張玲

摘? 要：初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的主要任務(wù)是幫助學(xué)生將所學(xué)知識系統(tǒng)化. 在“正比例函數(shù)和反比函數(shù)復(fù)習(xí)課”的教學(xué)中，巧妙設(shè)計遞進問題，在問題解決中關(guān)注學(xué)生的參與度，旨在讓學(xué)生在思維互補中進一步掌握正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式、圖象和性質(zhì)，在解決具體問題的過程中經(jīng)歷方法的習(xí)得，領(lǐng)會研究函數(shù)的基本方法.

關(guān)鍵詞：正比例函數(shù);反比例函數(shù);學(xué)生發(fā)展

根據(jù)“以學(xué)生發(fā)展為本”的基本理念，數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要關(guān)注學(xué)生知識與技能的獲得，而且要關(guān)注學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和解決具體問題過程中方法的習(xí)得，還應(yīng)該重視情感、態(tài)度、價值觀等育人目標(biāo)的落實. 基于學(xué)生發(fā)展的理念，筆者針對“正比例函數(shù)和反比例函數(shù)復(fù)習(xí)課”進行了一次教學(xué)實踐，以下為教學(xué)設(shè)計及實踐體會，與大家分享.

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

1. 內(nèi)容

本節(jié)課選自滬教版《九年義務(wù)教育課本·數(shù)學(xué)》八年級第一學(xué)期第十八章“正比例函數(shù)和反比例函數(shù)”，是第一節(jié)“正比例函數(shù)”和第二節(jié)“反比例函數(shù)”的綜合復(fù)習(xí)課.

2. 內(nèi)容解析

（1）內(nèi)容的本質(zhì).

本節(jié)課將正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式、圖象和性質(zhì)分別進行類比，抓住這兩個函數(shù)中的變與不變，體會研究函數(shù)的一般方法.

（2）內(nèi)容中所蘊涵的數(shù)學(xué)思想和方法.

本節(jié)課的內(nèi)容中蘊涵著數(shù)形結(jié)合思想和割補的方法. 學(xué)生此前已經(jīng)學(xué)習(xí)過正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)，對解決正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的相關(guān)問題有一定的經(jīng)驗. 作為一節(jié)復(fù)習(xí)課，本節(jié)課通過設(shè)計三組問題，讓學(xué)生在解決問題的過程中體會數(shù)形結(jié)合思想.

（3）知識的上下位關(guān)系.

學(xué)生在六年級已經(jīng)學(xué)習(xí)了比例的意義與性質(zhì)，因此比較容易接受正比例函數(shù)和反比例函數(shù). 以它們?yōu)檩d體，幫助學(xué)生初步感知變量數(shù)學(xué)，體會研究函數(shù)的基本方法，為一次函數(shù)和二次函數(shù)的學(xué)習(xí)打下良好基礎(chǔ).

（4）育人價值.

復(fù)習(xí)課要充分體現(xiàn)自主原則，即讓學(xué)生積極主動地參與復(fù)習(xí)的全過程，讓學(xué)生主動疏理知識、尋找規(guī)律、判斷錯誤. 通過小組合作學(xué)習(xí)，把學(xué)習(xí)的主動權(quán)交給學(xué)生，發(fā)揮學(xué)生的主體作用，讓學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人，凸顯“以學(xué)生為主體”的教育理念.

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點是：研究正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì).

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

1. 目標(biāo)

（1）進一步理解正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)，并解決相關(guān)問題.

（2）在解決題組的過程中進行觀察、對比、分析，體會數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法在解題中的運用.

（3）在小組合作解決問題的過程中，進一步體會研究函數(shù)的一般方法，提升分析問題能力和數(shù)學(xué)語言表達能力.

2. 目標(biāo)解析

達成目標(biāo)（1）的標(biāo)志：能夠整理并展示正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的相關(guān)知識，在課堂上通過三組題組的練習(xí)，體會研究函數(shù)的一般思路，從而解決相關(guān)問題.

達成目標(biāo)（2）的標(biāo)志：能夠逐步解決三組題組. 題組1考查函數(shù)的定義、圖象和性質(zhì)，體現(xiàn)研究函數(shù)的一般方法;題組2是對函數(shù)性質(zhì)的運用，方法由特殊到一般;題組3需要一題多解. 通過問題驅(qū)動，時時有思維訓(xùn)練，讓學(xué)生體會數(shù)形結(jié)合及割補的數(shù)學(xué)思想方法.

