楊毅 張景斌 胡鳳娟

【摘 要】 近年來各國(guó)都強(qiáng)調(diào)創(chuàng)新型人才培養(yǎng)，而立體幾何內(nèi)容對(duì)于鍛煉學(xué)生空間想象能力、邏輯推理能力尤為重要.本文通過對(duì)中日兩國(guó)數(shù)學(xué)教科書進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)我國(guó)教科書立體幾何內(nèi)容知識(shí)廣度以及深度皆低于日本教科書，同時(shí)兩國(guó)教科書的各自特點(diǎn)為：我國(guó)數(shù)學(xué)教科書在立體幾何部分內(nèi)容設(shè)置比較基礎(chǔ)，偏重直觀與邏輯且注重?cái)?shù)學(xué)文化滲透;日本數(shù)學(xué)教科書在立體幾何部分內(nèi)容設(shè)置較深，重視數(shù)學(xué)活動(dòng)，知識(shí)呈螺旋上升式的遞進(jìn)，小學(xué)、初中、高中過渡自然.

【關(guān)鍵詞】 教科書;內(nèi)容廣度;內(nèi)容深度;立體幾何

1 問題提出

21世紀(jì)以來，日本無論是從諾貝爾獲獎(jiǎng)人數(shù)還是重大科研成果的產(chǎn)出，在全世界范圍內(nèi)都取得了令人矚目的成績(jī)，數(shù)學(xué)作為自然科學(xué)的基石，為日本科學(xué)的發(fā)展奠定了良好的基礎(chǔ).誠(chéng)然，最新的PISA測(cè)試我國(guó)早早位居前列，但“錢學(xué)森之問”依然敲響了我國(guó)教育尤其是數(shù)學(xué)教育的警鐘.如何對(duì)外開放，善于攝取他國(guó)教科書的優(yōu)秀經(jīng)驗(yàn)到我國(guó)的數(shù)學(xué)教科書中，將是未來面臨的迫切選擇.

現(xiàn)有研究關(guān)于中日兩國(guó)數(shù)學(xué)教科書的比較以某一學(xué)段的具體內(nèi)容為對(duì)象進(jìn)行分析居多，如《中日高中數(shù)學(xué)教科書圓錐曲線內(nèi)容的比較研究——以人教A版和東京版為例》[1]《中日初中數(shù)學(xué)教科書中“勾股定理”內(nèi)容的比較》[2]《中日小學(xué)數(shù)學(xué)教科書中分?jǐn)?shù)例題難度比較研究——以“人教版”和“東京版”為例》[3]等，貫穿小學(xué)、初中、高中數(shù)學(xué)課程的比較分析還有待完善.本文以“立體幾何”為研究對(duì)象比較分析中日兩國(guó)小學(xué)、初中、高中數(shù)學(xué)教科書的相應(yīng)內(nèi)容.中日兩國(guó)數(shù)學(xué)教科書在“立體幾何”部分都圍繞著立體圖形、空間中的點(diǎn)線面、空間向量三條主線展開，可見兩國(guó)數(shù)學(xué)教科書有一定相同之處.

那么，中日兩國(guó)“立體幾何”存在哪些差異？產(chǎn)生這些差異的原因是什么？我們能從中汲取什么？本研究力圖回答這些問題，以期在我國(guó)未來數(shù)學(xué)教科書中“立體幾何”的完善和發(fā)展提供可借鑒之經(jīng)驗(yàn).

2 教科書內(nèi)容比較

教科書是一套廣義的知識(shí)體系，或智識(shí)體系，往往采取和運(yùn)用多種形式來建構(gòu)，如文字、圖畫、音符、表格、案例、實(shí)驗(yàn)、練習(xí)形式等[4].本研究中特指中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的學(xué)生用書.

本文的研究對(duì)象是人民教育出版社2012年發(fā)行的小學(xué)及初中數(shù)學(xué)教科書、2019年發(fā)行的人教A版高中數(shù)學(xué)教科書與日本東京書籍株式會(huì)社2019年發(fā)行的小學(xué)算數(shù)教科書、啟林館出版的2019年開始使用的初中及高中數(shù)學(xué)教科書.

