孫二林，張為斌,2

（1.北京宸瑞科技股份有限公司，北京 100080；2.北京宸信征信有限公司，北京 100080）

“國(guó)家”是地理學(xué)的重要概念，根據(jù)聯(lián)合國(guó)官網(wǎng)，目前全世界的國(guó)家個(gè)數(shù)是193 個(gè)[1]。除了“國(guó)家”以外，還有一些“地區(qū)”或“經(jīng)濟(jì)體”，如中國(guó)香港特別行政區(qū)、百慕大。關(guān)于地區(qū)的個(gè)數(shù)，不同的組織有不同的說(shuō)法，如世界銀行數(shù)據(jù)庫(kù)中的地區(qū)個(gè)數(shù)是24 個(gè)[2]。國(guó)家和地區(qū)總數(shù)是200 多個(gè)。

國(guó)家和地區(qū)有三個(gè)基本變量：個(gè)數(shù)、人口、經(jīng)濟(jì)總量。國(guó)家和地區(qū)個(gè)數(shù)相對(duì)穩(wěn)定，但有時(shí)也會(huì)發(fā)生變化，如1991 年蘇聯(lián)解體為15 個(gè)獨(dú)立國(guó)家。一般認(rèn)為，人口和GDP 在一定程度上符合冪律分布。奧爾巴赫（Auerbach）最早指出，城市規(guī)模分布可以用冪律分布近似表示；后來(lái)經(jīng)過(guò)齊普夫(Zipf) 的進(jìn)一步發(fā)展和完善，形成了城市規(guī)模分布的齊普夫定律[3]。從國(guó)內(nèi)外現(xiàn)有文獻(xiàn)來(lái)看，學(xué)者們采用齊普夫定律等方法，對(duì)中國(guó)城市規(guī)模分布進(jìn)行了大量的實(shí)證研究，得出的主要結(jié)論爭(zhēng)議比較大[4]。關(guān)于國(guó)家GDP 的分布，Corrado Di Guilmi 等人發(fā)現(xiàn)，在1960-1997 年期間，中等收入國(guó)家的人均GDP 符合冪律分布，其他國(guó)家不符合[5]。Narushige SHIODE 和Michael BATTY 發(fā)現(xiàn)，各國(guó)的人口、GDP、網(wǎng)站、超鏈接都不遵循冪律分布，只不過(guò)人口和GDP 的分布比Web 數(shù)據(jù)更接近冪律分布[6]。至于國(guó)家個(gè)數(shù)分布的研究則非常少。本文的目的就是探討國(guó)家及地區(qū)個(gè)數(shù)、人口、GDP 的分布規(guī)律。

1.模型的基礎(chǔ)

正態(tài)分布是自然界最常見的一種分布。例如，一個(gè)人口群體的智商；一組人的某科目考試成績(jī)；實(shí)驗(yàn)中的隨機(jī)誤差，等等，均呈現(xiàn)為正態(tài)或近似正態(tài)分布[7]。布拉德福定律、齊普夫定律、洛特卡定律是文獻(xiàn)計(jì)量學(xué)中最基本的三大定律，可以認(rèn)為它們是一種分布規(guī)律的不同表現(xiàn)形式[8]。這種分布規(guī)律就是冪律分布。在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，需求規(guī)律是在其他條件相同時(shí)，一種物品價(jià)格上升，該物品需求量減少的規(guī)律。需求規(guī)律可以用需求曲線表示，需求曲線是一種物品價(jià)格與需求量之間關(guān)系的圖形。根據(jù)習(xí)慣，價(jià)格在縱軸，需求量在橫軸，需求曲線是從左上方向右下方傾斜的曲線[9]。需求定律中的需求曲線也符合冪律分布。指數(shù)增長(zhǎng)和Logistic 增長(zhǎng)是最基本最常見的增長(zhǎng)方式，它們能很好地刻畫自然界和人類社會(huì)中很多物質(zhì)量的變化規(guī)律。比如：生物種群的繁衍；人口的增加；樹木的生長(zhǎng)；國(guó)民收入的增長(zhǎng)；傳染病的傳播；新產(chǎn)品、新技術(shù)的市場(chǎng)擴(kuò)散等[10]。國(guó)家GDP的增長(zhǎng)是指數(shù)增長(zhǎng)，這方面的研究很多；各國(guó)GDP 的分布是否也是指數(shù)分布，這方面的研究較少。本文將嘗試提出一種以指數(shù)分布為主、輔之以正態(tài)分布和冪律分布的分布模型。

