孫朝仁

摘? 要：以“一元二次方程”復(fù)習(xí)課為例，說明初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課思維轉(zhuǎn)型的基本路徑，包括問題情境的連續(xù)性、變式整合的全息性及關(guān)聯(lián)思考的支架性，涉及點(diǎn)動成線、線動成面、面動成體等維度知識體系的建立. 通過對數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課思維轉(zhuǎn)型的研究，旨在讓學(xué)生“好復(fù)習(xí)”和“復(fù)習(xí)好”，落地“學(xué)好數(shù)學(xué)”的課程目標(biāo).

關(guān)鍵詞：思維轉(zhuǎn)型;一元二次方程;復(fù)習(xí)課;課例研究

一直以來，“概念 + 練習(xí)”是初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的普遍模式. 學(xué)生做得多、想得少，教師批改得多、研究得少，復(fù)習(xí)效果可想而知. 在努力實現(xiàn)“學(xué)好數(shù)學(xué)”的當(dāng)下，探討數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的思維轉(zhuǎn)型就顯得非常必要而且十分重要.

本文以蘇科版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》九年級上冊（以下統(tǒng)稱“教材”）第1章“一元二次方程”的復(fù)習(xí)課為例，在重組花圃問題、藏書問題、圍矩形問題、利潤問題、襯衫降價問題等經(jīng)典問題的條件下，說明思維轉(zhuǎn)型的積極意義和行動路徑. 主要包括問題情境的連續(xù)性、變式整合的全息性、關(guān)聯(lián)思考的支架性. 落地“學(xué)會數(shù)學(xué)—學(xué)好數(shù)學(xué)”的課程目標(biāo).

一、問題情境的連續(xù)性，建構(gòu)“點(diǎn)動成線”的一維知識體系

學(xué)生必須理解地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，根據(jù)先前的經(jīng)驗和知識，積極建構(gòu)新知識. 顯然，“理解地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)”至少要具備兩個條件：一是問題情境與學(xué)生的認(rèn)知水平一致;二是問題情境必須貼近學(xué)生的生活實際且具有“一意性”（“一意性”指同一個問題情境）. 簡單地說，就是要求問題情境的設(shè)置要具有連續(xù)性特征. 這樣才能根據(jù)個體先前的知識經(jīng)驗，進(jìn)行積極有效的新知建構(gòu)，形成“點(diǎn)動成線”（知識鏈）的一維知識體系. 例如. 我們研究一次函數(shù)，就需要二元一次方程、一元一次方程和一元一次不等式等先前經(jīng)驗提供支持，也就是問題情境的設(shè)置需要關(guān)注這些知識要素的連續(xù)滲透，這樣才能建立系統(tǒng)的概念譜系. 問題情境的連續(xù)性是復(fù)習(xí)課與新授課的思維分水嶺，能讓新知增值、舊知豐富、認(rèn)知結(jié)構(gòu)外擴(kuò).

“一維知識體系”是線性知識體系的替代概念，是由“生活—數(shù)學(xué)”的常見思維方式，也是數(shù)學(xué)再抽象的過程，有助于思維的延伸，進(jìn)而讓知識成線、思想連續(xù)、經(jīng)驗緩存. 換句話說，問題情境的連續(xù)性是將學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為認(rèn)知結(jié)構(gòu)的重要載體.

環(huán)節(jié)1：“連續(xù)性”問題情境重組及其變式.

在“一元二次方程”復(fù)習(xí)課的起始環(huán)節(jié)，構(gòu)造連續(xù)性問題情境需要做出如下努力：一是對教材問題進(jìn)行有序重組，落地“用好教材”的目標(biāo);二是關(guān)注內(nèi)源變式，形成線性概念體系;三是賦予恰當(dāng)?shù)摹耙灰庑浴眴栴}情境，落地有效復(fù)習(xí)的目標(biāo).

具體來說，可以建構(gòu)以下連續(xù)性問題情境.

