曹自由 初雨

摘? 要：圖形的變化是發(fā)展空間觀念的內(nèi)容抓手，也是研究圖形的基本方法，是發(fā)現(xiàn)和構(gòu)造不變量和不變關(guān)系的重要途徑. 學(xué)生在新授課階段分別學(xué)習(xí)了軸對稱、平移和旋轉(zhuǎn)，在中考第二輪復(fù)習(xí)中需要建立它們之間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)行整體復(fù)習(xí). 通過四個課時的復(fù)習(xí)教學(xué)，分別引導(dǎo)學(xué)生感受運動變化、理解運動變化、運用運動變化、整合運動變化，有效發(fā)展學(xué)生的空間觀念、幾何直觀和推理能力. 文章將第1課時設(shè)計整理成文，以供研討.

關(guān)鍵詞：圖形的變化;中考復(fù)習(xí);教學(xué)設(shè)計

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

1. 內(nèi)容

圖形的變化（軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)）.

2. 內(nèi)容解析

初中階段學(xué)習(xí)的幾何圖形的變化包括軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)和相似（位似）的概念、性質(zhì)和應(yīng)用. 本節(jié)課復(fù)習(xí)的內(nèi)容是圖形的全等變換——軸對稱、平移和旋轉(zhuǎn).

圖形的全等變換可以看作是圖形的剛體運動，用全等變換的思想研究圖形的性質(zhì)和關(guān)系是“圖形與幾何”領(lǐng)域重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容. 在義務(wù)教育階段，圖形之間最重要的關(guān)系就是全等，全等可以用圖形重合的方式直觀獲得，而“圖形重合”需要通過圖形的運動來實現(xiàn)，這種運動就是圖形的軸對稱、平移和旋轉(zhuǎn). 圖形的變化是理解圖形空間結(jié)構(gòu)的基本方法，也是空間觀念的核心要素. 抽象軸對稱、平移和旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)，用邏輯的方法理解圖形的全等變換是從定性到定量研究圖形的變化的橋梁. 從小學(xué)直觀認(rèn)識圖形的軸對稱、平移和旋轉(zhuǎn)到初中的邏輯研究、坐標(biāo)表示再到后續(xù)的矩陣表示，是圖形的全等變換的定性到定量發(fā)展的三個重要階段.

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點是：建立三種圖形的變化相關(guān)知識的邏輯體系，并用圖形變化的觀點認(rèn)識幾何圖形.

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

1. 目標(biāo)

（1）理解軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)之間的聯(lián)系，加深對運動變化的認(rèn)識，落實畫圖和識圖的能力，滲透幾何直觀能力.

（2）在問題探究的過程中，逐步形成用圖形的變化思考、解決問題的意識，滲透圖形變化思想.

2. 目標(biāo)解析

達(dá)成目標(biāo)（1）的標(biāo)志：能夠從運動變化的角度描述兩個已知圖形之間的關(guān)系，能夠根據(jù)圖形變化（軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)）的概念和性質(zhì)畫出運動變化后的圖形，通過梳理建立三種變化相關(guān)知識的邏輯體系.

達(dá)成目標(biāo)（2）的標(biāo)志：能夠以運動的視角觀察圖形，用變化的思想分析圖形特征.

三、教學(xué)問題診斷分析

近幾年北京中考試卷中的幾何綜合題都考查了圖形的變化的相關(guān)內(nèi)容，并且不是單一的，而是從一種變化到另一種變化的綜合考查. 但是學(xué)生學(xué)習(xí)時，知識是零散的、分割開的，先學(xué)習(xí)了平移，然后是軸對稱和旋轉(zhuǎn)，沒有形成三種變化相關(guān)知識的邏輯體系. 同時，圖形的變化是一種觀察圖形的視角，培養(yǎng)這種“視角”與培養(yǎng)“知識與技能”同樣重要.

基于以上分析，可以確定本節(jié)課的教學(xué)難點是：三種圖形的變化之間的轉(zhuǎn)化.

四、教學(xué)過程設(shè)計

1. 課前學(xué)習(xí)

題目? 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系[xOy]中，[△AOB]可以看作是[△OCD]經(jīng)過若干次圖形的變化（軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)）得到的，寫出一種由[△OCD]得到[△AOB]的過程：? ? ? ? ? ? ?.

思考問題：什么是軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)？它們各有什么性質(zhì)？它們之間有什么聯(lián)系？

【設(shè)計意圖】此題為2017年中考北京卷第15題，學(xué)生在課前復(fù)習(xí)軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)的相關(guān)知識，關(guān)注知識的形成過程及知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，在應(yīng)用中不斷深化認(rèn)識. 通過解決中考試題回顧思考涉及的知識和思想方法，進(jìn)一步提升能力.