當(dāng)代法國(guó)政治社會(huì)學(xué)家莫里斯·迪韋爾熱(Maurice Duverge)基于對(duì)政治的社會(huì)學(xué)認(rèn)識(shí),他首先把所有已存在過(guò)或存在著的國(guó)家分為兩類:一是“未發(fā)展的國(guó)家”,二是“發(fā)展的國(guó)家”。莫里斯把現(xiàn)代社會(huì)的國(guó)家稱之為發(fā)展的國(guó)家，并具體分為發(fā)達(dá)國(guó)家、半發(fā)達(dá)國(guó)家(認(rèn)為稱這類國(guó)家為發(fā)展中國(guó)家)、不發(fā)達(dá)國(guó)家三種國(guó)家類型。此外，有人按國(guó)家實(shí)力及國(guó)際地位把世界各國(guó)劃分為超級(jí)大國(guó)、大國(guó)、中等國(guó)家和弱小國(guó)家[11]。世界銀行于1978 年在世界發(fā)展報(bào)告中首次發(fā)布了國(guó)家收入分類標(biāo)準(zhǔn)以及人均國(guó)民總收入（GNI）指標(biāo)的國(guó)家排序數(shù)據(jù)，將全球所有國(guó)家和地區(qū)按人均GNI 高低，劃分為高收入國(guó)家組、中上等收入國(guó)家組、中下等收入國(guó)家組和低收入國(guó)家組[12]。以上分類中除了世界銀行屬于定量標(biāo)準(zhǔn)以外，其他均為定性標(biāo)準(zhǔn)。要研究國(guó)家及地區(qū)的個(gè)數(shù)、人口、GDP 分布，應(yīng)該把定性標(biāo)準(zhǔn)定量化。

地理環(huán)境對(duì)人類有明顯的限制作用。例如，科學(xué)技術(shù)迅速發(fā)展，促進(jìn)了現(xiàn)代人類起源的研究，科學(xué)家們?cè)诨⒎肿由飳W(xué)、遺傳學(xué)等方面不斷取得新成果，總地來(lái)看，近幾年獲得的各項(xiàng)現(xiàn)代人類起源研究成果都明顯傾向于“非洲起源說(shuō)”[13]。為什么最早的人類起源于非洲，這難以用地理環(huán)境以外的原因解釋。能量最低原理是自然界一切物質(zhì)運(yùn)動(dòng)所必須遵循的自然法則，大到每一個(gè)化學(xué)反應(yīng)，小到原子核外的電子運(yùn)動(dòng)，無(wú)不按照這一規(guī)律進(jìn)行。齊普夫定律的理論基礎(chǔ)是“最省力法則”[14]。這一法則也是能量最低原理的一種表現(xiàn)形式。人類受到地理環(huán)境和物理規(guī)律的限制，說(shuō)到底是受到能量最低原理的限制。它使得人類像電子一樣，按照能量從低到高的順序填充地球表面乃至宇宙空間。能量最低原理也是本文的主要思想基礎(chǔ)。

2.模型的假設(shè)

2.1 人口GDP 圖

齊普夫定律可以描述單詞在文獻(xiàn)中以及城市在國(guó)家中的分布，文獻(xiàn)可以看成是一維空間，國(guó)家內(nèi)部的人口可以自由流動(dòng)。但國(guó)家并非處于一維空間中，國(guó)家間的人口也不能自由流動(dòng)。國(guó)家分布于地球表面，這是一個(gè)由經(jīng)度、緯度、海拔高度組成的三維空間，但可以近似地看成是二維空間，因?yàn)楹０胃叨扰c地球半徑的比值大約為1:1000，可以忽略不計(jì)。

人類從非洲出發(fā)，沿著經(jīng)度變化（自西向東）和緯度變化（自南向北）兩個(gè)基本方向遷徙，當(dāng)然也可能沿著自西南向東北的方向遷徙，這個(gè)方向也可以分解為經(jīng)度變化和緯度變化兩個(gè)基本方向。在遷徙的路上，人類會(huì)組成人口越來(lái)越多的群體；另一方面，人類的人均GDP 又會(huì)越來(lái)越高。也就是說(shuō)，“人口”和“人均GDP”也是人類進(jìn)化的兩個(gè)維度。人口越來(lái)越多的方向大致就是經(jīng)度變化的方向，人均GDP 越來(lái)越高的方向大致就是緯度變化的方向。例如，印度、中國(guó)這樣人口較多、較為貧窮的國(guó)家位于非洲的東方，而西歐、北歐這些人口較少、較為富裕的國(guó)家位于非洲的北方。既可以認(rèn)為國(guó)家位于經(jīng)度和緯度組成的二維地理空間中，也可以認(rèn)為國(guó)家位于人口和人均GDP 組成的二維經(jīng)濟(jì)空間中。一個(gè)國(guó)家的人口和人均GDP 的乘積恰巧就是這個(gè)國(guó)家的GDP，因此在二維經(jīng)濟(jì)空間中分析國(guó)家的GDP 是最簡(jiǎn)單直接的方法。