題目1? 如圖1，某農(nóng)場要圍成一個矩形南瓜育苗場，一邊利用足夠長的墻，另外三邊用總長為32米的柵欄恰好圍成.

（1）試問能圍成面積是96平方米的矩形育苗場嗎？如果能，說明圍的方法;如果不能，說明理由.

（2）能圍成面積為130平方米的矩形育苗場嗎？

解析：（1）設(shè)AB為[x]米，則BC為[32-2x]米. 根據(jù)題意，得[x32-2x=96.] 進(jìn)而可得，當(dāng)AB的長為12米或者4米時，能圍成條件矩形.

同時，教師也可以基于不同角度看問題的能力培養(yǎng)角度，引導(dǎo)學(xué)生通過設(shè)BC的長為[x]米解決問題.

（2）設(shè)AB為[x]米，則BC為[32-2x]米. 根據(jù)題意，得[x32-2x=130，] 即[x2-16x+65=0.] 因為[b2-4ac<0，] 所以不能圍成條件矩形.

這個問題情境包括兩個重組因素：一是花圃問題;二是鐵絲圍矩形問題. 此題抓住兩個問題的共性圖形特征——矩形，構(gòu)造了連續(xù)性的問題情境，旨在突出“抽象—建模—解?！钡捏w系化再認(rèn)知特征，改善重復(fù)認(rèn)知狀態(tài)，有助于學(xué)生形成線性知識體系，為數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)提供支持.

變式1：如圖2，某農(nóng)場要圍成一個矩形南瓜育苗場，一邊利用足夠長的墻，另外三邊用總長為32米的柵欄恰好圍成. 農(nóng)場主想給育苗場BC邊打開一個寬1米的門，且使得育苗場的面積為96平方米，試問該怎么圍？

解析：設(shè)AB為[x]米，則BC為[32-2x+1]米. 根據(jù)題意，得[x32-2x+1=96;] 或者設(shè)BC為[x]米，則[AB]為[32-x+12]米，根據(jù)題意，得[x?32-x+12=96.]

變式2：如圖3，某農(nóng)場要圍成一個矩形南瓜育苗場. 一邊利用足夠長的墻，另外三邊用總長為32米的柵欄恰好圍成. 農(nóng)場主想在育苗場里面修兩條寬度為1米的供水道，且使育苗場余下的面積為86.25平方米，試問應(yīng)該怎樣圍？

解析：設(shè)AB為[x]米，則BC為[32-2x]米. 根據(jù)題意，得[x-132-2x-1=86.25;] 或者設(shè)[BC]為[x]米，則AB為[32-x2]米. 根據(jù)題意，得[x-132-x2-1=86.25.]

綜上可知，原問題與變式問題具有內(nèi)源性思想淵源，突出了問題情境建設(shè)的“一意性”和“連續(xù)性”思維特征. 變式1的創(chuàng)設(shè)，既是一種逆向思考，又是一種補(bǔ)償思維，有助于培養(yǎng)學(xué)生解決實際問題的能力，反映了數(shù)學(xué)與生活的內(nèi)部意義;變式2是由教材習(xí)題改編而來，在平移變換的參與下，可以調(diào)用學(xué)生的已有知識經(jīng)驗，發(fā)展學(xué)生的知識關(guān)聯(lián)能力，促進(jìn)學(xué)生產(chǎn)生線性概念體系. 這是傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)變式教育給數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課帶來的好處.

二、變式整合的全息性，架構(gòu)“線動成面”的二維知識體系

一直以來，數(shù)學(xué)變式在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教育中發(fā)揮著重要作用. 然而，很少有人對“變式”內(nèi)涵的全息性進(jìn)行系統(tǒng)研究. 事實上，這里的“變式”不僅是簡單的外源變式（位置的變化、數(shù)量的變化等），而且是全息性內(nèi)源變式（參數(shù)的變化、某些隱性條件的增減等）. 也就是說，要在“變式—整合”的基礎(chǔ)上遷移知識、增值經(jīng)驗、增長數(shù)學(xué)才干. 例如，對于“一元二次方程”的復(fù)習(xí)，不是“概念 + 練習(xí)”，也不是“試卷 + 講評”，而是要打破教材原有的結(jié)構(gòu)體系變式整合相關(guān)問題，建立更高級的思維結(jié)構(gòu)體系，透過“樹木”（問題）看到“森林”（知識體系），讓學(xué)生通過復(fù)習(xí)能夠建立左右關(guān)聯(lián)、上下貫通的概念網(wǎng)絡(luò)，這就是“線動成面”的二維知識體系.