為了直觀比較兩國(guó)數(shù)學(xué)教科書中的“立體幾何”，本部分將從廣度和深度來研究?jī)蓢?guó)的教科書內(nèi)容設(shè)置差異.內(nèi)容廣度是指所涉及范圍或領(lǐng)域的廣泛程度[5]，通?？梢杂弥R(shí)點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量;內(nèi)容深度指課程內(nèi)容需要達(dá)到的思維深度[6]，這里指對(duì)教科書知識(shí)點(diǎn)要求的高低.

2.1 知識(shí)廣度

為了刻畫兩版教科書所涉及的知識(shí)廣度，本部分從三個(gè)學(xué)段各自涉及到的知識(shí)點(diǎn)數(shù)量來進(jìn)行評(píng)價(jià)（教科書中數(shù)學(xué)概念或數(shù)學(xué)命題算為一個(gè)知識(shí)點(diǎn)）[7].

2.1.1 定量分析

通過圖1可知，我國(guó)教科書“立體幾何”的知識(shí)點(diǎn)比日本教科書少22個(gè).且從知識(shí)點(diǎn)分布來看，我國(guó)教科書中知識(shí)點(diǎn)數(shù)量從小學(xué)的16個(gè)下降到初中的5個(gè)，最后又激增的高中的33個(gè)，知識(shí)數(shù)量分布折線呈V字型;日本教科書中知識(shí)點(diǎn)數(shù)量從小學(xué)的15個(gè)平緩上漲到初中的19個(gè)，最后上升到高中的42個(gè)，知識(shí)數(shù)量分布呈現(xiàn)連續(xù)上漲的趨勢(shì).

2.1.2 各學(xué)段內(nèi)容廣度差異分析

小學(xué)階段：

（1）中日兩國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)教科書知識(shí)點(diǎn)數(shù)量大體相同，我國(guó)教科書比日本教科書多了三視圖的應(yīng)用、柱體切面以及柱體與錐體體積關(guān)系;日本教科書比我國(guó)教科書多了展開圖的應(yīng)用、立體圖形要素、球的概念及元素.

（2）日本數(shù)學(xué)教科書在小學(xué)階段設(shè)置的知識(shí)內(nèi)容與我國(guó)不同，不僅僅讓學(xué)生直觀認(rèn)識(shí)立體圖形，還注重抽象上理解立體圖形，為后面的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ).同時(shí)在這個(gè)階段，兩國(guó)處理知識(shí)的方式也不同，中國(guó)教科書偏向?qū)W生對(duì)于不同立體幾何圖形的綜合性把握，故設(shè)置了“不同立體圖形的關(guān)系”這一知識(shí)點(diǎn);日本教科書則偏重深入理解某一具體立體幾何圖形，設(shè)置了“立體圖形構(gòu)成”、“立體圖形的展開”等內(nèi)容.造成上述差異的主要原因是我國(guó)小學(xué)教科書初探立體圖形的定位在于觀察，將“觀察物體”作為學(xué)習(xí)立體圖形章節(jié)的標(biāo)題，而日本教科書有關(guān)于立體圖形的章節(jié)標(biāo)題更突出“做”字.

初中階段：

（1）兩國(guó)教科書在此階段知識(shí)點(diǎn)數(shù)量相差較大，日本教科書已將立體圖形的概念、性質(zhì)以及度量呈現(xiàn)完畢，并且將空間中的線線、線面、面面之間的位置關(guān)系做了詳細(xì)介紹.我國(guó)教科書“立體幾何”在初中階段呈現(xiàn)不多，主要分為兩部分——立體圖形、投影與視圖，分布在兩個(gè)年級(jí).對(duì)于“立體圖形”做了簡(jiǎn)單的梳理，將重點(diǎn)放在“投影與視圖”，尤其是三視圖、投影圖與空間圖形之間的聯(lián)系.

（2）《中學(xué)校學(xué)習(xí)指導(dǎo)要領(lǐng)·數(shù)學(xué)篇》[8]（以下簡(jiǎn)稱“初中要領(lǐng)”）強(qiáng)調(diào)空間中的直線與平面的位置關(guān)系，是研究空間圖形的基礎(chǔ)，也是分析空間圖形必不可少的，在這一方面顯然日本數(shù)學(xué)教科書做得更為詳細(xì)且具體，由于《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》[9]（以下簡(jiǎn)稱“標(biāo)準(zhǔn)2011”）的安排，有關(guān)空間中的點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系要在高中數(shù)學(xué)教科書中呈現(xiàn).在“標(biāo)準(zhǔn)2011”要求下，我國(guó)教科書關(guān)于立體圖形也并未在初中階段做太多涉及.“初中要領(lǐng)”與“標(biāo)準(zhǔn)2011”要求的不同，造成了兩國(guó)初中數(shù)學(xué)教科書在該階段知識(shí)點(diǎn)數(shù)量上的巨大差異.

