千般武藝——線面垂直

摘要：數(shù)學(xué)的整體性體現(xiàn)在代數(shù)、幾何、三角、概率、統(tǒng)計(jì)等各部分內(nèi)容之間的相互聯(lián)系上，也體現(xiàn)在同一部分內(nèi)容中知識(shí)的前后邏輯關(guān)系上。在完成立體幾何點(diǎn)線面位置關(guān)系的教學(xué)任務(wù)后，以問題促思考，將線面垂直在各種位置關(guān)系中的多重身份和作用體現(xiàn)出來，突出整體性思維在綜合復(fù)習(xí)課中的指導(dǎo)意義。

1 引言

整體性數(shù)學(xué)思維定義為：在研究數(shù)學(xué)問題時(shí)，利用全方位的研究視角去思考知識(shí)整體及局部的內(nèi)在結(jié)構(gòu)。這里的全方位指的是對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容認(rèn)識(shí)的高度、深度和廣度。具體劃分為系統(tǒng)性思維方式、延拓性思維方式和遷移性思維方式。

2 教學(xué)分析

立體幾何是繼平面幾何學(xué)習(xí)之后，學(xué)生第一次正式接觸空間位置關(guān)系的探究和基于公理化體系的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评怼ａ槍?duì)初學(xué)熟練度不高，對(duì)立體幾何的直觀感受僅建立在常見的長方體模型等基本學(xué)情，立足已完成的平行、垂直判定定理和性質(zhì)定理，以中國傳統(tǒng)文化精華的鱉臑?zāi)Ｐ蜑檩d體，利用其豐富的垂直關(guān)系，結(jié)合高考熱點(diǎn)難點(diǎn)，設(shè)計(jì)證明面面垂直、求作與異面垂直的直線、求作二面角的平面角等階梯式問題;力求讓學(xué)生從整體上思考問題，感悟到線面垂直可以成為解決上述問題的主要方向和途徑，尋找題目變化時(shí)，恰當(dāng)?shù)乃伎挤较?，并得到常?guī)做法，形成模板。在教學(xué)的過程中，設(shè)置恰當(dāng)?shù)膯栴}引導(dǎo)學(xué)生逐步形成思考方向，或針對(duì)既得模型加以利用，輔助嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评恚_(dá)成目標(biāo)，既能進(jìn)一步熟練應(yīng)用定理，又能系統(tǒng)展現(xiàn)邏輯推理核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，從而能整體地理解數(shù)學(xué)知識(shí)間的有機(jī)聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的提升，探索解決問題的思路。

3 教學(xué)過程

3.1 夯實(shí)基礎(chǔ)，搭建跳板

例：如圖，AB?是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上不同于A，B?的任意一點(diǎn)。

問題1：求證：平面?PAC⊥平面?PBC.

課本例題引入，既突出了回歸課本、重視基礎(chǔ)的必要性，又充分體現(xiàn)了基本功的重復(fù)訓(xùn)練在復(fù)習(xí)中的重要性。本例實(shí)為鱉臑?zāi)Ｐ?，而塹堵、陽馬、鱉臑?zāi)Ｐ驮谥袊糯w積求解的相關(guān)問題中占據(jù)重要地位，劉徽總結(jié)出劉徽原理，并指出，任一多面體可分割成若干四面體，而四面體可分割成“陽馬”及“鱉臑”。教材中設(shè)置相關(guān)例題的意圖，也體現(xiàn)了傳統(tǒng)文化在學(xué)生過程性學(xué)習(xí)中的滲透。鱉臑?zāi)Ｐ椭袃?chǔ)備了極其豐富的垂直關(guān)系，是學(xué)生掌握垂直關(guān)系的重要模型之一。

3.2 似易實(shí)深，遷移融合

問題2：（1）請(qǐng)?jiān)凇袿所在平面內(nèi)，過點(diǎn)A作出直線AG垂直于直線PB.

（2）若PA=AC，請(qǐng)作出過點(diǎn)A且垂直于直線PB的平面在三棱錐P-ABC中的截面，并加以說明.

新課改中對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)滲透在教材的編寫和組織里，不死讀書，會(huì)創(chuàng)新，會(huì)創(chuàng)造，能實(shí)踐，能實(shí)現(xiàn)，依然是新時(shí)代人才培養(yǎng)的需求。

大部分題目均點(diǎn)出明確的需要求解的問題或需要證明的結(jié)論，方向明確的目標(biāo)證明是定義定理的實(shí)踐操作，而由已知結(jié)果發(fā)散思維，尋找可能的結(jié)論或是自行補(bǔ)充部分條件帶出新的結(jié)果，則是創(chuàng)新發(fā)展。開放性問題既是解題過程中找到思路方向的目標(biāo)證明的有效訓(xùn)練，也是發(fā)揮學(xué)生思考的主觀能動(dòng)性，不是被動(dòng)的吸收知識(shí)，而是創(chuàng)造性的獲得新知識(shí)的體驗(yàn)，有助于學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)體系的發(fā)生發(fā)展過程，也是培養(yǎng)創(chuàng)新型人才的有效途徑。都說數(shù)學(xué)是思維的體操，將思維上訓(xùn)練的成果運(yùn)用在學(xué)生成長和人生的方方面面，不失為數(shù)學(xué)有用的一種體現(xiàn)。