2. 交流梳理

環(huán)節(jié)1：交流課前學(xué)習(xí)成果.

（1）平移：如圖2，平移前后的兩個圖形全等（從圖形形狀、大小關(guān)系來看）;對應(yīng)線段平行且相等，兩對應(yīng)點連線互相平行（共線）且相等（從圖形位置變化來看）.

（2）軸對稱：如圖3，關(guān)于某直線對稱的兩個圖形全等（從圖形形狀、大小關(guān)系來看）;對應(yīng)線段相等，兩個圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是任意一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線（從圖形位置變化來看）.

（3）旋轉(zhuǎn)：如圖4，旋轉(zhuǎn)前后的兩個圖形全等（從圖形形狀、大小關(guān)系來看）;每兩對對應(yīng)點連線所形成的角都等于旋轉(zhuǎn)角（從圖形位置變化來看）;對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等（從圖形位置變化來看）.

（4）軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)三者的關(guān)系：如圖5，兩條對稱軸平行的軸對稱復(fù)合[?]一次平移;兩條對稱軸相交的軸對稱復(fù)合[?]一次旋轉(zhuǎn).

軸對稱在三種變化中起到橋梁作用，軸對稱與另外兩種全等變換在地位上是有區(qū)別的，它是更加基礎(chǔ)的一種變化，所有平移、旋轉(zhuǎn)都可以用軸對稱變化來解釋.

【設(shè)計意圖】學(xué)生先回答思考問題，借此梳理三種變化的性質(zhì)，明確各自的畫圖方法及依據(jù)，明確三種變化之間的關(guān)系.

環(huán)節(jié)2：問題引導(dǎo)深入思考.

思考：只用一種變化可不可以操作？如何操作？用兩種變化如何操作？哪種方法容易快速想到？為什么？

【設(shè)計意圖】課上讓學(xué)生先交流自己的結(jié)果. 而學(xué)生在交流結(jié)果時一定是無序的，這時教師可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有序思考.

問題1：對于題目，只用兩種變化有哪些方法？

學(xué)生活動：交流使用兩種變化的情況.

（1）旋轉(zhuǎn) + 平移.

思路1：將△COD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°后，再向左平移兩個單位得到△AOB.

思路2：將△COD繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°后，再向上平移兩個單位得到△AOB.

思路3：將△COD向左平移兩個單位后，再繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△AOB.

思路4：將△COD向上平移兩個單位后，再繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△AOB.

（2）旋轉(zhuǎn) + 軸對稱.

思路5：將△COD先關(guān)于x軸對稱，再以點C為旋轉(zhuǎn)中心順時針旋轉(zhuǎn)90°，再作關(guān)于直線x = 1的對稱得到△AOB.

追問：采用“平移 + 軸對稱”的方式可以嗎？

歸納：對應(yīng)頂點排列的順序一致——旋轉(zhuǎn);與目標(biāo)圖形的方向一致——平移.

問題2：用一種變化有哪些方法？

追問：兩個全等的三角形通過某種運動方式一定能重合嗎？若能重合，如何運動？

歸納：對應(yīng)頂點排列順序一致，經(jīng)過一次旋轉(zhuǎn)能重合.

學(xué)生活動：對于題目，展示只通過旋轉(zhuǎn)或只通過軸對稱完成任務(wù)的方法，并說明自己的畫圖方法和畫圖依據(jù).

方法1：（旋轉(zhuǎn)）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，確定旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角.

思路6：將△COD繞點[1，1]順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△AOB.

思路7：將△COD先繞點[1，-1]逆時針旋轉(zhuǎn)90°后，再繞點O旋轉(zhuǎn)180°得到△AOB.

方法2：（軸對稱）兩條對稱軸相交的軸對稱復(fù)合[?]一次旋轉(zhuǎn).

思路8：先將△COD沿直線x = 1對稱后，再沿直線y = x對稱得到△AOB.

思路9：先將△COD沿直線y = 1對稱后，再沿直線y = -x + 2對稱得到△AOB.

【設(shè)計意圖】題目難度不大，且學(xué)生具備直接識別運動變化的能力，但是學(xué)生自己描述運動變化的經(jīng)驗還是比較少的，而且運動的方式是不唯一的，給出運動前后的圖形，描述運動變化要素，這對學(xué)生的要求實際上是提高了很多的. 因此，要關(guān)注這三種運動變化之間的聯(lián)系，通過這個過程深化學(xué)生對于運動變化的認(rèn)識.

