函數(shù)與不等式齊驅(qū)并駕 多角度解決最值問題

張培杰 韓業(yè)

摘 要：最值問題能考查學(xué)生推理、轉(zhuǎn)換、歸納等綜合數(shù)學(xué)能力，每年高考都會出現(xiàn). 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，最值問題的有兩個主要的解決策略，一是轉(zhuǎn)換成函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)求解，二是利用不等式求解.2020年全國Ⅱ卷第21題第（2）問是典型的最值問題，本文分別從函數(shù)性質(zhì)和不等式的角度給出不同的解答，以總結(jié)出一般的思路步驟，供復(fù)習(xí)參考.

關(guān)鍵詞：最值問題;函數(shù);不等式;一題多解

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2021）04-0037-03

一、真題再現(xiàn)

（2020年全國Ⅱ卷第21題）已知函數(shù)f（x）=sin2xsin2x.

（1）討論f（x）在（0，π）的單調(diào)性;

（2）證明：f（x）≤338;

（3）證明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤3n4n.

通過觀察題目發(fā)現(xiàn)，該題以三角函數(shù)為背景，考查判斷函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性、求函數(shù)值域、不等式證明等多個知識點(diǎn). 題目綜合性強(qiáng)，難度較大，對考生的邏輯推理能力和運(yùn)算能力有較高的要求，很好的體現(xiàn)了課程標(biāo)準(zhǔn)要求的核心素養(yǎng)導(dǎo)向，具有高考命題需要的區(qū)分度. 下面重點(diǎn)給出第（2）問的一題多解，對于第（1）、（3）問僅給出一種可行的解答.

二、真題解析

（1）分析 要討論函數(shù)f（x）在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，只需要求導(dǎo)，由導(dǎo)函數(shù)值在區(qū)間內(nèi)的正（負(fù)）可得到原函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增（減），該題是常規(guī)考法.

解答 對函數(shù)f（x）=sin2xsin2x求導(dǎo)，得f ′（x）=2sinxcosxsin2x+2sin2xcos2x=2sin2x（2cos2x+1），

當(dāng)x∈（0，π）時，令f ′（x）=0，得x=π3或x=2π3.

1°當(dāng)x∈0，π3∪2π3，π時，f ′（x）>0;

2°當(dāng)x∈π3，2π3時，f ′（x）<0.

因此，f（x）在（0，π）上的單調(diào)增區(qū)間為0，π3和2π3，π，減區(qū)間為π3，2π3.

（2）要想證明f（x）≤338，只需要證明-338≤f（x）≤338即可.

分析1 直接求導(dǎo)，利用函數(shù)單調(diào)性求最值. 要想求出函數(shù)的最值（取值范圍），借助導(dǎo)數(shù)先判斷單調(diào)性再求最值是最常用的方法. 因此，可以借助導(dǎo)數(shù)解答這個問題.

解答1 由（1）知，f ′（x）=2sin2x（2cos2x+1）=（1-cos2x）（2cos2x+1），令f ′（x）=0，得cos2x=1或cos2x=-12.

由f ′（x）≥0，得-12≤cos2x≤1，即2kπ-2π3≤2x≤2kπ+2π3（k∈Z），

由此得kπ-π3≤x≤kπ+π3（k∈Z），因此f（x）在kπ-π3，kπ+π3（k∈Z）上單調(diào)遞增;

由f ′（x）≤0，得-1≤cos2x≤-12，即2kπ-π≤2x≤2kπ-2π3（k∈Z）或2kπ+2π3≤2x≤2kπ+π（k∈Z），由此得kπ-π2≤x≤kπ-π3（k∈Z）或kπ+π3≤x≤kπ+π2（k∈Z），因此f（x）在kπ-π2，kπ-π3（k∈Z）和kπ+π3，kπ+π2（k∈Z）單調(diào)遞減.

綜上，f（x）max=maxfkπ-π2，fkπ+π3=338，f（x）min=minfkπ-π3，fkπ+π2=-338.

