蘇紅磊 雍耀維 王婷 馬維

【摘? 要】依據(jù)A級曲面的幾何連續(xù)條件，論文從控制點(diǎn)入手對曲面拼接的連續(xù)性進(jìn)行分析。對于大曲率半徑的簡單曲面拼接，曲面分段的方法可以有效地提高曲面連續(xù)性調(diào)整效率和質(zhì)量;對于復(fù)雜的小曲率半徑多面拼接，從特征線入手，創(chuàng)建基礎(chǔ)曲面，與相交的過渡面倒圓角，再合理地劃分曲面片，確保曲面擬合精度和曲率連續(xù)過渡。經(jīng)過實(shí)際應(yīng)用表明，合理地設(shè)置控制點(diǎn)，從特征線開始構(gòu)面，再以圓角面為基礎(chǔ)進(jìn)行曲面拼接，有效地提高了曲面光順效率和質(zhì)量，可以得到良好的品質(zhì)。

【Abstract】According to the geometrical continuity condition of class A surface， this paper analyzes the continuity of surface stitching from the control points. For simple surface stitching with large radius of curvature， the segmented method can effectively improve the efficiency and quality of surface continuity adjustment. For complex multi-surface stitching with small radius of curvature， the basic surface was created from the feature line， and the intersecting transition surface was filled-off， and then the surface pieces were divided reasonably to ensure the fitting accuracy and continuous transition of curvature. The practical application shows that the reasonable setting of control points， starting from the feature line， and then using the rounded surface as the basis for surface stitching， can effectively improve the surface smoothing efficiency and quality， and can get good quality.

【關(guān)鍵詞】曲面分段;控制點(diǎn);圓角面

【Keywords】surface segmentation; control point; fillet face

【中圖分類號】U463.82? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?【文章編號】1673-1069（2021）09-0177-05

1 引言

汽車曲面品質(zhì)是影響汽車外觀設(shè)計(jì)以及汽車性能的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。車身的A級曲面，是指汽車車身外表面中的高可見區(qū)域，包括發(fā)動(dòng)機(jī)引擎罩、車門、后背門、頂蓋、前后翼子板、前后保險(xiǎn)杠等。在A級曲面重構(gòu)過程中，如何構(gòu)建曲率連續(xù)的拼接曲面是難點(diǎn)。目前，對A級曲面的研究主要從精度和光順2個(gè)方面進(jìn)行。陳廉清等人（2006）提出自由曲面的控制點(diǎn)數(shù)量對曲面重構(gòu)精度有很大影響，控制頂點(diǎn)的增加，控制網(wǎng)格相應(yīng)增加，曲面擬合精度提高，沒有結(jié)合光順性?？琢畹碌热耍?020）采用NURBS插入節(jié)點(diǎn)技術(shù)作為實(shí)現(xiàn)曲面細(xì)分建模，解決了建模中曲面裁剪與拼接的問題，數(shù)值計(jì)算穩(wěn)定，算法簡單，并可部分細(xì)分，但更適合于CG動(dòng)畫和雕刻曲面的設(shè)計(jì)。王鵬等人（2019）針對汽車車身拼接曲面光順方法進(jìn)行研究，提出不同曲率半徑拼接曲面的光順方法，在建模過程中，對曲面階數(shù)的選取進(jìn)行概括性總結(jié)，沒有進(jìn)行深入分析。

本文以Bezier曲面為研究對象，針對現(xiàn)有研究情況，從曲面階次和控制點(diǎn)的角度，對其合理性進(jìn)行理論分析，為構(gòu)建曲率連續(xù)的拼接曲面奠定基礎(chǔ)。同時(shí)從雙面拼接和多面拼接的三面圓角、漸消角以及翼子板入手，從光順實(shí)踐的方向給出了更具操作性的方法。

