野，有利于學(xué)生發(fā)展。

教師可以通過讓學(xué)生大量練習(xí)來提高對逆向思維的熟練運用程度。如搜集一些能夠用到逆向思維的題目交給學(xué)生練習(xí)來培養(yǎng)學(xué)生的逆向解題能力。但是需要注意的是，練習(xí)不能變成題海戰(zhàn)術(shù)，如果一味地要求學(xué)生做題而不講究方法的話，學(xué)生就會變成刷題的機器人，練習(xí)也將變得毫無意義。除了練習(xí)做題，在學(xué)習(xí)知識點時，教師還可以通過讓學(xué)生對定理公式舉反例的方法來培養(yǎng)學(xué)生的逆向分析能力。例如，對于數(shù)學(xué)的極值點和最值點：極值點不一定是最值點，但是最值點一定是極值點。教師可以讓學(xué)生舉出極值點不是最值點但是最值點都是極值點的例子來培養(yǎng)學(xué)生的逆向分析能力。

五、借助專項練習(xí)，使學(xué)生掌握逆向思維能力

結(jié) 語

逆向思維與正向思維恰恰相反，使用逆向思維能夠轉(zhuǎn)換思考角度，發(fā)散思維，將逆向思維應(yīng)用于解題的不同階段，可以使其發(fā)揮不同作用。教師需引導(dǎo)學(xué)生在解題的分析階段、推理階段、檢驗階段應(yīng)用逆向思維，進(jìn)而幫助學(xué)生明晰解題思路、輕松完成證明、校正結(jié)果，讓學(xué)生在逆向思考中解決問題，創(chuàng)新解題方法。

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作者簡介：戚嘉偉（1992— ），男，江蘇蘇州人，中小學(xué)二級教師，數(shù)學(xué)教師，研究方向：數(shù)學(xué)教育。