王子晗 黎 雄

(北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 100875)

1 引言

行列式起源于人們解線性方程組時(shí)分離系數(shù)的需要，其作為一種速記的數(shù)學(xué)符號極大地簡化了人們求解多元線性方程組的繁雜過程. 我們所熟知的克萊姆，也就是創(chuàng)立解線性方程組的克萊姆法則的數(shù)學(xué)家首次給出了行列式的計(jì)算定義，詳細(xì)地闡述了如何計(jì)算行列式. 在很長一段時(shí)間內(nèi)，人們對于行列式的理解僅僅是一個工具，簡化求解線性方程組的工具.

范德蒙是首次將行列式與線性方程組分開單獨(dú)研究的人，以他命名的范德蒙行列式也曾在線性代數(shù)課上被反復(fù)提及. 他給出了行列式展開的詳細(xì)法則，此后拉普拉斯在他的基礎(chǔ)上對于行列式的相關(guān)計(jì)算性質(zhì)加以推廣和擴(kuò)充. 自那以后行列式自成一體，成為一個獨(dú)立的分支.

行列式的性質(zhì)很多，那么到底哪幾條性質(zhì)是成為行列式所必備的呢？或者說，哪幾條性質(zhì)可以作為根源進(jìn)而推導(dǎo)出其他更加復(fù)雜的性質(zhì)呢？人們最終提煉出了行列式最為基本而且簡單的三條性質(zhì)，從而導(dǎo)出了行列式的公理化定義.

行列式不僅僅可以用于解線性方程組，重積分中換元積分法的雅可比矩陣，解析幾何中立體圖形的體積也都與行列式有關(guān). 事實(shí)上，這一結(jié)論在三維空間中并不陌生. 我們知道，三個向量的混合積就是這三個向量張成的平行六面體的有向體積，而混合積恰好可以表示成一個3階行列式. 那么更高維的情形呢？施密特正交化方法為擴(kuò)充其含義起到了重要的作用.

本文我們首先給出這三種定義，然后用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)語言證明其等價(jià)性.

2 三種定義的表述形式

定義1 計(jì)算定義[1]n階方陣A=(aij) 的行列式記作detA，它是一個實(shí)數(shù),定義為

其中Sn表示n元置換群，εσ表示置換的符號，偶置換對應(yīng)于1，奇置換對應(yīng)于-1.

定義2 行列式的公理化定義[2]為一個域，如果函數(shù)det :Mn()→滿足以下性質(zhì)

(1)線性性質(zhì)：函數(shù)關(guān)于整列是線性的,即

det (α1,…,λβi+μγi,…,αn)

=λdet (α1,…,βi,…,αn)+μdet (α1,…,γi,…,αn);

(2)歸零性：若不同位置的兩列相同，αi=αj,i≠j, 那么det (α1,…,αi,…,αj,…,αn)=0;

(3)規(guī)范性：detIn=1，其中In是對角線全為1而其它地方全為0的n階單位矩陣.

那么detA稱為A的行列式.

定義3 行列式的幾何定義n個n維列向量組成的行列式的值定義為這n個向量張成的n維平行2n面體的有向(n維)體積.

3 三種定義的等價(jià)性

我們首先證明行列式的計(jì)算定義與公理化定義等價(jià).

定義1→定義2即要證明計(jì)算定義中的行列式滿足公理化定義中的三條性質(zhì).

(1)線性性質(zhì)：

(2)歸零性：若αi=αj,i≠j，則 det (α1,…,αi,…,αj,…,αn)=0.

由計(jì)算定義，可知

det (α1,…,αi,…,αj,…,αn)

由于αi=αj,i≠j, 所以上式右端所出現(xiàn)的項(xiàng)全能兩兩相消，因此，

det (α1,…,αi,…,αj,…,αn)=0.

(3)規(guī)范性：由計(jì)算定義易得 detIn=1.

定義2→定義1即要證明滿足公理化定義中的三條性質(zhì)的函數(shù)只能是計(jì)算定義中的行列式.

