沈惠華
[摘? 要] 現(xiàn)象教學倡導回歸生活本源尋找數(shù)學概念原型,以整體形象呈現(xiàn)概念結構性信息. 教師作為合作者攜帶著更廣闊的知識背景輔助學生探尋知識的真諦,學生經(jīng)歷感知—設問—抽象—論證—表達(數(shù)學化)的全過程,從而提升數(shù)學素養(yǎng),達到培養(yǎng)問題意識、形成探究習慣、增加數(shù)學知識、提升核心素養(yǎng)的目的.
[關鍵詞] 數(shù)學現(xiàn)象;數(shù)學概念;數(shù)學化;抽象;概括
數(shù)學概念是對數(shù)學現(xiàn)象的高度抽象和概括,是數(shù)學理論的基石,概念教學自然是數(shù)學教學的核心. 傳統(tǒng)的教學是把概念當作一個知識,當作一個需要認識的對象,遵循這樣的路徑:引入概念—辨析理解—掌握應用—反思升華,其關鍵詞是“理解”,應用和反思主要是為了促進理解,所以有“為理解而教”的說法.
現(xiàn)象教學就不同了,它把概念當作是對客觀世界的“認識成果”,讓學生對真實的現(xiàn)象(特例)進行觀察,歷經(jīng)感知—設問—抽象—論證—形成認識—訴諸表達的全過程,其關鍵詞是“生成”. 學生首先面對的是原始對象,直觀感知其完整的信息,將其數(shù)學化后容易實現(xiàn)知識的結構化,也就是經(jīng)歷了“觀察世界、分析世界、表達世界”的過程,這就使其感悟數(shù)學本源,積累活動經(jīng)驗并逐步強化數(shù)學思維、提升數(shù)學素養(yǎng),其中的“過程價值”是知識教學所不具備的.
從邏輯上講,“表達”是指把頭腦里已有的東西“說出來”,顯然是頭腦里先有意義而后才形成語言. 所以,“生成”比“理解”更有內(nèi)在的合理性,現(xiàn)象教學比知識教學更貼近認識世界的真實過程,更能體現(xiàn)學生的能動作用. 下面以“離散型隨機變量的均值”為例,談談現(xiàn)象教學視野下數(shù)學概念的生成.
[?]課例設計與簡析
現(xiàn)象1:(展示一枚骰子)生活中,我們經(jīng)常利用骰子進行游戲,比如說有這樣一個“猜大小”的游戲:骰子點數(shù)1、2、3為“小”,骰子點數(shù)4、5、6為“大”,參與者每次猜“小”或“大”,猜對就獲得2分,猜錯就扣除1分. 你怎樣看待這個游戲?
(——以“游戲”為現(xiàn)實背景引入課題,學生感覺親切自然,在直觀感知游戲規(guī)則之后,他們帶著濃厚的興趣參與課堂活動,積極發(fā)表個人觀點,始終保持自己在課堂上的主體地位. )
生:雖然猜對和猜錯的概率都是50%,但是得分不同.
師:你能具體說說得分有什么不同嗎?
生:假如每個結果各發(fā)生一次,兩次游戲后得分為2+(-1)=1. 平均每進行一次游戲,得分為0.5!
(在日常生活中,人們習慣用算術平均數(shù)對數(shù)據(jù)進行評估. 通過等概率事件的呈現(xiàn),引起學生直覺的表達,為新概念的生成奠定基礎. )
現(xiàn)象2:游戲規(guī)則:投擲骰子,如果丟出6點,你將獲得8分,沒丟出6點,你將扣除1分. 你怎樣看待這個游戲?
生1:猜對和猜錯的概率不一樣,不能直接取8和-1的算術平均數(shù).
生2:骰子共6種情況,假如每個點數(shù)都出現(xiàn)一次,六次游戲的得分為8+(-1)×5=3. 平均每進行一次游戲,得分為0.5!
生3:上述計算可簡化為:=8×+(-1)×=0.5.
(通過不等概率事件的呈現(xiàn),引發(fā)學生對“得分均值”的進一步思考,進而產(chǎn)生更深層次的認識. )
現(xiàn)象3:游戲規(guī)則:投擲骰子,如果丟出1、2、3點,你將扣除1分,丟出4、5點,你將扣除3分,但是丟出6點,你將獲得12分. 你怎樣看待這個游戲?
生1:得分均值:= (-1)×+(-3)×+12×=0.5.
生2:與上個游戲一樣,這里的、、也是相應事件的概率.
(經(jīng)歷事件個數(shù)的變化過程,促使學生生成概念的雛形,進而堅定自己的猜想.)
師:上面三個游戲都沒發(fā)生,你如何看待這個“0.5”?