經(jīng)濟(jì)學(xué)中的需求定律描述的人類的產(chǎn)品數(shù)量和價(jià)格之間的規(guī)律，從更底層角度來(lái)講，人類本身也是地球的一種“產(chǎn)品”，同樣也遵循地球的需求定律。我們可以繪制一張“人口GDP圖”，其橫坐標(biāo)表示人口，縱坐標(biāo)表示人均GDP，任何一個(gè)人群——包括家族、企業(yè)、國(guó)家、地區(qū)等——都可以用這張圖上的一個(gè)點(diǎn)表示，點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的乘積就是這個(gè)人群的GDP。如圖1 所示。

圖1 人口GDP 圖的示意圖

在這張圖上，按照冪律分布規(guī)律，人口和人均GDP 成反向變動(dòng)關(guān)系，同一條雙曲線（可以簡(jiǎn)化為從左上角到右下角的斜線）上的點(diǎn)表示GDP 相同的人群，雙曲線的位置越高，線上的人群的GDP 也越高。例如，人群A 和B 位于同一條雙曲線上，它們的GDP 相同；C 位于較低的雙曲線上，它的GDP也較低；D 位于較高的雙曲線上，它的GDP 也較高。

經(jīng)濟(jì)學(xué)中有兩條重要的曲線：需求曲線和供應(yīng)曲線，它們合起來(lái)構(gòu)成了供需關(guān)系。一般來(lái)說(shuō)，需求曲線從左上角向右下角延伸，而供應(yīng)曲線從左下角向右上角延伸。在圖1 中，人群A 和人群B 處于同一條需求曲線上，而人群C 和人群D 處于同一條供應(yīng)曲線上。人群A 和人群B 的GDP 大致相同，人群C 和人群D 也有一個(gè)大致相同的變量，這就是人口。小而富的人群和大而窮的人群的GDP 總量差不多，小而窮的人群和大而富的人群的人口總量差不多。

2.2 九宮格

人口GDP 圖既可以分為四格，也可以分為九格、十六格等等，其中最好的劃分方法是劃成九宮格。這是因?yàn)槿祟惖哪X力、體力等各種能力都服從正態(tài)分布，可以大致分為低水平的人、中等水平的人、高水平的人。一般來(lái)說(shuō)，一個(gè)國(guó)家的人口多少基于組織能力，人均GDP 則基于科技研發(fā)能力。可以假定這兩個(gè)能力服從正態(tài)分布，因此人口GDP 圖的縱向和橫向都可以分為低、中、高三檔，由此構(gòu)成九宮格，把所有國(guó)家和地區(qū)分為九種類型，如圖2 所示。

圖2 人口GDP 圖中的九宮格

為方便起見，我們把九宮格編上號(hào)，從左下角到右上角依次是方格1 至方格9。如前所述，同一條從左上延伸到右下的斜線上的點(diǎn)的GDP 相同，斜線越高GDP 也越高，因此又可以把九宮格分為5 個(gè)GDP 等級(jí)，從左下角到右上角逐漸從1 級(jí)升高至5 級(jí)，它們的GDP 依次升高。與GDP 等級(jí)類似，還可以把九宮格分為5 個(gè)人口等級(jí)，從左上角到右下角逐漸從1 級(jí)升高至5 級(jí)，它們的人口依次升高。

2.3 假設(shè)的提出

至此，我們提出國(guó)家和地區(qū)的個(gè)數(shù)、人口、GDP 的分布的假設(shè)如下：

在以人口為橫坐標(biāo)、以人均GDP 為縱坐標(biāo)的人口GDP 圖中，所有國(guó)家和地區(qū)可以劃分為九宮格，九宮格內(nèi)的國(guó)家和地區(qū)個(gè)數(shù)、人口、GDP 符合指數(shù)分布，可以用三個(gè)指數(shù)函數(shù)表示。

指數(shù)函數(shù)一：國(guó)家和地區(qū)個(gè)數(shù)介于[27-M,29-M]之間，大致等于28-M，其中M 是從1 至9 的整數(shù)，是從左下角到右上角的方格序號(hào)；