所以，-338≤f（x）≤338，即f（x）≤338得證.

評析 這種解法是能夠容易想到的，觀察解答過程可以發(fā)現(xiàn)，對計算的要求較高. 此外，需要考生對三角函數(shù)的圖象性質(zhì)非常熟悉才能由f ′（x）≥0（或f ′（x）≤0）正確的求出x的范圍. 體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)，考查學(xué)生的綜合運(yùn)用能力.

分析2 利用三角函數(shù)周期性，轉(zhuǎn)化為連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的最值問題. 周期性是三角函數(shù)的一個重要性質(zhì)，該題以三角函數(shù)為背景，易想到利用周期性解決. 由三角函數(shù)周期性，可以把問題轉(zhuǎn)化為求一個閉區(qū)間內(nèi)的最值問題，只要求出函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)的最值即可.

解答2 由題意，f（x+π）=sin2（x+π）sin2（x+π）=f（x），所以π是f（x）的一個周期.因此，問題可以轉(zhuǎn)化為：

證明當(dāng)x∈0，π時，f（x）≤338.

由（1）知，因此f（x）在0，π3和2π3，π上單調(diào)遞增，在π3，2π3單調(diào)遞減.

所以f（x）max=maxfπ3，fπ=fπ3=338，

f（x）min=minf2π3，

f0=f2π3=-338.

所以，-338≤f（x）≤338，即f（x）≤338得證.

評析 這種解法較為靈活，要求學(xué)生具有抽象概括的能力、直觀想象的核心素養(yǎng)，能夠在看到三角函數(shù)時候即想到周期性，并將問題轉(zhuǎn)為為一個閉區(qū)間上的最值問題. 學(xué)生在平時復(fù)習(xí)中，要熟練掌握基礎(chǔ)知識，還要注意抽象概括能力的培養(yǎng).

分析3 平方處理，利用四元均值不等式證明.題目要證的式子中含有絕對值，可以通過平方去掉絕對值. 平方后，問題轉(zhuǎn)化為求乘積的最大值，可以構(gòu)造四元均值不等式.

解答3 由題意，

f（x）2=sin4x·sin22x

=4sin6x·cos2x

=43sin2x·sin2x·sin2x·3cos2x

≤43·sin2x+sin2x+sin2x+3cos2x44=2764，

當(dāng)且僅當(dāng)sin2x=3cos2x，即x=kπ-π3或x=kπ+π3（k∈Z）時，取“=”.

由此，可得f（x）≤338.

分析4 先降冪化次數(shù)為1，再平方處理，利用四元均值不等式證明. 題目所給函數(shù)表達(dá)式兩個因式的次數(shù)不統(tǒng)一，可以利用降冪公式把兩項(xiàng)次數(shù)都化為1. 此時，再通過平方去掉絕對值，問題再次轉(zhuǎn)為為求乘積的最大值，可以構(gòu)造四元均值不等式.

解答4 由題，

f（x）=sin2xsin2x=1-cos2x2sin2x，

所以f（x）2=14（1-cos2x）2sin22x

=14（1-cos2x）2（1-cos22x）

=14（1-cos2x）3（1+cos2x）

=14×13（1-cos2x）（1-cos2x）（1-cos2x）（3+3cos2x）

≤1121-cos2x+1-cos2x+1-cos2x+3+3cos2x44

=2764.

當(dāng)且僅當(dāng)1-cos2x=3+3cos2x，即x=kπ-π3或x=kπ+π3（k∈Z）時，取″=″.

由此，可得f（x）≤338.

評析 這兩種解法都蘊(yùn)含兩個關(guān)鍵思路，一是看到絕對值想到通過平方取絕對值，二是能夠想到均值不等式中“和定積最大”解決最值問題. 不同的是，解法3直接平方處理，解法4先降冪再處理.不論哪一種解法，都要求對三角函數(shù)相關(guān)公式非常熟悉，有較強(qiáng)的運(yùn)算能力才能正確解答. 此外，教材中所學(xué)的是二元均值不等式，這兩種解法都用到四元均值不等式，要求學(xué)生具有較強(qiáng)的邏輯推理能力.