生:它反映了我們對游戲結果的預判與期待,呈現(xiàn)了我們對游戲得分的期望.
師:連續(xù)投擲一枚骰子6次,一定會出現(xiàn)1、2、3、4、5、6這六種結果嗎?
生:不一定,前面的計算都是我們的直觀感覺,沒有任何依據(jù)!
師:你們認同自己對得分均值的計算嗎?
生1:認同,但我們需要找到它的理論依據(jù)!
生2:我們想先體驗一下這個游戲(以游戲3為例),在實踐中尋找靈感.
(帶著自己的疑問與追求,學生從數(shù)學的角度去觀察生活中的現(xiàn)象,思考數(shù)量間的某些聯(lián)系,在親身體驗中積累數(shù)學基本活動經(jīng)驗,從而有效支撐數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展. )
學生試驗了幾次游戲,但結果不理想.
師:為什么會產(chǎn)生這種結果?
生:試驗數(shù)據(jù)不夠多,結果容易產(chǎn)生偏差.
師:你下面會怎么做?再繼續(xù)試驗游戲嗎?
生:不用,可以把所有學生的數(shù)據(jù)收集起來,展示1000個數(shù)據(jù)如表1.
得分均值:0.511×(-1)+0.33×(-3)+0.159×12=0.407.
(通過對所有學生數(shù)據(jù)的收集和整合,學生一步一步地感受到了其中可能存在的數(shù)學規(guī)律,并對數(shù)學方法有所猜測和期待. )
師:借助excel中的RANDBETWEEN(1,6)函數(shù)可以繼續(xù)模擬游戲,如表2和表3.
得分均值:0.5029×(-1)+0.3265×(-3)+0.1706×12=0.5648.
得分均值:0.50118×(-1)+0.334×(-3)+0.16482×12=0.47466.
(在大數(shù)據(jù)時代,利用信息技術處理數(shù)據(jù)變得尤為必要. 在高中的學習中,應該培養(yǎng)學生使用信息技術的意識和初步能力. )
師:共模擬了1萬次和10萬次,從現(xiàn)在的數(shù)據(jù)中你能看到什么?
生:隨著樣本容量的增加,得分均值在逐漸趨近于0.5.
師:需要繼續(xù)模擬嗎?
生:不需要,通過統(tǒng)計的方式研究樣本,每次得到的數(shù)據(jù)可能都不一樣. 我們看到了它的變化趨勢,能否模擬算出0.5已經(jīng)沒有意義了.
(當模擬數(shù)據(jù)呈現(xiàn)時,學生似乎看到了黎明的曙光,對游戲蘊含的數(shù)學規(guī)律了然于心,進而積極主動地參與數(shù)學建構,訴諸表達,數(shù)學概念的生成水到渠成.)
師:現(xiàn)在你們找到最初計算的理論依據(jù)了嗎?
生:理論依據(jù)是概率的定義,隨著試驗次數(shù)的增加,事件發(fā)生的頻率會在概率附近擺動并趨于穩(wěn)定,所以當試驗次數(shù)足夠多時,我們既可以用頻率估計概率,也可以用概率推測頻率.
師:同學們從兩種角度計算了“均值”,它們有什么聯(lián)系和區(qū)別?
生:概率中的“均值”是理論基礎,結論具有確定性;而統(tǒng)計中的“均值”是實際應用,結論具有隨機性.
(學生從統(tǒng)計中獲得靈感,產(chǎn)生頓悟,最終回到問題本身“均值”,形成一般性的認識. )
師:同學們通過自己的努力發(fā)現(xiàn)了一個新的概念,你們能給它取個名字嗎?
生:模仿統(tǒng)計,我們可以把它稱為離散型隨機變量X的均值.
師:很好,離散型隨機變量X的均值又稱數(shù)學期望,記為E(X)或μ.
師(追問):為什么又叫“數(shù)學期望”?
生1:它反映了我們對未來每局游戲得分的期望.
生2:統(tǒng)計中的均值著眼于“過去”,而概率中的數(shù)學期望著眼于“未來”.
師:“數(shù)學期望”來源于17世紀一個賭徒的故事,雖然游戲模型不一樣,但思維方式類似. 請同學們課后閱讀相關文獻,了解這段歷史. (滲透數(shù)學文化)
生:上面三個賭博游戲的數(shù)學期望都是0.5,但給人的感覺不一樣?
師:同學們的數(shù)學感覺很不錯,你們能具體說說哪里不一樣嗎?
生:從游戲1到游戲3,“得分差距”在逐漸加大.
師:均值相同的情況下,“得分差距”可以用哪些量來刻畫呢?
生:(恍然大悟)我們可以用方差、標準差刻畫隨機變量的穩(wěn)定性.