指數(shù)函數(shù)二：假設(shè)方格1 的GDP 為1，那么其余各方格的GDP 介于[2N-2,2N-1]之間，其中N 是從2 至5 的整數(shù)，是從左下角到右上角的GDP 等級(jí)。或者，假設(shè)方格9 的GDP 為1，那么其余各方格的GDP 介于[2N-5,2N-4]之間，其中N 是從1至4 的整數(shù)，是從左下角到右上角的GDP 等級(jí)；

指數(shù)函數(shù)三：假設(shè)方格3 的人口為1，那么其余各方格的人口介于[2L-2,2L]之間，大致等于2L-1，其中L 是從2 至5的整數(shù)，是從左上角到右下角的人口等級(jí)。

3.模型的實(shí)證

3.1 數(shù)據(jù)及九宮格劃分方法

我們用世界銀行數(shù)據(jù)庫(kù)中2000、2005、2010、2015、2018這五個(gè)年度的各國(guó)人口和人均GDP 數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證[15][16]。該數(shù)據(jù)中共有217 個(gè)國(guó)家及地區(qū)，其中有20 多個(gè)中小國(guó)家和地區(qū)沒(méi)有某年的人均GDP 數(shù)據(jù)，采用聯(lián)合國(guó)數(shù)據(jù)[17]或世界銀行數(shù)據(jù)庫(kù)最接近該年的數(shù)據(jù)代替。還有3 個(gè)地區(qū)完全沒(méi)有人均GDP數(shù)據(jù)，它們?nèi)丝诤嫌?jì)約為10 萬(wàn)人，即使忽略也影響不大。經(jīng)過(guò)處理后有214 個(gè)國(guó)家和地區(qū)的數(shù)據(jù)。

五年數(shù)據(jù)的劃分閾值及部分方格的具體國(guó)家如表1 所示。每一年都有兩個(gè)人口閾值和兩個(gè)人均GDP 閾值，它們把214個(gè)國(guó)家和地區(qū)劃分為九宮格。請(qǐng)注意方格9 由美國(guó)獨(dú)占，方格8 在2000 年、2005 年是空缺的，在2010 年以后巴西、中國(guó)依次進(jìn)入方格8，2018 年中國(guó)獨(dú)占方格8。

表1 五年數(shù)據(jù)的劃分閾值及部分方格的具體國(guó)家

3.2 五年數(shù)據(jù)的驗(yàn)證情況

表2 是五年數(shù)據(jù)的驗(yàn)證情況。表格中有125 個(gè)背景為灰色的數(shù)值，這些數(shù)值可以驗(yàn)證實(shí)際數(shù)值是否符合指數(shù)函數(shù)。其中有15 個(gè)加粗的數(shù)值，它們是不符合假設(shè)的數(shù)值。2000 年、2005 年方格8 的各項(xiàng)數(shù)值為0，這是因?yàn)樵摲礁袷强杖钡摹?/p>

表2 五年數(shù)據(jù)的驗(yàn)證情況

表3 是五年總的驗(yàn)證情況，各年的準(zhǔn)確率（相符數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)與總數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)的比值）在80%至96%之間波動(dòng)，平均值是88%。

表3 五年總的驗(yàn)證情況

3.3 不符數(shù)據(jù)的原因分析

在15 個(gè)不符合的數(shù)據(jù)中，方格8 占了8 個(gè)，方格7 占了5個(gè)，不符合的數(shù)據(jù)主要集中在這兩個(gè)方格。方格8 在2000 年、2005 年是空缺的，2010 年巴西進(jìn)入方格8，但它的GDP、人口都達(dá)不到方格8 的指數(shù)函數(shù)值。直到2015 年，巴西、中國(guó)組成的方格8 才達(dá)到指數(shù)函數(shù)值。在2018 年，中國(guó)一國(guó)就可以使方格8 達(dá)到指數(shù)函數(shù)值。也就是說(shuō)，2000 年、2005 年、2010 年的方格8 空缺或者數(shù)值偏低，是因?yàn)楫?dāng)時(shí)中國(guó)的GDP明顯偏低。這段時(shí)間也是中國(guó)GDP 高速發(fā)展的時(shí)期，似乎是在填補(bǔ)方格8 的空缺，實(shí)際上2018 年中國(guó)一國(guó)就完全填補(bǔ)了這一空缺。方格7 的函數(shù)值與實(shí)際值差距較大，也是因?yàn)槠渲械膰?guó)家——主要是印度——的GDP 明顯偏低。目前印度的GDP 發(fā)展較快，可以預(yù)見在不遠(yuǎn)的將來(lái)方格7 的指數(shù)函數(shù)值與實(shí)際值就會(huì)相符。

