2020年全國數(shù)學(xué)中考“隱圓”問題探究

梁志堅(jiān)

一、問題的提出

圓是初中數(shù)學(xué)“圖形與幾何”模塊中最重要的內(nèi)容之一. 縱觀近年來全國各省市中考試題，圓的考查形式往往有兩種：一種是題干中給出圓，以圓為背景命制試題;另一種是題設(shè)中沒有圓，但在解題過程中，需要構(gòu)造圓，利用圓的相關(guān)知識(shí)來解決問題. 我們稱第二種為“隱圓”問題。

二、問題的研究

（一）“隱圓”問題類型

類型一. 四點(diǎn)共圓型

初中階段常見的四點(diǎn)共圓模型有：

1.根據(jù)定義：到定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)共圓（如圖1）;

2.共斜邊的兩個(gè)直角三角形的頂點(diǎn)共圓（如圖2）;

3.對(duì)角互補(bǔ)的四邊形頂點(diǎn)共圓（如圖3）;

4.同一線段同側(cè)所對(duì)角相等，角的頂點(diǎn)與線段兩個(gè)端點(diǎn)共圓（如圖4）。

類型二. 路徑（軌跡）為圓（?。┬?/p>

動(dòng)點(diǎn)問題是全國數(shù)學(xué)中考命題的熱點(diǎn)，其命題形式大致分為兩類：

1. 任務(wù)型動(dòng)點(diǎn)：由雙動(dòng)點(diǎn)與圖中的一至二個(gè)定點(diǎn)組成的圖形，滿足條件：（1）構(gòu)造成特殊三角形或四邊形;（2）與圖中已有三角形全等或相似;（3）圖形的周長(zhǎng)或面積成一定比例關(guān)系或是獲取最值;（4）構(gòu)成一定度數(shù)的角;

2. 圖形在進(jìn)行平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)這三種基本幾何變換過程中，圖形中某一特殊點(diǎn)（常為中點(diǎn)）的路徑問題，或是與這一點(diǎn)相關(guān)的第一類問題. 而這一特殊點(diǎn)的路徑，通常有兩種情況：一是直線型（線段），二是圓（?。┬?。

（二）“隱圓”問題解題方法研究

2020年全國數(shù)學(xué)中考與“隱圓”有關(guān)的試題，考查的核心數(shù)學(xué)思想是轉(zhuǎn)化，考查的熱點(diǎn)問題是求最值. 最值問題又分為二類：一是求線段長(zhǎng)的最值;二是求三角形面積的最值.鑒于四點(diǎn)共圓問題前面已有較為詳細(xì)的論述，所以本環(huán)節(jié)側(cè)重闡述最值問題、倍角（半角）問題、定角對(duì)定弦問題。

1. 最值問題：

圓中最值問題，有個(gè)最核心的“元”模型——“一箭穿心”，如圖9：

“尋模型——現(xiàn)隱圓——明路徑——解最值”，是這類問題的解題思路與過程. 另外，特別強(qiáng)調(diào)的是，在圓中取弦的中點(diǎn)，與圓心構(gòu)造成三角形的中位線，是非常重要的一種作輔助線的方法，這種方法在高中立體幾何中證明線、面平行，也經(jīng)常用到。

2. 倍角與半角問題

在一些二次函數(shù)綜合題中，會(huì)出現(xiàn)“不定角”問題. “不定”，是指角的位置不明確，解題時(shí)，有時(shí)需要通過構(gòu)造圓，利用圓周角的性質(zhì)，來進(jìn)行角的轉(zhuǎn)化。

根據(jù)倍角或半角關(guān)系，構(gòu)造“隱圓”，是中考“隱圓”問題中難度最大的一類，需要教師在平常教學(xué)中，尤其是數(shù)學(xué)尖子生培訓(xùn)過程中，經(jīng)常滲透這種轉(zhuǎn)化的思想與方法。

3. 定角對(duì)定弦問題

“定角對(duì)定弦”問題有顯性且確定的模型，其本質(zhì)如下：

（1）若△ABC的邊AB確定，∠C的大小確定，則點(diǎn)C為△ABC外接圓上（不與A、B重合）一動(dòng)點(diǎn)，△ABC的形狀并不確定，如下圖：

（2）“定角對(duì)定弦問題”，通常是求路徑長(zhǎng)，當(dāng)我們明白（1）中的實(shí)質(zhì)之后，就很容易辨識(shí)問題的本質(zhì)并快速找到解決方法：先確定△ABC外接圓，再求半徑，最后求路徑長(zhǎng)（弧長(zhǎng)）。