師:很好,請同學們規(guī)范表達自己新發(fā)現(xiàn)的概念. (過程略)
現(xiàn)象4:現(xiàn)有兩顆骰子,如果丟出的點數(shù)之和小于6時,你將扣除1分;大于6時,你將扣除2分;等于6時,你將獲得10分. 你怎樣看待這個游戲?
(重在讓學生自己理清剛形成的概念,把概念應用到新的、復雜的情境中.)
展示學生成果:
得分均值:×(-1)+×(-2)+×10=-.
師:你能自己構建一個游戲嗎?
(以概率分布為原型,均值為參考,可以構建相似的游戲模型,實現(xiàn)理論與實踐的結合. )
[?]現(xiàn)象教學重在“生成”
“數(shù)學期望”是個很抽象的概念,所以在歷史上產(chǎn)生很晚,比方程、虛數(shù)晚,甚至比函數(shù)都晚. 對于抽象概念的教學,很容易走上從知識到知識的道路,但那僅僅讓學生多了一個知識,而沒有促進他們數(shù)學素養(yǎng)的提高. 現(xiàn)象教學則不同,學生親身經(jīng)歷數(shù)據(jù)的產(chǎn)生、收集、整理、分析的全過程,在其中體會邏輯,通過自主探究和合作學習的方式,學生很自然地生成了“數(shù)學期望”的概念. 在這里,數(shù)學期望已經(jīng)不僅僅是一個公式,而有其真實的含義. 在整個學習過程中,學生積極思考,經(jīng)歷探索的緊張,享受問題解決的喜悅,他們以自己的方式完成了對現(xiàn)實問題的認識,并形成了數(shù)學形式的表達,這就是概念的自然生成. 在一個易受外界影響的年齡段,這樣的經(jīng)歷會促使學生形成質(zhì)疑的習慣、探究的習慣以及數(shù)學表達的習慣,對他們的思想和性格留下深刻的影響. 同時,教師在整個過程中作為合作者,不露痕跡地引導學生回顧了舊知識,初步建立了統(tǒng)計與概率的聯(lián)系,并在關鍵點上加以引導和規(guī)范,使學生形成了一個具有層次性、靈活性、生長性的概念網(wǎng)絡. 比起“老師講學生聽、老師命令學生執(zhí)行”來,這種現(xiàn)象教學的形式更能調(diào)動學生的積極性,促進學生的深度思考,提高學生的核心素養(yǎng).
整個教學以“學生思維”為主線,起于學生對“現(xiàn)實問題”的思考,成于“概率頻率互相聯(lián)系”的思路,終于“數(shù)學理論建構”,又回到“理論與實踐的結合”. 結果是,學生頭腦里有了現(xiàn)實世界的例證、有了從現(xiàn)實到數(shù)學的建構過程、有了真實有效的思考,還有了完整形態(tài)的數(shù)學知識. 他們既對期望、方差、標準差的計算了然于心,又始終明了這些概念的實際背景與意義,可以說他們學到了真實的、鮮活的數(shù)學. 尤其令人高興的是,學生的問題意識、思維能力和創(chuàng)新精神得到了激發(fā),每個學生都實現(xiàn)了自身在數(shù)學上的發(fā)展,并且不同學生得到了不同的發(fā)展,思維活躍的學生能夠利用所學建構屬于自己的數(shù)學模型,展現(xiàn)自己在探索世界時的自我成長.
[?]結語
學習并非只是一個接受新知的過程,更是一個主動抽象、建構生成的過程,每一次學習都應該是一次創(chuàng)造. 現(xiàn)象教學提供自然鮮活的數(shù)學材料,喚起人的好奇心,學生在親身經(jīng)歷中生成數(shù)學知識,提煉數(shù)學方法,領會數(shù)學思想. 長此以往,學生自身的意識和觀念也會轉(zhuǎn)變,他們能夠更注重應用數(shù)學的眼光和思維去解析現(xiàn)實問題,形成用數(shù)學觀念理解世界的情感態(tài)度,并能用數(shù)學語言準確地表達自己的理解,讓數(shù)學成為認識和改造世界的工具,從對現(xiàn)象的思考逐步轉(zhuǎn)向?qū)κ澜绲谋磉_.
現(xiàn)象教學強調(diào)回歸問題本身,讓學生面對真實現(xiàn)象展開真實的思考,在方法上它不排斥其他教學法,只是在素材的呈現(xiàn)和處理上體現(xiàn)自己的獨特性. 現(xiàn)象教學視野下,學生分工合作,優(yōu)勢互補,在動手中思維,在爭辯中明理,在傾聽中成長,數(shù)學概念自然流暢生成,學生生動活潑有個性地發(fā)展核心素養(yǎng).