2 曲面連續(xù)幾何條件

2.1 Bezier曲線

Bezier曲線由端點(diǎn)和控制頂點(diǎn)組成，通過修改點(diǎn)的坐標(biāo)可以改變曲線的形狀，使用Bernstein多項(xiàng)式來表示：

其中，Bi，n（u）=ui（1-u）n-i是Bernstein多項(xiàng)式，是構(gòu)成Bezier曲線的基本函數(shù);Pi（i=0，1，…，n）構(gòu)成了曲線的特征多邊形，為曲線控制多邊形的n+1個(gè)控制頂點(diǎn)。n表示的是曲線的階數(shù)。增加了一個(gè)控制頂點(diǎn)后，定義同一條曲線的新控制點(diǎn)為Pi（i=0，1，…，n+1），則在保持曲線形態(tài)不變的情況下，可以增加控制點(diǎn)提高曲面階次，升階公式為：

曲線升階后，增加控制頂點(diǎn)調(diào)整曲線，2個(gè)端點(diǎn)位置不變，因此，靈活度更強(qiáng)。應(yīng)用升階的方法，可以把曲線的階次提高，升階后的特征多邊形更靠近曲線，當(dāng)n較大時(shí)，特征多邊形對曲線控制減弱，因此過高的階數(shù)只能造成計(jì)算的難度，一般不高于8階。

2.2 曲面連續(xù)性

一般情況，在A級曲面光順實(shí)踐中，為了便于曲面調(diào)整，更好地實(shí)現(xiàn)連續(xù)要求，拼接邊界處相鄰曲面在拼接方向上，每個(gè)曲面控制頂點(diǎn)都有相同的數(shù)量，曲面的連續(xù)性就歸結(jié)為曲線的連續(xù)性，可以通過曲率來體現(xiàn)。如圖1所示，同一線條用Bezier和NURBS來表示，其曲率梳發(fā)生變化，Bezier曲線整體性和全局性較好，曲率梳變化較為平緩、波動(dòng)小、品質(zhì)較高，所以在A級曲面中使用Bezier曲線和Bezier曲面片。

設(shè)2條Bezier曲線L1和L2，2條相切曲線端點(diǎn)處曲率半徑大小相等，密切面重合，曲率梳輪廓線有折角，首末端相拼接達(dá)到G2連續(xù)。曲線L1和L2的控制點(diǎn)列為Pi（i=0，1，…，n）和Qj（j=0，1，…，m），先要滿足G0連續(xù)，即控制點(diǎn)重合Pn=Q0;同時(shí)，滿足G1連續(xù)，曲線L1末端2個(gè)控制點(diǎn)Pn-1、Pn與曲線L2首端2個(gè)控制點(diǎn)Q0、Q1共線，Pn-1、Pn=Q0、Q1順序排列，即Pn-1-Pn=k（Q0-Q1），且有公共曲率，副法線向量相同：

式中，？駐Pn-2=？駐Pn-1-Pn-2、？駐Pn-1=Pn-Pn-1、？駐Q0=？駐Q1-Q0、？駐Q1=Q2-Q1為控制點(diǎn)的差分矢量，則Pn-2、Pn-1、Pn=Q0、Q1、Q2六點(diǎn)有公共密切面，Pn-2、Q2在其余頂點(diǎn)的公切線同側(cè)。從控制點(diǎn)角度來看，拼接處曲率是由Pn=Q0處左右相鄰3個(gè)控制點(diǎn)來決定的，即連接處曲率受左右共6個(gè)點(diǎn)影響，在Q0和Q1連線方向上移動(dòng)Q2，端點(diǎn)曲率不變，只影響內(nèi)部曲率分布。因此，G0兩點(diǎn)重合，G1四點(diǎn)共線、G2六點(diǎn)共線、G3八點(diǎn)共線，調(diào)整曲面時(shí)，一般采用從低階開始逐步增大，不超過8階。

