關(guān)于高等數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)思想探討分析

夏路杰

摘要：在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的過程中，首先接觸到的就是關(guān)于數(shù)學(xué)名詞的概念問題，那么深入了解概念是學(xué)習(xí)掌握高等數(shù)學(xué)的第一要?jiǎng)?wù);在掌握了概念之后，接下來就是運(yùn)算能力以及對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)的熟識(shí)程度;然后就是在學(xué)習(xí)過程中及做題中學(xué)習(xí)實(shí)踐的做題技巧，這就逐漸形成了數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)知識(shí)中蘊(yùn)含的思想方法是極其豐富的，尤其是隱藏于數(shù)學(xué)知識(shí)背后的數(shù)學(xué)思想的價(jià)值不可忽視。本文對(duì)數(shù)學(xué)分析內(nèi)容中的函數(shù)思想、極限思想、連續(xù)思想、數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行初步的分析。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)分析;數(shù)學(xué)思想分析

一、函數(shù)思想

函數(shù)概念和函數(shù)思想的提出和運(yùn)用，使得變量數(shù)學(xué)誕生了，常量數(shù)學(xué)發(fā)展到變量數(shù)學(xué)，函數(shù)思想起了決定性作用。函數(shù)是數(shù)學(xué)分析的研究對(duì)象，函數(shù)思想就是運(yùn)用函數(shù)的觀點(diǎn)，把常量視作變量、化靜為動(dòng)、化離散為連續(xù)，將待解決的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)加以解決的一種思想方法。

在數(shù)學(xué)分析中，我們通常用來解決不等式的證明、方程根的存在性與個(gè)數(shù)、級(jí)數(shù)問題、數(shù)列極限等。

二、極限的思想

極限的思想方法是近代數(shù)學(xué)的一種重要思想方法，數(shù)學(xué)分析就是以極限概念為基礎(chǔ)、極限理論為主要工具來研究初等函數(shù)的一門學(xué)科。極限是研究無限的有力工具，“極限”揭示了常量與變量、有限與無限、直線與曲線、勻速運(yùn)動(dòng)與變速運(yùn)動(dòng)對(duì)立統(tǒng)一的關(guān)系。極限的思想方法貫穿于數(shù)學(xué)分析課程的始終，一方面利用極限的思想給出了連續(xù)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、定積分、無窮?。ù螅┝?、級(jí)數(shù)的斂散性、多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、廣義積分的斂散性、重積分、曲線積分、曲線弧長(zhǎng)、曲面積分等的概念，數(shù)學(xué)分析中幾乎所有的概念都離不開極限的思想。另一方面在閉區(qū)間列上的區(qū)間套定理體現(xiàn)了極限的思想，泰勒定理中的泰勒公式就是利用多項(xiàng)式函數(shù)去逼近已知函數(shù)等。學(xué)習(xí)者以”極限理論”為工具，以現(xiàn)實(shí)具體的問題為背景，從具體到抽象，特殊到一般地去理解概念及定理的本質(zhì)，可以增強(qiáng)分析和解決問題的能力。

對(duì)所求量，先構(gòu)造與其相關(guān)的變量，前提是該變量無限變化的結(jié)果就是所求量，此時(shí)采用極限運(yùn)算得到所求量。例如邱瞬時(shí)速度、曲面弧長(zhǎng)、曲變形面積等問題，就是采用了極限的思想。

例3，如果物體做非勻速直線運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律的函數(shù)是s=f（t），其中t為時(shí)間，s是距離，求它在時(shí)刻t0的瞬時(shí)速度。

解：物體從時(shí)刻到時(shí)刻這段時(shí)間內(nèi)的平均速度是：

三、連續(xù)的思想

在數(shù)學(xué)分析中，把函數(shù)的連續(xù)性局部化到當(dāng)函數(shù)的自變量在某點(diǎn)鄰域內(nèi)作微小變動(dòng)時(shí)，相應(yīng)函數(shù)值也在對(duì)應(yīng)點(diǎn)的函數(shù)值鄰域內(nèi)作微小變動(dòng)。

這種思想應(yīng)用到連續(xù)函數(shù)求極限的情形，就可以把極限的復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值的問題，從而大大簡(jiǎn)化了運(yùn)算。如果給定的函數(shù)不連續(xù)，可以通過整理、化簡(jiǎn)、變換等途徑將其轉(zhuǎn)化為連續(xù)函數(shù)，再利用上面的方法求其極限。

四、數(shù)形結(jié)合的思想

數(shù)學(xué)是研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，而空間形式和數(shù)量關(guān)系之間往往存在密切的聯(lián)系，又有各自特點(diǎn)。數(shù)形結(jié)合思想方法，就是充分利用形的直觀性和數(shù)的規(guī)范性，通過數(shù)與形的聯(lián)系轉(zhuǎn)化來研究數(shù)學(xué)對(duì)象和解決數(shù)學(xué)問題。具體包括：數(shù)轉(zhuǎn)化為形的思想;形轉(zhuǎn)化為數(shù)的思想。這種方法使得復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化、抽象問題具體化、形象化、直觀化，化難為易，最終找到最優(yōu)解決方案。

數(shù)形結(jié)合的思想在數(shù)學(xué)分析課程中的應(yīng)用廣泛，很多抽象問題中都蘊(yùn)含著某種幾何意義，借助幾何圖形，對(duì)抽象問題進(jìn)行幾何解釋，使抽象問題結(jié)合圖形更容易深入理解，更容易掌握其最本質(zhì)的知識(shí)。

比如：極限、曲線的漸近線、導(dǎo)數(shù)與微分、二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)與全微分、定積分與重積分、反常積分（無窮積分與瑕積分）、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的凹凸性等概念的幾何意義，對(duì)于確切理解并正確掌握這些基本概念是非常重要的，同時(shí)為解決各種實(shí)際問題提供了多樣化的方法。

又比如：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)基本性質(zhì)（介值性定理、根的存在定理）、微分中值定理（羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理）、積分中值定理、費(fèi)馬定理、隱函數(shù)存在唯一性定理等幾何意義，不論對(duì)定理的深入理解，還是對(duì)啟發(fā)證明定理結(jié)論方面有很大幫助。

例5，下面僅談?wù)剮缀螆D形對(duì)拉格朗日定理的內(nèi)容的理解及證明所起的作用。

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安徽新華學(xué)院 230088