達成目標(biāo)（3）的標(biāo)志：能夠在小組合作解決問題的過程中，親身經(jīng)歷問題解決到方法習(xí)得的過程，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力.

三、教學(xué)問題診斷分析

1. 學(xué)生已具備的認(rèn)知基礎(chǔ)（知識、能力）

學(xué)生在六年級已經(jīng)學(xué)習(xí)了比例的意義與性質(zhì)，在此基礎(chǔ)上，又學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念，從常量數(shù)學(xué)進入到變量數(shù)學(xué)，學(xué)生已有一個逐步認(rèn)識和適應(yīng)的過程. 此前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過正比例函數(shù)、反比例函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)，對解決相關(guān)問題有一定的經(jīng)驗，具備了一定的抽象思維能力和推理分析能力.

2. 與本節(jié)課目標(biāo)的差距分析（知識、能力）

學(xué)生對整體知識的把握不足，對知識的理解與掌握比較淺顯，對知識之間聯(lián)系的理解不夠深刻. 因此，無法自行完成知識體系的建構(gòu)，不能真正體會研究函數(shù)的一般方法.

3. 可能存在的問題（問題、障礙）

在題組3的第（3）小題中，[△AOC]不是直角三角形，并且三條邊也不在坐標(biāo)軸上，對于求[△AOC]的面積，學(xué)生可能存在困難.

4. 應(yīng)對策略（過程、方法）

將題組3交給各小組解決，在討論、解決問題的過程中把做法呈現(xiàn)在移動白板上，使得小組之間可以更好地相互交流和借鑒，進行思維的碰撞. 對于學(xué)生忽略的方法，教師運用幾何畫板軟件進行補充，提升學(xué)生的思維能力.

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點是：正比例函數(shù)、反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用.

四、教學(xué)支持條件

本節(jié)課應(yīng)用移動白板、幾何畫板軟件、學(xué)生導(dǎo)學(xué)稿進行教學(xué).

五、教學(xué)過程

1. 知識回顧

說一說：正比例函數(shù)和反比例函數(shù)有什么區(qū)別？

師生活動：課前，各小組合作整理了正比例函數(shù)和反比例函數(shù)相關(guān)知識點;課上，每個小組派一名代表上臺展示，并說一說正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系. 其他小組給予補充說明.

【評析】課前各小組通過表格、思維導(dǎo)圖的形式梳理正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的相關(guān)知識點，課上展示正比例函數(shù)和反比例函數(shù)概念、圖象、性質(zhì)的區(qū)別與聯(lián)系. 在小組合作中，學(xué)生的知識與經(jīng)驗相互補充. 通過類比兩類函數(shù)的解析式、圖象和性質(zhì)，提升學(xué)生的辨析能力，為接下來的練習(xí)鞏固做鋪墊.

2. 練習(xí)鞏固

題組1：（1）已知函數(shù)[y=2xk2-2]是正比例函數(shù)，則[k]的值是? ? ? .

（2）已知函數(shù)[y=2xk2-2]是反比例函數(shù)，則[k]的值是? ? ? .

師生活動：學(xué)生回答，教師板書解題過程，然后師生小結(jié).

【評析】第（1）（2）題旨在讓學(xué)生體會正比例函數(shù)和反比例函數(shù)解析式的區(qū)別，重視正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的意義建構(gòu).

（3）已知函數(shù)[y=k-1xk2-2]是反比例函數(shù)，則[k]的值是? ? ? .

（4）已知反比例函數(shù)[y=k-12xk2-2]的圖象在第二、四象限，則[k]的值是? ? ? .

（5）已知反比例函數(shù)[y=k-12xk2-2]的圖象在每個象限內(nèi)[y]隨著[x]的增大而減小，則[k]的值是? ? ? .

師生活動：各小組交流、討論，并派一個代表回答問題. 經(jīng)過觀察、對比、分析，學(xué)生發(fā)現(xiàn)在解決第（3）（4）題時，不僅要考慮[k2-][2=-1]，還要根據(jù)反比例函數(shù)的定義和性質(zhì)考慮比例系數(shù)的取值情況，進一步體會研究函數(shù)的一般方法.