3 曲面拼接

產(chǎn)品外形一般比較復(fù)雜，要根據(jù)形體特征分割為多個(gè)面，曲率變化大的地方要用較多曲面表達(dá)，曲率變化小的地方應(yīng)該盡量避免分割。為使數(shù)據(jù)滿足外觀和設(shè)計(jì)要求，曲面間需要達(dá)到必要的拼接連續(xù)性要求。曲面類零件按設(shè)計(jì)等級的不同。通常劃分為4種連續(xù)等級，分別為：G0（位置連續(xù)）、G1（切線連續(xù)）、G2（曲率連續(xù)）、G3（曲率變化率連續(xù)）。拼接公共邊界處的位置連續(xù)誤差δG0≤0.002 mm，相切連續(xù)誤差δG1≤0.02°，曲率連續(xù)誤差δG2≤0.2mm-1。在曲面光順中，控制頂點(diǎn)的排列對曲面拼接的質(zhì)量和效率有極大影響。

3.1 簡單曲面拼接

對于大曲率半徑的拼接曲面，曲面相對比較平坦，如圖3a所示。2個(gè)曲面片連接處有縫隙，要實(shí)現(xiàn)2個(gè)曲面曲率連續(xù)，就要保證有公共的邊界，首先滿足位置連續(xù)，再實(shí)現(xiàn)相切連續(xù)，并在公共主曲率下曲率主方向保持一致?？刂泣c(diǎn)分布要均勻，曲率大的區(qū)域曲面控制頂點(diǎn)密集一些，曲率小的區(qū)域曲面控制頂點(diǎn)稀疏一些。從前面的分析得出，曲面階數(shù)，過大不利于光順，因而從4階開始，最終不大于8即可，控制點(diǎn)排列要整齊。公共邊界處，控制點(diǎn)部分不重合，逐一調(diào)整控制點(diǎn)會(huì)帶來較大波動(dòng)，所以先整排再單個(gè)，縮小連接縫隙，再重點(diǎn)調(diào)整圈中突變較為明顯的控制點(diǎn)，調(diào)整完成，進(jìn)行2個(gè)曲面片的匹配，公共邊線實(shí)現(xiàn)重合如圖3b。

從控制點(diǎn)來看，有突變，影響曲面間的曲率連續(xù)，觀察曲率梳（見圖4），曲率梳輪廓線基本重合，高度不一致，達(dá)到G0、G1連續(xù)，G2不連續(xù)，從圖5b位置關(guān)系詳細(xì)數(shù)據(jù)中，可以看出數(shù)值在0.160～0.573，與曲率梳判斷情況保持一致。

采用增加曲面分段數(shù)的方法可以有效地改善曲面片的連續(xù)拼接情況，如圖6所示，在不理想的區(qū)域增加分段邊界，將左邊曲面內(nèi)部分割成為2部分，曲面階數(shù)在U方向從以前的4增加到了6，再進(jìn)行第二次匹配，控制點(diǎn)排列均勻很多，通過圖5c曲面片2次匹配位置關(guān)系數(shù)據(jù)可以看出，G0、G1、G2、G3連續(xù)數(shù)據(jù)都有改善，效果較為明顯。

結(jié)合曲面曲率梳斷面，對控制點(diǎn)進(jìn)行調(diào)整，具體看曲率輪廓線重合情況，并不能直接調(diào)整最靠近公共位置的控制點(diǎn)。先將紅色曲率輪廓線調(diào)整重合，再沿著曲線切線方向微量調(diào)整，移動(dòng)方向曲率增加，反之減小。反復(fù)多次調(diào)整，匹配最終完成如圖7所示，從曲率梳過渡順暢，輪廓線不存在折角，曲率連續(xù)，效果較好。