高中階段：

（1）我國(guó)教科書將“立體圖形”（6個(gè)知識(shí)點(diǎn)）、“空間中的點(diǎn)線面”（12個(gè)知識(shí)點(diǎn)）“空間向量”（15個(gè)知識(shí)點(diǎn)）依次呈現(xiàn)在教科書中，日本教科書由于已經(jīng)在初中將“立體圖形”總結(jié)完畢、故在高中階段大體上只涉及“空間中的點(diǎn)線面”（5個(gè)知識(shí)點(diǎn)）、“空間向量”（19個(gè)知識(shí)點(diǎn)）.值得一提的是，在這個(gè)階段日本涉及的知識(shí)內(nèi)容要多于我國(guó)，例如增加了定積分求體積、三垂線定理、球面方程與平面方程、向量外積等.

（2）由于在初中階段我國(guó)并沒有詳細(xì)介紹立體圖形，例如柱體、錐體、球體等的性質(zhì)及計(jì)量，所以在高中階段，兩國(guó)在基本立體圖形方面所占比重不同（日本教科書已在初中階段進(jìn)行總結(jié)）.此外，在日本課程進(jìn)度中，“空間中的點(diǎn)、線”已經(jīng)在小學(xué)以及初中階段有了初步呈現(xiàn)，高中則是在這個(gè)基礎(chǔ)上進(jìn)行深化，并且引入了一些如“三垂線定理”等的內(nèi)容，我國(guó)由于僅僅在初中階段教給學(xué)生一些初步概念，所以在高中階段的教科書用將近50頁(yè)的篇幅對(duì)“空間中的點(diǎn)線面”做了詳細(xì)系統(tǒng)的闡釋.

2.2 知識(shí)深度

根據(jù)上述公式，可以得到兩國(guó)教科書“立體幾何”內(nèi)容深度（見表1）.

2.2.1 定量分析

由表1的統(tǒng)計(jì)表明，在中國(guó)和日本數(shù)學(xué)教科書“立體幾何”內(nèi)容中，A層次的知識(shí)點(diǎn)分別占各自知識(shí)點(diǎn)總數(shù)的9%和5%;B層次的知識(shí)點(diǎn)分別占28%和34%;C層次的知識(shí)點(diǎn)分別占59%和39%;D層次的知識(shí)點(diǎn)分別占4%和21%.

同時(shí)，日本教科書在A層次上的知識(shí)點(diǎn)較我國(guó)教科書少了4個(gè)百分點(diǎn);在B層次，日本比我國(guó)多了6個(gè)百分點(diǎn);在C層次比我國(guó)少了20個(gè)百分點(diǎn);在D層次比我國(guó)多了17個(gè)百分點(diǎn).

另外，日本數(shù)學(xué)教科書與我國(guó)數(shù)學(xué)教科書的知識(shí)深度加權(quán)平均分別為2.76和2.44，可見日本教科書在“立體幾何”的知識(shí)深度要大于我國(guó)教科書.其原因是我國(guó)教科書大部分知識(shí)點(diǎn)的深度在C層次，更多要求學(xué)生以“掌握”為主;日本教科書在D水平的知識(shí)點(diǎn)占比要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于我國(guó)教科書.

2.2.2 各學(xué)段內(nèi)容深度差異分析

小學(xué)階段，中日教科書在“立體圖形”的學(xué)習(xí)目標(biāo)主要以A層次與B層次為主，在初步認(rèn)識(shí)立體圖形時(shí)以“了解”為主要目標(biāo)，在進(jìn)行立體圖形表面積與體積的計(jì)算時(shí)以“理解”為主要目標(biāo).但日本教科書在基本立體圖形的學(xué)習(xí)上會(huì)進(jìn)行拓展延伸，例如在四年級(jí)下《位置的表示方法》一節(jié)中，除了讓學(xué)生學(xué)習(xí)如何在平面上用坐標(biāo)表示方位，還會(huì)將這部分內(nèi)容與長(zhǎng)方體聯(lián)系起來，探究長(zhǎng)方體的各個(gè)點(diǎn)的如何用坐標(biāo)表示（涉及空間坐標(biāo)），行為目標(biāo)達(dá)到了C層次.