【評析】在解決第（3） ～ （5）題時，學(xué)生不僅要考慮函數(shù)自變量的指數(shù)，還要對比例系數(shù)的取值進行檢驗. 有了第（1） ～ （3）題的解題經(jīng)驗，學(xué)生不難想到利用條件“圖象在第二、四象限”“圖象在每個象限”檢驗反比例函數(shù)的比例系數(shù). 通過解決題組1，學(xué)生既能在交流討論中深入理解反比例函數(shù)的概念，又能在分析、解決問題的實踐中提升思維能力.

題組2：（1）在正比例函數(shù)[y=-4x]的圖象上有兩點[-2，y1， -1，y2，] 則[y1，y2]的大小關(guān)系是? ? ? .

（2）在反比例函數(shù)[y=-4x]的圖象上有兩點[-2，y1，][-1，y2，] 則[y1，y2]的大小關(guān)系是? ? ? .

師生活動：學(xué)生回答，教師板書解題過程，其他學(xué)生補充不同的方法.

【評析】第（1）（2）題解法較多. 例如，利用解析式直接求出[y1，y2]的值比較大小;根據(jù)正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)比較[y1，y2]的大小;畫出函數(shù)的大致圖象，在圖象上找到對應(yīng)的點，直觀比較[y1，y2]的大小. 學(xué)生在解決這兩道題目的過程中能促進思維互補與交流，進一步加強對兩類函數(shù)解析式、性質(zhì)和圖象的應(yīng)用.

（3）在反比例函數(shù)[y=-4x]的圖象上有兩點[x1，y1，][x2，y2，] 若[x1<x2<0，] 則[y1，y2]的大小關(guān)系是? ? ? .

（4）在反比例函數(shù)[y=-4x]的圖象上有三點[x1，y1，][ x2，y2， x3，y3，] 若[x1<x2<0<x3，] 則[y1，y2，y3]的大小關(guān)系是? ? ? .

各小組交流討論：以上給出的解決題組2第（1）（2）題的三種方法都適用于第（3）（4）題的解決嗎？你們小組是用哪種方法解決問題的？

【評析】在經(jīng)歷了第（1）（2）題的解決后，學(xué)生會嘗試類比解決第（3）（4）題. 當(dāng)運用性質(zhì)不能直接解決這兩道題目時，學(xué)生會想到借助圖象輔助解決，有利于提升學(xué)生的抽象思維.

題組3：如圖1，直線[y=34x]與雙曲線[y=kx][k≠0]交于點[A4，m，] 過點[A]作[AB⊥Ox]，垂足為點[B].

（1）求[k]的值;

（2）求[△AOB]的面積;

（3）若雙曲線上有一點[C]，且點[C]的縱坐標(biāo)是6，求[△AOC]的面積.

師生活動：學(xué)生在導(dǎo)學(xué)單上完成第（1）小題的求解，并注意解題格式. 做好的小組把解題過程寫在移動白板上，教師巡視.

對于第（3）小題，各小組展示的解題方法如下.

方法1：如圖2，把[△AOC]補成矩形EOBD，根據(jù)[S△AOC=][S矩形EOBD-S△EOC-S△AOB-S△ACD]來求解.

方法2：如圖3，過點[C]作[y]軸的平行線CP，交OA于點P，把[△AOC]分割成[△APC]和[△OPC]來求面積.

方法3：如圖4，把[△AOC]補成直角梯形COBD，根據(jù)[S△AOC=][S梯形COBD-S△ACD-S△AOB]來求解.

教師利用幾何畫板軟件對學(xué)生給出的方法進行歸納，并做適當(dāng)補充，如圖5、圖6、圖7所示.

小結(jié)：當(dāng)[△AOC]不是直角三角形，且三邊不在坐標(biāo)軸上時，可以通過割補法來求面積，即過點[A]或點[C]作[x]軸或[y]軸的平行線來解決問題. 當(dāng)然，求[△AOC]的面積還有其他方法，有興趣的學(xué)生課后再探討，隨著所學(xué)知識的增多，解決問題的方法也會更多.