（三）“隱圓”問題教學(xué)導(dǎo)向

中考試題是教學(xué)的導(dǎo)向標(biāo). “隱圓”問題對(duì)初中數(shù)學(xué)教學(xué)有何教學(xué)導(dǎo)向呢？

1.教學(xué)要圍繞核心素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生思維能力

真正的學(xué)科素養(yǎng)，不應(yīng)只是一些文本的知識(shí)，應(yīng)是內(nèi)化為學(xué)生意識(shí)中的一種涵養(yǎng)與關(guān)鍵能力. “隱圓”問題，是學(xué)生較深入掌握?qǐng)A的知識(shí)后，對(duì)相關(guān)知識(shí)與方法靈活運(yùn)用的一種綜合性考查，教師在初三數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)重視這類問題的教學(xué)研究，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。

2.辯證的看待“問題模型”

近幾年，關(guān)于數(shù)學(xué)問題的模型，各類雜志、自媒體、網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)均有較大力度的宣講，有些甚至歸納出上百個(gè)模型. 目前，在全國較大的一些數(shù)學(xué)教師研究群里，對(duì)問題模型教學(xué)也有較大的爭(zhēng)議，不少教育專家反對(duì)過多的模型教學(xué)，認(rèn)為這樣會(huì)拘束學(xué)生的思維發(fā)展。筆者認(rèn)為，問題模型教學(xué)契合數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的“建模思想”，對(duì)學(xué)生較快掌握某一模塊或?qū)ｎ}有較大的促進(jìn)作用，但要注意兩點(diǎn)：一是不能過多，否則學(xué)生會(huì)淹沒在模型中迷失方向;二是不能死記模型，必須讓學(xué)生真正明白模型的來源、原理. 下面以“隱圓”最值問題的“元”模型為例，闡述模型如何講透數(shù)學(xué)道理。

PA為什么最短？PB為什么最長(zhǎng)？教師可以向?qū)W生講清楚這個(gè)道理：

如圖10，點(diǎn)C為⊙O上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），在△POC中，OC+CP>OP，即OC+CP>OA+AP，因?yàn)镺A=OC，所以CP>AP. 同樣可證明PB>PC。

3.加強(qiáng)單元復(fù)習(xí)中的專題教學(xué)，重視內(nèi)容設(shè)計(jì)的“生長(zhǎng)性”

復(fù)習(xí)不是知識(shí)、方法的簡(jiǎn)單重復(fù)，而是自主建構(gòu)、不斷知新、不斷生長(zhǎng)的過程。專題復(fù)習(xí)聚焦核心內(nèi)容、核心思想方法，它應(yīng)具有以下三個(gè)特征：

（1）生長(zhǎng)性. 所謂生長(zhǎng)性，由元問題出發(fā)，基于基礎(chǔ)與經(jīng)驗(yàn)，在解決問題過程中不斷產(chǎn)生新問題，不斷生長(zhǎng)新的數(shù)學(xué)知識(shí)、方法、思維、經(jīng)驗(yàn)。

（2）結(jié)構(gòu)性.專題復(fù)習(xí)主要關(guān)注知識(shí)在不同領(lǐng)域的內(nèi)在聯(lián)結(jié)，或通過知識(shí)聯(lián)結(jié)載體，或通過某一思想方法聯(lián)結(jié)載體。

（3）層次性.專題復(fù)習(xí)主題明顯，思維要求較高，目標(biāo)定位不清晰會(huì)導(dǎo)致“專、深、難”，中等生與學(xué)困生不能接受. 因此在內(nèi)容設(shè)計(jì)時(shí)，要體現(xiàn)高立意、低起點(diǎn)，關(guān)注不同層次學(xué)生的發(fā)展，從而激活思維動(dòng)力，增長(zhǎng)思維活力。

參考文獻(xiàn)：

[1]楊軍.巧用點(diǎn)線命題凸顯素養(yǎng)考查[J].中學(xué)數(shù)學(xué)參考，2019.4中.54-56.

[2]姜曉翔.初中數(shù)學(xué)命題方法之延續(xù)策略[J].中國數(shù)學(xué)教育，2019.6.39-41.

[3]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社.

[4]戴娟.微專題在中考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)中的實(shí)踐與思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊（蘇州），2018.11.23-25.

[5]錢云祥.源自教材基于課堂劍指素養(yǎng)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志（曲阜），2019.8.54-55.

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