3. 變式練習(xí)

變式1：如圖6，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，試類比上一個問題的探究過程，說出△ABE經(jīng)過怎樣的圖形的變化（平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)）得到△BCF？

變式2：如圖7，在等邊三角形ABC中，AD = BE，試類比上一個問題的探究過程，說出△ABE經(jīng)過怎樣的圖形的變化（軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)）得到△CAD？

學(xué)生活動：展示所畫圖形的變化過程，并用語言描述這個過程. 學(xué)生可能想到如下情況.

（1）旋轉(zhuǎn) + 平移（如圖8和圖9）.

（2）兩次軸對稱（如圖10）.

（3）一次旋轉(zhuǎn)（如圖11）.

【設(shè)計意圖】將任務(wù)探究的思維過程結(jié)構(gòu)化，形成解決問題的方法思路. 同時滲透用運動變化的眼光觀察圖形的思想方法. 滿足特定條件下的圖形的變化可能有多種情況，培養(yǎng)思維的有序性、多樣性.

4. 歸納與提升

總結(jié)、歸納本節(jié)課的教學(xué)流程如圖12所示.

【設(shè)計意圖】歸納方法、提升能力，形成用運動的眼光、變換的思想看待兩個圖形之間的關(guān)系的能力，滲透運動變換思想.

5. 布置作業(yè)

五、教學(xué)反思

本節(jié)課是“圖形的軸對稱、平移和旋轉(zhuǎn)”中考第二輪專題復(fù)習(xí)課，內(nèi)容屬于“圖形的變化”. 希望通過一系列數(shù)學(xué)活動，幫助學(xué)生在已有知識基礎(chǔ)上對圖形變換思想進(jìn)行相應(yīng)的概括和應(yīng)用. 同時，在落實“四基”、培養(yǎng)“四能”的過程中，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展.

1. 感受運動變化，建立邏輯體系

學(xué)生通過親身經(jīng)歷課前的數(shù)學(xué)操作活動后，體驗的水平停留在“感覺”階段，還沒有對活動過程進(jìn)行深入的思考，沒有深刻認(rèn)識到三種全等變換之間內(nèi)在的邏輯關(guān)系. 在此基礎(chǔ)上，學(xué)生在課堂上通過交流及反思性觀察將獲得的體驗進(jìn)行抽象，梳理三種全等變換各自的性質(zhì)及它們之間的聯(lián)系，形成解決該類問題的一般思維模式. 圖形的變化是一種觀察圖形的視角，培養(yǎng)這種“視角”與培養(yǎng)“知識與技能”同樣重要.

在關(guān)注聯(lián)系的基礎(chǔ)上，通過問題引導(dǎo)，使學(xué)生能夠進(jìn)行知識的歸納梳理，并能夠主動利用經(jīng)驗的遷移去研究其他問題. 通過本節(jié)課的教學(xué)，進(jìn)一步幫助學(xué)生感受運動變化，學(xué)會以運動變化的視角分析圖形，也為后續(xù)進(jìn)一步主動運用圖形變化視角認(rèn)識幾何圖形，運用圖形變換思想解決綜合性問題奠定基礎(chǔ).

2. 培養(yǎng)思維的有序性、多樣性

滿足特定條件下的圖形的變化可能有多種情況，開放性問題有助于學(xué)生體驗解決問題方法的多樣性. 與此同時，通過增加限定條件，從兩種圖形變化的組合，到只用一種圖形變化，將任務(wù)探究的思維過程結(jié)構(gòu)化，形成解決問題的方法思路. 同時，滲透用運動變化的眼光觀察圖形的思想方法.

本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)定位在落實畫圖和識圖能力，滲透幾何直觀能力，理解軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)之間的聯(lián)系，加深對運動變化的認(rèn)識;在問題探究的過程中，逐步形成用圖形的變化視角思考解決問題的意識，滲透圖形變化思想. 在實際授課過程中，知識與技能落實得比較到位，而思想性體現(xiàn)不夠充分，還需要深入研究，在思想性上多做文章.

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部制定. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]教育部基礎(chǔ)教育課程教材專家工作委員會.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》解讀[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[3]章建躍. 章建躍數(shù)學(xué)教育隨想錄[M]. 杭州：浙江教育出版社，2017.

[4]任華中，傅海倫，邵亞娜. 初中數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗的教學(xué)目標(biāo)層次劃分[J]. 中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2018（6）：30-32.