3.2 復(fù)雜曲面拼接

3.2.1 三面倒圓角

倒圓角在建模過程中是比較常用的一種方式，在G2連續(xù)的要求下，倒圓角也就變得比較復(fù)雜，尤其三面倒圓角，同樣轉(zhuǎn)化成為多面拼接的一種情況。如圖8所示，S1、S2和S3為基礎(chǔ)面，過渡面屬于小曲率半徑，所以在保證基礎(chǔ)大面的貼合精度后，分別進(jìn)行面圓角過渡，再構(gòu)造過渡面輪廓特征線，輪廓線的精度直接影響最后曲面拼接精度。觀察光照斑馬線分析如圖9所示，曲面拼接邊界處P1、P2、P3、P4斑馬線錯(cuò)開不連續(xù)，面與面之間只是邊界重合，只達(dá)到了位置連續(xù)，需要對過渡面進(jìn)行進(jìn)一步調(diào)整。

檢查過渡面拼接處位置連續(xù)誤差如表1所示，不滿足G0拼接連續(xù)精度要求。重新提取過渡圓角曲面拼接處的輪廓特征線，調(diào)整曲率梳，進(jìn)行光順處理，線、面剪裁，再根據(jù)邊界輪廓生成曲面。調(diào)整過渡面的控制點(diǎn)由UV方向的5×4改為6×6，微調(diào)控制點(diǎn)，保證其排列整齊、順暢，規(guī)律沒有突點(diǎn)，最終完成如圖10所示，斑馬線過渡流暢、自然，滿足G2的拼接連續(xù)精度要求。

3.2.2 漸消角

特征消失是一種常見的增加工業(yè)產(chǎn)品外表面動(dòng)感的設(shè)計(jì)方式，應(yīng)用廣泛。在曲面重構(gòu)過程中，也作為比較復(fù)雜的多面拼接形式進(jìn)行處理。曲面重構(gòu)時(shí)需要根據(jù)點(diǎn)云形狀進(jìn)行合理的曲面劃分（見圖11），在斷面線上選取合適的點(diǎn)，將數(shù)據(jù)點(diǎn)通過插值或逼近擬合成曲線，構(gòu)建特征線，再由線到面。

由特征線構(gòu)建出基礎(chǔ)面B1、B2和B3，再分別進(jìn)行倒圓角處理，完成漸消角。B2和B3倒圓角得到圓角面A5，再根據(jù)四邊輪廓線構(gòu)建曲面片A4。通過曲率梳檢查，拼接處曲率梳錯(cuò)位沒有重合，表明公共點(diǎn)沒有重合，如圖12所示。需要重新對特征線進(jìn)行修改，保持A4下邊線端點(diǎn)的位置和切矢量關(guān)系，光順后，投影至B2并剪裁，重新構(gòu)建A4曲面。檢查拼接邊界處連續(xù)性精度：δG0 = 0.001mm，δG1 = 0.0124°，δG2 = 0.0034 mm-1，滿足光順精度要求。

最后對B1和B3之間進(jìn)行倒圓角，得到A2和A3。對于A1、A2和A3，先調(diào)整好A2面，再完成左右相鄰面的拼接。在進(jìn)行調(diào)整時(shí)，UV方向階數(shù)由4×4開始增加到6×6?？刂泣c(diǎn)排列整齊，符合曲面造型趨勢，并且與相鄰面的控制點(diǎn)盡量保持一致，便于邊界處連續(xù)處理。UV方向階數(shù)一般不大于8×8，如圖13所示控制點(diǎn)為10×6，中間區(qū)域點(diǎn)異常凸起，曲面明顯起包，但是邊界處控制點(diǎn)影響很小。因此，階次增高雖然能增加曲面重構(gòu)精度，但是過高對曲面的光順性不利。漸消角部分最終調(diào)整完成的光照斑馬線如圖14所示，斑馬線過渡自然流暢，達(dá)到G2連續(xù)要求。