正如章建躍博士所言，數(shù)學(xué)育人必須用數(shù)學(xué)的方式，即學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維和語言進(jìn)行閱讀、運(yùn)算、推理和表達(dá)的方式. 一般來說，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課蘊(yùn)含更大的育人價值，關(guān)鍵是需要有效的變式整合，不能讓學(xué)生的思維在原地打轉(zhuǎn)，只有這樣才能發(fā)揮數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的最大功能.

教之道在于“度”，學(xué)之道在于“悟”，復(fù)習(xí)之道在于“變式 + 整合”. 變式是數(shù)學(xué)生生不息的思想源頭，是“活動—思考”的思維手段;整合是知識遷移的前提，是“線動成面”的思維機(jī)制.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在“實施建議”中明確指出，要把課堂教學(xué)知識置于整體知識體系中，注重知識的結(jié)構(gòu)和體系，體會對于某些數(shù)學(xué)知識可以從不同角度加以分析、從不同層次進(jìn)行理解. 這就要求在變式整合過程中，把握好三個層面的教學(xué)，包括內(nèi)源變式、外源變式、“一意性”整合和全息教學(xué). 這樣才能增值經(jīng)驗，建立全息性二維知識體系及其目標(biāo)體系.

環(huán)節(jié)2：“一意性”問題的整合及其探究.

在“一元二次方程”復(fù)習(xí)課的中間環(huán)節(jié)，可以創(chuàng)設(shè)基于背景“一意性”的問題. 旨在讓學(xué)生通過復(fù)習(xí)，建立“面積問題—增長率問題”的思維關(guān)聯(lián)，落地數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課目標(biāo).

題目2? 某農(nóng)場2018年的南瓜畝產(chǎn)量為2 000 kg，由于改進(jìn)了種植技術(shù)，農(nóng)場主預(yù)測2020年畝產(chǎn)量將達(dá)到2 420 kg.

（1）每年畝產(chǎn)量平均增長的百分率是多少？

（2）按照這樣的增長率. 該農(nóng)場2021年南瓜的畝產(chǎn)量能否達(dá)到2 660 kg？試說明理由.

解析：（1）設(shè)平均增長率為[x.] 根據(jù)題意，得[2 0001+x2=2 420.] 解得增長率為10%.

（2）因為[2 4201+10%=2 662]，所以畝產(chǎn)量能達(dá)到2 660 kg.

不難理解，這個問題的設(shè)計至少涵蓋教材中兩個問題因素的變式與整合——藏書問題和利潤問題. 將兩個背景問題整合為畝產(chǎn)量增長問題，這樣變式整合的價值在于讓學(xué)生的思維產(chǎn)生“育苗場面積問題—南瓜畝產(chǎn)量問題”的關(guān)聯(lián)，體現(xiàn)二維知識體系建立的基本方法，有助于學(xué)生復(fù)習(xí)好數(shù)學(xué). 同時，第（2）小題有助學(xué)生全息化學(xué)習(xí)，使得新授課與復(fù)習(xí)課有了明顯的思維落差，有利于發(fā)展學(xué)生增值經(jīng)驗的能力. 如果說畝產(chǎn)量增長問題的設(shè)置是一種以“一意性”問題進(jìn)行的整合，那么“畝產(chǎn)量能否達(dá)到2 660 kg”的問題則是一種綜合變式，有助于學(xué)生全息認(rèn)知的發(fā)生.