初中階段，我國(guó)教科書把立體圖形作為平面圖形的延伸去呈現(xiàn)，將立體幾何作為“幾何圖形”這一章的一部分，僅涉及三個(gè)知識(shí)點(diǎn)，行為目標(biāo)在A層次;在九年級(jí)下冊(cè)設(shè)置了“投影與視圖”，行為目標(biāo)在B層次.日本教科書則將立體幾何作為獨(dú)立的一章呈現(xiàn)，除了整理總結(jié)小學(xué)學(xué)習(xí)的各種基本立體圖形，還將立體圖形與平面圖形緊密聯(lián)系起來，展示了立體圖形的動(dòng)態(tài)形成過程，這部分內(nèi)容需要學(xué)生有較強(qiáng)的空間觀念以及綜合分析能力，行為目標(biāo)達(dá)到了D層次;除此之外，“直線與直線、平面與平面、直線與平面的關(guān)系”學(xué)習(xí)目標(biāo)已經(jīng)達(dá)到了C層次，即能掌握“平行與垂直”的位置關(guān)系.

高中階段，日本教科書在立體圖形的計(jì)量上增加了“積分法求體積”，且該部分的學(xué)習(xí)目標(biāo)大都為D層次，例如在日本高中數(shù)學(xué)教科書《數(shù)學(xué)Ⅲ》[11]第六章第二節(jié)，關(guān)于定積分求體積公式的推導(dǎo)與《數(shù)學(xué)分析》[12]中相應(yīng)內(nèi)容并無太大差別，此部分內(nèi)容深度較高，需要學(xué)生有較強(qiáng)的理解能力以及對(duì)知識(shí)進(jìn)行證明、推導(dǎo)、靈活使用.此外，在空間向量部分，增加了“向量的外積”“球面方程”“平面方程”等知識(shí)點(diǎn)均要求較高層次的掌握.

3 研究結(jié)論與啟示

3.1 結(jié)論

結(jié)論一：日本教科書“立體幾何”的知識(shí)廣度和深度都要大于我國(guó)教科書.

結(jié)論二：兩國(guó)教科書立體幾何內(nèi)容各具特點(diǎn).日本教科書立體幾何內(nèi)容與其他知識(shí)相互聯(lián)系;小學(xué)、初中、高中具有銜接性;重視數(shù)學(xué)活動(dòng)在教科書中的地位.我國(guó)數(shù)學(xué)教科書立體幾何內(nèi)容設(shè)置突出基礎(chǔ)，偏重直觀與邏輯且注重?cái)?shù)學(xué)文化滲透.

3.2 啟示

3.2.1 教師教學(xué)應(yīng)重視課堂“活動(dòng)”的作用

數(shù)學(xué)教學(xué)具有創(chuàng)造性的特征，這種創(chuàng)造性主要體現(xiàn)在數(shù)學(xué)教師對(duì)教材的創(chuàng)造性加工和對(duì)教學(xué)方法和教學(xué)手段的創(chuàng)造性運(yùn)用[13]，教師應(yīng)科學(xué)運(yùn)用教科書，合理布置的課堂活動(dòng).學(xué)生能否學(xué)好數(shù)學(xué)關(guān)鍵在于是否對(duì)數(shù)學(xué)有興趣，通過數(shù)學(xué)活動(dòng)來提出生動(dòng)具體的問題或者布置新奇有趣的實(shí)驗(yàn)，都能夠調(diào)動(dòng)學(xué)生在課堂學(xué)習(xí)的注意力，尤其是在“立體幾何”的學(xué)習(xí)中，鍛煉培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力或者是空間觀念，宜設(shè)置以活動(dòng)為導(dǎo)向的課程，日本立體幾何課程給學(xué)生較多的使用空間語言和認(rèn)識(shí)空間圖形的實(shí)踐活動(dòng)，豐富了學(xué)生利用頭腦感知空間圖形的表象，進(jìn)而形成較強(qiáng)的空間感知能力.因此教師在教學(xué)時(shí)，不應(yīng)僅僅局限于知識(shí)內(nèi)容的掌握情況，應(yīng)該跳出知識(shí)本身的束縛，去探索如何以一種更有效的方式讓學(xué)生接受知識(shí).