【評析】經(jīng)過前面的復(fù)習(xí)，學(xué)生對正比例函數(shù)和反比例函數(shù)相關(guān)知識有了更深刻的理解，以此題為契機留給小組合作解題并展示的機會. 第（1）小題求[k]的值，是對正比例函數(shù)和反比例函數(shù)解析式的簡單應(yīng)用，學(xué)生在解題中再次比較兩類函數(shù)解析式，感受兩類函數(shù)的特征. 第（2）小題要求[△AOB]的面積也較為簡單，學(xué)生可以通過此題更好地理解反比例函數(shù)比例系數(shù)[k]的幾何意義. 第（3）小題求[△AOC]的面積，學(xué)生基于所學(xué)知識無法直接求解，從而激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，且此題求解方法較多，有利于讓學(xué)生在交流中發(fā)散思維.

3. 歸納小結(jié)，反思提高

師生共同回顧、總結(jié)、歸納本節(jié)課所學(xué)知識和所應(yīng)用的數(shù)學(xué)思想方法.

【評析】回顧、總結(jié)本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，幫助學(xué)生歸納、鞏固所學(xué)知識.

4. 作業(yè)布置，鞏固所學(xué)

略.

六、目標(biāo)檢測設(shè)計

1. 已知函數(shù)[y=2m-4xm2-5]是反比例函數(shù)，則[m]的值為? ? ? .

2. 在反比例函數(shù)[y=-4x]的圖象上有三點[-2，y1，][-1，y2， 3，y3，] 則[y1，y2，y3]的大小關(guān)系是（? ? ）.

（A）[y1<y2<y3] （B）[y2<y1<y3]

（C）[y3<y1<y2] （D）[y3<y2<y1]

3. 如圖8，直線[y=12x]與雙曲線[y=8x]交于點[A4，2，] 過點[A]作[AB⊥Ox]，垂足為點[B].

（1）求[△AOB]的面積;

（2）若雙曲線[y=8x]上有一點[C]，且點[C]的縱坐標(biāo)是8，求[△AOC]的面積;

（3）過原點[O]的另一條直線交雙曲線[y=8x]于[P，][Q]兩點（點[P]在第一象限內(nèi)），若由點[A，B，P，Q]為頂點組成的四邊形面積為24，求點[P]的坐標(biāo).

七、談磨課體會

在以上呈現(xiàn)的“正比例函數(shù)和反比例函數(shù)復(fù)習(xí)課”的教學(xué)實踐中，基于學(xué)生發(fā)展的角度，筆者經(jīng)歷了三次磨課，現(xiàn)將磨課過程介紹如下.

1. 一磨教學(xué)設(shè)計，關(guān)注知識的獲得

第一次磨課的重點是教學(xué)設(shè)計的調(diào)整，把原本針對知識點設(shè)計的幾道練習(xí)題設(shè)計成題組. 初稿是從正（反）比例函數(shù)定義、圖象和性質(zhì)、應(yīng)用三個方面分塊設(shè)計題目，題目數(shù)量較多，且題目之間的聯(lián)系性不強，不利于學(xué)生系統(tǒng)習(xí)得知識. 如何將知識濃縮于高質(zhì)量的題目中，幫助學(xué)生高效、系統(tǒng)地掌握知識？在與教研組研討后，設(shè)計了變式題組，目的是讓學(xué)生在比較中對正比例函數(shù)和反比例函數(shù)相關(guān)知識有整體性和結(jié)構(gòu)化的認(rèn)識.

2. 二磨教學(xué)方式，關(guān)注學(xué)生的課堂參與

第一次磨課，本意是以教師主導(dǎo)、學(xué)生主講的方式展開課堂教學(xué)，但由于部分學(xué)生跟不上課堂的節(jié)奏，課堂參與度不足，導(dǎo)致教師主導(dǎo)逐步轉(zhuǎn)變成了教師主講，這更降低了學(xué)生的參與度. 因此，在第二次磨課中，對教學(xué)方式進行調(diào)整，在第二個班級試課時，將全班學(xué)生分成四個小組，采取小組合作的方式開展教學(xué). 在知識回顧環(huán)節(jié)，以小組合作的方式進行知識梳理，形成知識經(jīng)驗的互補，加深學(xué)生對知識的理解，提高復(fù)習(xí)效果. 在練習(xí)鞏固環(huán)節(jié)，以小組討論的方式研究問題，給予學(xué)生充足的思考時間，讓學(xué)生的思維得到釋放，在研討中歸納解題的一般方法. 在問題回答環(huán)節(jié)，以小組為單位作答，一人作為代表回答，組員及時糾正和補充，確保其他學(xué)生聽課的專注度.