問題2中第一問的常見答案是：過A點(diǎn)在平面ABC內(nèi)作直線AB的垂線AG，又因?yàn)橹本€PA垂直于平面ABC，則直線PA垂直于直線AG，且直線PA與直線AB相交于A點(diǎn)，故直線AG垂直于平面PAB則垂直于直線PA。這一做法的思路本質(zhì)為三垂線定理的應(yīng)用，抓好學(xué)生的內(nèi)功修養(yǎng)，內(nèi)化為定義定理性質(zhì)的有機(jī)理解和感悟，生成結(jié)論型應(yīng)用，外顯為解題能力的提高。第一問是異面直線垂直的常見方法之一，即利用線面垂直得到線線垂直。

問題2中第二問大開腦洞，尋找異面直線垂直的第二種可行的解決路徑。問題設(shè)置會(huì)讓部分定義掌握扎實(shí)、思維靈活的學(xué)生感覺十分簡單，即該平面只需在平面PAB內(nèi)作直線AD垂直直線PB交PB于D，在平面PCB內(nèi)過D點(diǎn)作直線DE垂直于直線PB。該做法在課堂呈現(xiàn)之后，教師繼續(xù)發(fā)問，添加了直線AD、DE后，三棱錐P-ABC中共有幾個(gè)鱉臑?zāi)Ｐ?，從而引發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)關(guān)鍵點(diǎn)E點(diǎn)的所在位置，讓思考落到實(shí)處。從被動(dòng)的解題到能夠摸出題目的脈搏，探索出題的方向，是更高層次的訓(xùn)練，降低學(xué)生作圖的隨意性，有的放矢的放置輔助線，避免偏離題意，使解題可持續(xù)發(fā)展，正是本問設(shè)置的主要意圖。

兩個(gè)設(shè)問的延續(xù)性，解決尋找直線在某一平面內(nèi)的垂線的作圖問題，即過直線上一點(diǎn)做直線的垂面，垂面與已知平面的交線即為與該直線垂直的直線。利用線面垂直的判定和性質(zhì)探尋異面直線垂直幾何形態(tài)的擴(kuò)展，讓解題不枯燥，充滿想象力和創(chuàng)造力。

3.3 迎難而上，總結(jié)提煉

問題3：請(qǐng)找出平面ADE與平面ABC的二面角的平面角.

問題2的設(shè)置，為問題3尋找二面角的棱奠定了良好的圖形基礎(chǔ)。作出二面角的棱的垂面，垂面與兩個(gè)半平面的交線所形成的角即二面角的平面角。這是與二面角平面角的定義有機(jī)融合，尋找二面角平面角的有效作圖方法之一。以定義提問題，用問題帶思路，幾番探索，就能找準(zhǔn)解決問題的條件，或通過輔助線在題目背景里創(chuàng)設(shè)新的條件，推進(jìn)新的結(jié)論，獲得有價(jià)值的解題體會(huì)，發(fā)展學(xué)生思維的創(chuàng)造性。高一作為立體幾何的初學(xué)階段，二面角平面角的作圖以及相關(guān)幾何關(guān)系的求解一直是學(xué)生的難點(diǎn)，借助了向量強(qiáng)大的計(jì)算功能，學(xué)生往往回避以幾何作圖尋找二面角平面角，但縱觀高考試題，若能熟練掌握幾何方法尋找平面角，完全可以實(shí)現(xiàn)事半功倍，節(jié)省大量計(jì)算時(shí)間，并有效提高結(jié)果的準(zhǔn)確性，高一學(xué)生不應(yīng)完全放棄幾何法探求平面角的方法學(xué)習(xí)。

4 教學(xué)啟示

立體幾何研究的是空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系和數(shù)量大小。線面垂直在位置關(guān)系判定和數(shù)量大小計(jì)算中都起到重要的作用。結(jié)合線面垂直的定義、判定和性質(zhì)可以串聯(lián)線線垂直、面面垂直、線線平行以及面面平行等關(guān)系。除此之外，線面垂直還在線面成角和面面成角中起到引領(lǐng)作用，本文中涉及的相關(guān)問題正是為了揭示其引領(lǐng)作用而設(shè)。問題2和問題3相輔相成，構(gòu)成方法整體，問題2中已知直線的垂面與已知平面相交得交線，由此獲得相互垂直的異面直線的一般作法，問題3中，此時(shí)已知直線為二面角的棱，同樣是做出或證出該直線的垂面，垂面與兩個(gè)半平面的交線所形成的角即二面角的平面角。單元或章節(jié)性學(xué)習(xí)需要一個(gè)整合提升，本節(jié)課將線面垂直在立體幾何全章中的作用，見微知著，展現(xiàn)在學(xué)生面前，既是對(duì)整章內(nèi)容的復(fù)習(xí)整理，也是對(duì)章節(jié)難點(diǎn)的突破。整體性數(shù)學(xué)思維指導(dǎo)下，利用線面垂直以點(diǎn)帶面，輻射創(chuàng)新，引導(dǎo)學(xué)生合理遷移、大膽推測，用統(tǒng)一性的思想方法解決（或看待）同一類問題，是筆者在一線教學(xué)過程中做出的嘗試，懇切希望得到專家同行的指導(dǎo)和建議。

參考文獻(xiàn)

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福建師大附中 孫舒萌