3.2.2 教科書的編寫應(yīng)重視知識(shí)間的聯(lián)系

數(shù)學(xué)知識(shí)尤其是立體幾何知識(shí)是一個(gè)整體，所以教科書編寫必須要考慮小學(xué)、初中、高中知識(shí)之間的過渡，將高年級(jí)要學(xué)習(xí)的內(nèi)容以一種更恰當(dāng)、更易接受的方式呈現(xiàn)給低年級(jí)學(xué)生，是教科書體現(xiàn)銜接性的重點(diǎn);同時(shí)要兼顧引入的過程要聯(lián)系之前所學(xué)習(xí)的內(nèi)容，做到承前啟后.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是整體性的學(xué)習(xí)，如果僅僅將某一塊內(nèi)容放在某一學(xué)段學(xué)習(xí)，會(huì)造成學(xué)生的碎片化記憶，這不利于學(xué)生整體性思維的養(yǎng)成.如果學(xué)生在各階段學(xué)習(xí)的內(nèi)容都可以在低年級(jí)階段找到“影子”，那么數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就變得“水到渠成”.

但知識(shí)之間的銜接要把握好“度”，教科書應(yīng)避免給低學(xué)段的學(xué)生呈現(xiàn)不符合認(rèn)知規(guī)律的知識(shí)，如何做到銜接自然，且符合學(xué)生原有的認(rèn)知基礎(chǔ)，是教科書編寫要考慮的問題.

3.2.3 合理設(shè)計(jì)教科書深度與廣度

石鷗在其書《教科書概論》寫道：“教科書關(guān)系學(xué)生的發(fā)展，關(guān)系一代人的素養(yǎng)，關(guān)系民族文化的傳承與創(chuàng)新，所以教科書編寫是一件最具價(jià)值的工作.但與此同時(shí)，教科書編寫又是一件難度極大的工作.”[4]因此，隨著時(shí)代的發(fā)展，教科書應(yīng)做到與時(shí)俱進(jìn)，我們應(yīng)清楚地認(rèn)識(shí)到教科書總會(huì)帶著一種時(shí)代的局限性.雖然教科書是按照課程標(biāo)準(zhǔn)嚴(yán)格編寫，但課程標(biāo)準(zhǔn)仍是相對(duì)宏觀的課程內(nèi)容系統(tǒng)，沒有辦法具體操作，這就需要教科書編寫具有一定的創(chuàng)新性.

在教科書知識(shí)廣度與深度的設(shè)計(jì)上，我國(guó)教科書中“立體幾何”的知識(shí)點(diǎn)分布的合理性有待進(jìn)一步思考，小學(xué)、初中、高中知識(shí)點(diǎn)數(shù)量折線呈V字型，這也意味著初中階段幾乎無“立體幾何”的知識(shí)，而高中階段又顯得知識(shí)數(shù)量過多，所以筆者建議可以考慮將高中一部分“立體幾何”內(nèi)容移至初中，充實(shí)初中階段“立體幾何”的學(xué)習(xí).同時(shí)隨著信息化時(shí)代的到來，學(xué)生的認(rèn)知手段也日漸豐富，故在教科書知識(shí)深度的設(shè)計(jì)上，可拓寬知識(shí)發(fā)生與呈現(xiàn)的渠道，酌情加大難度，或者在教科書的拓展部分加入立體幾何綜合應(yīng)用的內(nèi)容.

4 結(jié)束語

自1979年第一次中日數(shù)學(xué)教育研討會(huì)召開以來，中日數(shù)學(xué)教育交流已經(jīng)進(jìn)行了四十余年，正如鈴木正彥所說“在改革開放后，中國(guó)的數(shù)學(xué)教育引入了現(xiàn)代化內(nèi)容，但并不是單純的模仿國(guó)外，而是根據(jù)國(guó)家目標(biāo)，吸取過去的經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)和國(guó)外優(yōu)秀成果.因此，教科書重視現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想，并以數(shù)學(xué)思想發(fā)展和人類認(rèn)識(shí)規(guī)律為基礎(chǔ)，編寫了學(xué)生容易理解，具有邏輯性的教材.”[14]近幾十年來，通過一代代教育工作者的努力，我們已經(jīng)取得了一定成果，但還需要在現(xiàn)有基礎(chǔ)上繼續(xù)完善我們的工作，編制具有中國(guó)特色、符合時(shí)代特點(diǎn)的數(shù)學(xué)教科書。

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作者簡(jiǎn)介 楊毅（1997—），男，天津人，碩士研究生，研究方向：數(shù)學(xué)教育.