在史寧中看來，數(shù)學(xué)是一門創(chuàng)造性的、受審美因素支配的學(xué)科. 筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)創(chuàng)造就是整合變式，審美因素就是對“一意性”的恰當(dāng)把握. 唯有建立“一意性”的問題塊或問題鏈，方能讓復(fù)習(xí)課從“練習(xí)—再練習(xí)”走向“思考—再思考”.

三、關(guān)聯(lián)思考的支架性，重構(gòu)“面動成體”的三維知識體系

關(guān)聯(lián)思考是數(shù)學(xué)三維知識體系建立的關(guān)鍵. 三維知識體系的建立起于認(rèn)知需要，成于過程目標(biāo)和目標(biāo)過程，終于“面動成體”. 例如，一元二次方程的學(xué)習(xí)與復(fù)習(xí)，起于對概念對象的理解與把握，以“會做—會考”為目標(biāo). 為了“會做”，適當(dāng)?shù)闹С中跃毩?xí)就是思考支架. 而問題的重組與關(guān)聯(lián)，就是學(xué)生在過程目標(biāo)的指導(dǎo)下，走向目標(biāo)達(dá)成的表現(xiàn)形式，有助于學(xué)生在關(guān)聯(lián)中思考，在思考中關(guān)聯(lián)，較好地重構(gòu)知識技能體系、思想方法體系和基本活動經(jīng)驗體系的“三維知識體系”. 可以說，獨(dú)立思考、表達(dá)思考和關(guān)聯(lián)思考一直是數(shù)學(xué)課堂教育的實踐命題，是數(shù)學(xué)智慧生長的必經(jīng)思維路徑. 尤其是“關(guān)聯(lián)”與“思考”相遇，在“支架”思維的參與下，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的思維轉(zhuǎn)型可以預(yù)期. 換句話說，“會一題、通一類、連一片”這樣三維知識體系的建立，是關(guān)聯(lián)與思考反復(fù)作用的結(jié)果，是“問題情境—模型抽象—模型討論與解釋—模型拓展與使用”等支架支持的產(chǎn)物，這些行為支架能讓學(xué)生在最近發(fā)展區(qū)內(nèi)，形成結(jié)構(gòu)定向的知識經(jīng)驗及其思想方法，形成隱性的數(shù)學(xué)智慧，這就是關(guān)聯(lián)思考的最大貢獻(xiàn). 例如. 舉例說明就是獨(dú)立思考的一個支架，舉一反三就是關(guān)聯(lián)思考的常見方式，有助于學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)定向. 在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課“做”與“考”單線思維模式下，“習(xí)題練不完、試題考不完、試卷講不完”的背景下，研究關(guān)聯(lián)思考對數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的思維轉(zhuǎn)型意義重大、影響深遠(yuǎn).

文[2]指出，理解是對對象本質(zhì)的認(rèn)識，也是內(nèi)在概念網(wǎng)絡(luò)的建構(gòu). 數(shù)學(xué)知識之間的相互關(guān)聯(lián)性決定了借助知識的聯(lián)系. 形成新的知識是理解的重要環(huán)節(jié)，也是解決問題的基本依據(jù). 這里的關(guān)鍵詞“關(guān)聯(lián)”“聯(lián)系”“理解”突出了關(guān)聯(lián)思考的積極意義. 一是問題情境關(guān)聯(lián);二是知識結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián);三是思想方法關(guān)聯(lián). 這種聯(lián)系與理解有助于學(xué)生在復(fù)習(xí)過程中將一知半解的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，將靜態(tài)問題轉(zhuǎn)化動態(tài)問題，將教育的學(xué)術(shù)性轉(zhuǎn)化為教育的教育性，這就是數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的有效支架. 是學(xué)生“復(fù)習(xí)好”和“學(xué)得更好”的通用技術(shù)，是數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的未來. 當(dāng)然，問題組塊的頂層設(shè)計，需要依據(jù)學(xué)生的思維事實和已有經(jīng)驗在最近發(fā)展區(qū)創(chuàng)設(shè)與建設(shè)，方能形成不同層面的三維知識體系，促進(jìn)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的思維轉(zhuǎn)型. 為此，在關(guān)聯(lián)思考維度下做好以下三個方面的工作，方能“面動成體”：一是情境關(guān)聯(lián);二是算法關(guān)聯(lián);三是思考關(guān)聯(lián). 這些行為關(guān)聯(lián)是數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為認(rèn)知結(jié)構(gòu)的通途，是構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)知識體系的一種支架，有助于學(xué)生在最近發(fā)展區(qū)內(nèi)獲得學(xué)習(xí)效果的最大化.