由歸零性和線性性質(zhì), 可得

0=det (α1,…,αi+αj,…,αi+αj,…,αn)

=det (α1,…,αi,…,αj,…,αn)+

det (α1,…,αj,…,αi,…,αn).

所以，det (α1,…,αi,…,αj,…,αn)

=-det (α1,…,αj,…,αi,…,αn).

下面根據(jù)公理化定義給出A的行列式的計(jì)算定義.

如果記e1=(1,0,…,0)T,e2=(0,1,…,0)T,…,en=(0,0,…,1)T, 那么

detA=det (a11e1+a21e2+…+an1en,a12e1+a22e2+…+an2en,…,a1ne1+a2ne2+…+annen)

下面我們證明定義1→定義3,即要證明行列式的計(jì)算定義可以用來計(jì)算n維平行2n面體的有向體積.設(shè)張成n維平行2n面體E的列向量為α1,α2，…,αn.這里采用施密特正交化方法，將E轉(zhuǎn)化為與其體積相同的直角n維平行2n面體E0以便計(jì)算其體積.

設(shè)張成E0的n個向量為β1,β2,…,βn,

如果記E0的有向體積V(E0),那么

V(E0)2=|β1|2…|βn|2

=det [(β1T,…,βnT)·(β1,…,βn)]

=[det (β1,…,βn)]2.

同時(shí)注意到

det (β1,…,βn)

=det (α1,…,αn).

因此，E的有向體積

V(E)=V(E0)=det (α1,…,αn).

最后我們證明定義3→定義2,即要證行列式的幾何定義能夠?qū)С龉砘x中的三條性質(zhì),其中歸零性和規(guī)范性是明顯的,這是因?yàn)槿绻辛惺接袃蓚€列向量相同，那么組成行列式的這n個列向量所張成的平行2n面體的維數(shù)小于n, 因而其n維體積自然為0.另一方面，n個標(biāo)準(zhǔn)單位向量e1=(1,0,…,0)T，e2=(0,1,…,0)T，…,en=(0,0,…,1)T所張成的n維平行2n面體的體積恰好是單位體積.所以只有線性性質(zhì)需要證明.由于行列式的值是對應(yīng)的n維平行2n面體的有向體積，所以交換行列式的兩列將改變行列式的符號，因此不失一般性，我們只要證明

4 結(jié)論

至此，我們看到了行列式三種定義的產(chǎn)生與演化，知道了其在數(shù)學(xué)上的等價(jià)性，行列式的公理化定義的三條性質(zhì)恰好與幾何體體積的相關(guān)性質(zhì)密切吻合.

如今，行列式成為數(shù)學(xué)研究不可或缺的重要元素，從線性代數(shù)，到微積分，再到幾何, 其獨(dú)特而富有內(nèi)在背景的性質(zhì)，簡明的表達(dá)方式，將數(shù)學(xué)的各個領(lǐng)域粘合在一起，為不同分支之間的交融從而共同發(fā)展提供了可能.

在教學(xué)過程中，往往從計(jì)算定義引入行列式，而這種既成的定義十分抽象，初學(xué)者很難理解，為什么定義行列式需要引入如此復(fù)雜的計(jì)算公式.隨著學(xué)習(xí)的深入，老師可以在不同的專業(yè)課程，如數(shù)學(xué)分析、解析幾何闡述行列式的其他定義方式，加深學(xué)生對于行列式的認(rèn)識.比如，其幾何定義可以結(jié)合重積分變量替換公式中的雅可比行列式，或者高維曲面積分，或者解析幾何中求幾何體的體積來講解，從而學(xué)生有更直觀的理解.其公理化定義則向?qū)W生揭示了，看似復(fù)雜的計(jì)算方式有其背后的獨(dú)特性與唯一性，也就是說，行列式的計(jì)算方式與多重線性變換的定義相吻合.這樣，行列式將不同分支相互融合，從而深化對不同數(shù)學(xué)課程的聯(lián)系與理解.