（3）分析 利用第（2）問已經(jīng)證明的結(jié)論，平方處理，可以出現(xiàn)要證明目標(biāo)中的34. 通過換元，再累乘，即可構(gòu)造出題目要證明的式子.

解答 由（2）知，f（x）≤338，

兩邊平方，得f（x）2≤2764，

即sin4x·sin22x≤343，其中x∈R.

將x依次替換為2x，22x，23x，…，2n-1x，

得sin4（2x）·sin2（22x）≤343，

sin4（22x）·sin2（23x）≤343，

sin4（23x）·sin2（24x）≤343，…，sin4（2n-1x）·sin2（2nx）≤343.

累乘，得

sin4x·sin6（2x）·sin6（22x）·sin6（23x）

·…·sin6（2n-1x）·sin2（2nx）

≤343n

又因?yàn)閟in6x·sin6（2x）·sin6（22x）·…·sin6（2n-1x）·sin6（2nx）

=

sin2x·sin4（2nx）·sin4x·sin6（2x）·sin6（22x）·…·sin6（2n-1x）·sin2（2nx）

≤1×1×343n

即sin2xsin22xsin24x…sin22nx3≤343n，

所以sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤3n4n.

評析 該題涉及到三角函數(shù)性質(zhì)，絕對值處理，數(shù)列累乘，放縮證明不等式等知識點(diǎn)和相關(guān)方法，綜合性強(qiáng)，難度較大，很好體現(xiàn)了高考的選拔性功能. 在平時復(fù)習(xí)中，首先應(yīng)注重夯實(shí)基礎(chǔ)，其次要注意多個知識點(diǎn)的融合，培養(yǎng)學(xué)生的綜合運(yùn)用能力.可以發(fā)現(xiàn)，高考數(shù)學(xué)壓軸題融合的知識點(diǎn)較多，綜合性強(qiáng)，難度大，是最容易體現(xiàn)高考區(qū)分度的題型. 基于對今年高考題的分析解答，提出如下復(fù)習(xí)建議：

1.重視基礎(chǔ)知識學(xué)習(xí)，強(qiáng)化基本技能訓(xùn)練

基礎(chǔ)知識是“四基”能力培養(yǎng)和核心素養(yǎng)養(yǎng)成的最重要載體，概念的形成過程就是數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的過程.因此，要深刻理解相關(guān)知識的基本概念，理解公式定理的形成過程，掌握基本方法的適用“題境”，加強(qiáng)審讀問題、分析問題、解決問題的訓(xùn)練.

2. 關(guān)注數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

在平時教學(xué)和學(xué)習(xí)中，引導(dǎo)學(xué)生正確使用數(shù)學(xué)思想放方法分析問題，訓(xùn)練他們抽象概括、轉(zhuǎn)化問題的能力，提高數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，從多個方面培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).3. 研究高考命題思路，總結(jié)命題規(guī)律

高考試題是命題專家根據(jù)《課程標(biāo)準(zhǔn)》和考試大綱精心打造的，復(fù)習(xí)通過研讀近些年的高考試題，分析理解命題思路、意圖和理念，總結(jié)命題規(guī)律. 通過研讀高考題，避免大搞題海戰(zhàn)術(shù)，實(shí)現(xiàn)高效備考.

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[2]林國紅.多視角 巧突破——2018年全國Ⅰ卷理數(shù)第16題的解法賞析與探究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版），2018（17）：44-46.

[3]李晨.淺談最值問題的解決方法[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2020（18）：83-84.

[4]湯敬鵬，湯先鍵.n元均值不等式證法的探索性學(xué)習(xí)[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2007（07）：16-17+7.

[責(zé)任編輯：李 璟]