環(huán)節(jié)3：“一意性”問題的拓展及其探究.

在“一元二次方程”復(fù)習(xí)課的最后環(huán)節(jié)呈現(xiàn)以下問題，有助于學(xué)生在關(guān)聯(lián)思考的過程中形成結(jié)構(gòu)性知識體系，落地“學(xué)好數(shù)學(xué)”目標(biāo).

題目3? 某南瓜批發(fā)商以每箱100元價格銷售南瓜，平均每天可出售南瓜20箱. 為了擴(kuò)大銷售量，讓利顧客，采取降價措施. 市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，如果每箱降價1元，那么平均每天就可以多銷售2箱. 要想平均每天銷售6 000元，每箱定價為多少？

解析：設(shè)每箱降價[x]元. 根據(jù)題意，得[100-x ·][20+2x=6 000.] 可知每箱的定價是50元或60元. 但需要擴(kuò)大銷量，故答案為50元. 如果設(shè)每箱南瓜定價為[y]元. 根據(jù)題意，得[y20+2100-y=6 000.] 也可知答案是50元.

變式：某南瓜批發(fā)商以每箱100元價格銷售南瓜，平均每天可出售南瓜20箱. 為了擴(kuò)大銷售量，讓利顧客，采取降價措施. 市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，如果每箱降價1元，那么平均每天就可以多銷售2箱. 若每箱南瓜進(jìn)貨價為60元，要想平均每天銷售盈利1 200元. 試計算每箱南瓜定價為多少？

解析：設(shè)每箱南瓜定價為[a]元. 根據(jù)題意，得[a-6020+2100-a=1 200.] 解得南瓜每箱定價為80元或90元時，均可實現(xiàn)每天盈利1 200元. 但需要讓利顧客，故南瓜每箱定價為80元.

如果說“育苗場面積問題—南瓜畝產(chǎn)量問題—南瓜批發(fā)銷售問題”是情境關(guān)聯(lián)，那么“方程關(guān)系的建立與求解”就是算法關(guān)聯(lián)，而“多種解法的探討與確立”則是思考關(guān)聯(lián)的基本思維方式，有助于學(xué)生在關(guān)聯(lián)中思考，在思考中關(guān)聯(lián)，形成立體概念產(chǎn)生式系統(tǒng)，落地真正意義上的系統(tǒng)復(fù)習(xí)，提高復(fù)習(xí)課的質(zhì)量.

目前，隨著《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》的頒布及高中新教材的使用，“大單元、大情境、大任務(wù)”統(tǒng)領(lǐng)下的單元教學(xué)應(yīng)運(yùn)而生，旨在做到“情境—任務(wù)—知識”合一，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng). 筆者認(rèn)為，本文所提出的“連續(xù)性”問題情境設(shè)置、“一意性”情境問題的設(shè)計，正體現(xiàn)了“大單元、大情境、大任務(wù)”的思想. 尤其對于初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課來說，這種教學(xué)設(shè)計可以有效避免知識復(fù)習(xí)的碎片化和孤立化，追求知識復(fù)習(xí)的條件化和任務(wù)化，使得復(fù)習(xí)課不再是“重復(fù)學(xué)習(xí)”的課，進(jìn)而成為真正意義上的“深度學(xué)習(xí)”課.

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