3.2.3 翼子板曲面拼接

某車型翼子板如圖15所示，沿著特征線劃分所需曲面，構(gòu)造符合造型趨勢，較為規(guī)則的曲面片，大體分為S1、S2和S3三部分。以斷面線為基準(zhǔn)擬合曲線創(chuàng)建曲面，在擬合斷面線時(shí)，盡量用一根曲線，如果擬合精度不高，可以采用分段的方式。為更好地保證曲面質(zhì)量，通常先做基礎(chǔ)大面，精調(diào)階段再進(jìn)行曲面分塊，提高拼接質(zhì)量，最終完成曲面片的逆向重構(gòu)。在曲面構(gòu)建過程中，曲面片需要多次調(diào)整以達(dá)到連續(xù)要求，控制點(diǎn)從4階開始逐漸增加到6、8階，曲面間相互交替調(diào)整。

在調(diào)整過程中，為保證過渡曲面的光順質(zhì)量，曲面間各個(gè)邊界輪廓線要對齊，劃分要規(guī)整，曲面片調(diào)整到8階還不能達(dá)到較好的拼接質(zhì)量，則需要進(jìn)行曲面分片。曲面S2曲率變化較小，但面積相對較大，將S1和S2進(jìn)行曲面劃分，以達(dá)到更好的拼接質(zhì)量。檢查拼接后曲面貼近點(diǎn)云的精度最大偏差為0.1028，邊界處連續(xù)性精度：δG0 = 0.000mm，δG1 = 0.0102°，δG2 = 0.0005 mm-1，滿足光順精度要求。

曲面S3根據(jù)特征線做面，相交面倒圓角。曲面S3與S2拼接處，以S2面的各個(gè)分塊曲面邊界線為起始點(diǎn)，畫線進(jìn)行分割，如圖16a所示。調(diào)整時(shí)，一般把靠近外輪廓邊緣的曲面作為基礎(chǔ)面，中間為過渡曲面，更有利于提高拼接效率。把中間過渡分塊曲面f1在U方向的控制點(diǎn)調(diào)整為8，觀察S2和S3拼接處斑馬線如圖16b所示，線條發(fā)生錯(cuò)位，沒有達(dá)到G2連續(xù)要求，還需要進(jìn)一步調(diào)整。

f1曲面在8階情況下，依舊不能很好地保證拼接質(zhì)量，則需要對曲面片進(jìn)行分片處理，沿著邊界線交點(diǎn)A和B開始向?qū)γ孢吔缱鼍€，要盡量保證與相交線的切線方向垂直，有利于曲面進(jìn)一步地調(diào)整。實(shí)際工程應(yīng)用中，也時(shí)常提取邊界曲線進(jìn)行光順處理，再用邊界曲線進(jìn)行曲面剪裁，重新構(gòu)造曲面。最終完成翼子板逆向重構(gòu)如圖17所示，根據(jù)斑馬線光照圖可以看出，線條過渡均勻、自然、流暢，品質(zhì)較高，達(dá)到G2連續(xù)要求，檢查拼接后曲面貼近點(diǎn)云的精度最大偏差為0.3015，邊界處連續(xù)性精度：δG0 = 0.000mm，δG1 = 0.0202°，δG2 = 0.0016 mm-1，滿足光順精度要求。

4 結(jié)語

為提高A級曲面的曲面拼接質(zhì)量和效率，從簡單雙曲面到復(fù)雜多曲面2個(gè)方面進(jìn)行了論述，針對曲率大的簡單曲面拼接，采取曲面分段的方式可以快速得到高質(zhì)量曲面;對于復(fù)雜的小曲率半徑的曲面，從特征線入手，以基礎(chǔ)曲面和過渡曲面的圓角面為基礎(chǔ)結(jié)合輪廓線進(jìn)行曲面擬合。在連續(xù)性調(diào)整過程中，曲面的階次如果達(dá)到8還不能滿足要求，則需要進(jìn)行曲面分片處理，盡量避免分片曲面邊緣出現(xiàn)尖角。實(shí)際應(yīng)用表明，該方法可以提高曲面光順效率和質(zhì)量，獲得良好的品質(zhì)。

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