3. 三磨細(xì)節(jié)處理，關(guān)注學(xué)生的情感發(fā)展

在第二次磨課時遇到了一個小狀況. 在解決題組3的第（3）小題時，其中一個小組提出一種解法后，筆者將其思路板書在黑板上，之后其他小組紛紛表示有不同的解法，但由于筆者的疏忽及當(dāng)時資源和時間的限制，無法將這些方法一一展示出來，匆匆收場. 教研組教師討論時認(rèn)為學(xué)生的方法沒有得到充分展示是一個遺憾，可以以此題為契機讓學(xué)生得到展示的機會，讓學(xué)生獲得成就感，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣. 因此，第三次磨課重點對這一細(xì)節(jié)進行處理，為了能直觀呈現(xiàn)各小組的解題方法，筆者準(zhǔn)備了一塊移動白板，各小組把解題思路寫在移動白板上并做展示交流. 同時，筆者預(yù)設(shè)了學(xué)生的解題方法，用幾何畫板軟件呈現(xiàn)學(xué)生沒想到的方法，進一步提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

移動白板為學(xué)生討論問題、記錄問題、相互學(xué)習(xí)提供了方便. 各個小組的學(xué)生之間交流畫圖、書寫解題過程，從“怎么做”到“怎么寫”，再到“怎么表達”都有商有量、互補長短，思維碰撞更直接. 學(xué)生在“做”中學(xué)，在“體驗”中學(xué)，在愉悅的氛圍中解決問題，獲得了成就感.

八、實踐后的再思考

1. 習(xí)題設(shè)計符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律

復(fù)習(xí)課中的習(xí)題設(shè)計要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，讓多數(shù)甚至每名學(xué)生都能在相當(dāng)程度上實現(xiàn)有效學(xué)習(xí)，提高課堂學(xué)習(xí)的效率. 習(xí)題容量不宜過多，不能采用題海戰(zhàn)術(shù)，這容易讓學(xué)生產(chǎn)生疲憊感;習(xí)題內(nèi)容要有趣味，如一題多變，在變化中引導(dǎo)學(xué)生逐步歸納、提煉解題方法;習(xí)題難度要由淺入深、循序漸進，符合學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，同時要具有一定的挑戰(zhàn)性.

2. 教學(xué)活動注重學(xué)生的體驗

數(shù)學(xué)教學(xué)不是單純地傳授知識，而是以學(xué)生為主體的教學(xué)活動. 學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)是主動的、富有個性的活動過程. 教師要通過觀察、實驗、推理等活動加深學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解. 在組織教學(xué)的過程中，教師可以采用讓學(xué)生動手實踐、自主探索和合作交流等方式，多給學(xué)生一些課堂操作和體驗的空間和機會，讓學(xué)生在體驗中解決問題，從而更好地理解和掌握基礎(chǔ)知識，以及基本技能和方法.

3. 課堂交流關(guān)注學(xué)生的情感表達

和諧民主的課堂氣氛是課堂教學(xué)成功的保障. 在教學(xué)中，教師要充分調(diào)動學(xué)生的情感因素，形成良好的課堂氛圍. 教師在講授知識的同時，也應(yīng)該傾聽學(xué)生的想法. 在教學(xué)中，可以在某些環(huán)節(jié)留給學(xué)生充分思考的時間和空間，鼓勵學(xué)生勇敢地表達;對學(xué)生的言行，要及時給予肯定和鼓勵，讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成就感，進而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

參考文獻：

[1]沈敏. 圍繞數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的結(jié)構(gòu)性教學(xué)實踐：《反比例函數(shù)復(fù)習(xí)課》教學(xué)設(shè)計與分析[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2020（8）：12-16.

[2]楊果. 從“一課三磨”感悟核心素養(yǎng)如何落地：以“圓錐曲線中的定點問題”一課為例[J]. 高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2020（1）：18-20.