從時(shí)間的角度來(lái)說(shuō)，2010 年的準(zhǔn)確率最低，這是因?yàn)?008 年爆發(fā)了全球經(jīng)濟(jì)危機(jī)，世界經(jīng)濟(jì)格局處于劇變之中，因此準(zhǔn)確率較低。

由此可見，國(guó)家及地區(qū)的個(gè)數(shù)、人口、GDP 基本符合指數(shù)分布，但國(guó)家及地區(qū)處于動(dòng)態(tài)變化之中，有的上升、有的下降、有的解體、有的合并，有時(shí)還會(huì)出現(xiàn)全球經(jīng)濟(jì)危機(jī)，因此會(huì)出現(xiàn)局部、短期不符合指數(shù)分布的情況。

4.模型的推論和意義

4.1 四個(gè)推論

根據(jù)以上三個(gè)公式可以推出世界上的國(guó)家和地區(qū)總數(shù)、人口總數(shù)和GDP 總值，它們可以用四個(gè)推論來(lái)描述。

推論一：根據(jù)指數(shù)函數(shù)一，用28-M 模擬九個(gè)方格中的國(guó)家和地區(qū)個(gè)數(shù)，累加起來(lái)得到255.5，這就是指數(shù)函數(shù)預(yù)測(cè)的國(guó)家和地區(qū)總數(shù)。實(shí)際上國(guó)家和地區(qū)總數(shù)為兩百多個(gè)。

推論二：根據(jù)指數(shù)函數(shù)一可知，國(guó)家和地區(qū)的個(gè)數(shù)在1 倍、2 倍、4 倍之間來(lái)回波動(dòng)。實(shí)際上，中國(guó)在從秦朝至今兩千多年的歷史中分分合合，絕大多數(shù)時(shí)間都是1 至4 個(gè)國(guó)家和地區(qū)。彼得-圖爾欽利用歷史動(dòng)力學(xué)建立的模型也得出類似的結(jié)論：在一個(gè)模擬空間中相對(duì)穩(wěn)定的帝國(guó)個(gè)數(shù)在1 個(gè)、2 個(gè)、4 個(gè)之間來(lái)回波動(dòng)[18]。

推論三：根據(jù)指數(shù)函數(shù)二，假設(shè)方格9 的GDP 為1，把各方格的GDP 的范圍[2N-5,2N-4]累加起來(lái)，得到GDP 總值的范圍是[3.0625,5.125]，即方格9 的GDP 是GDP 總值的20%至33%。實(shí)際上在1960 年至2018 年的59 年中，方格9（即美國(guó)）GDP 占世界的比值介于21%至39%之間，平均值為29.4%[2]。

推論四：根據(jù)指數(shù)函數(shù)三，假設(shè)方格3 的人口為1，用2L-1 模擬各個(gè)方格的人口，累加起來(lái)得到49，也就是說(shuō)，人口總數(shù)是方格3 的49 倍。實(shí)際上五年的總?cè)丝谂c方格3 人口的比值在49 左右來(lái)回波動(dòng)，平均值是53.3。

可見，四個(gè)推論的數(shù)值接近于實(shí)際數(shù)值。

4.2 意義

本文的分布模型說(shuō)明：地球上的200 多個(gè)國(guó)家和地區(qū)構(gòu)成一個(gè)整體，國(guó)家及地區(qū)的個(gè)數(shù)、人口、GDP 是最重要、最基本的三個(gè)變量。這三個(gè)變量看似復(fù)雜，但它們都受地理和物理規(guī)律的限制，可以用簡(jiǎn)單的指數(shù)函數(shù)描述。在分析過(guò)程中應(yīng)把正態(tài)分布、冪律分布、指數(shù)分布結(jié)合起來(lái)。本模型對(duì)于地理、歷史、人口、經(jīng)濟(jì)、政治等學(xué)科的交叉學(xué)科的研究有啟發(fā)作用，可以對(duì)一些老問(wèn)題提出新解釋，或者對(duì)未來(lái)作出預(yù)測(cè)。

例如，蘇聯(lián)解體的原因很多，從本模型的角度來(lái)說(shuō)，蘇聯(lián)從1 個(gè)國(guó)家解體為15 個(gè)，這使得國(guó)家和地區(qū)總數(shù)更接近于255.5。又如，中國(guó)、印度之所以發(fā)展速度很快，從本模型的角度來(lái)說(shuō)，是因?yàn)榉礁? 和方格7 空缺或者GDP 偏低。隨著這兩個(gè)方格的數(shù)值逐步達(dá)到指數(shù)函數(shù)值，GDP 增速也會(huì)放緩。