郝梓淇 金耀

摘要： 為擴展織物組織的設(shè)計思路，提供更多富于變化、風(fēng)格獨特的織物組織，受到瓷磚鋪砌的啟發(fā)，文章運用瓷磚鋪砌的思路提出一種新的鋪砌織物組織設(shè)計方法。該方法運用循環(huán)數(shù)不同的2種基本組織按周期鋪砌規(guī)則生成織物組織。首先采用圖數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)表示瓷磚鋪砌結(jié)構(gòu);然后由小鋪砌塊為根節(jié)點層次遍歷圖結(jié)構(gòu)構(gòu)造一棵生成樹形成鋪砌結(jié)構(gòu)，并根據(jù)組織的四方連續(xù)性要求裁剪鋪砌結(jié)構(gòu);最后按遍歷順序依次將基本組織填充至樹的節(jié)點。運用C++編程語言實現(xiàn)了該方法并進行了多種不同變化形式的仿真設(shè)計實驗。結(jié)果表明：該織物組織設(shè)計方法靈活便捷且變化形式多樣，所生成的織物組織結(jié)構(gòu)多變，且具有周期對稱、錯落有致等傳統(tǒng)組織所不具有的特點。

關(guān)鍵詞： 瓷磚鋪砌;織物組織設(shè)計;基本循環(huán);生成樹;數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

中圖分類號： TS105.11

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

文章編號： 1001-7003（2021）09-0133-06

引用頁碼： 091303

DOI： 10.3969/j.issn.1001-7003.2021.09.020（篇序）

Tilingbased fabric weave design with fundamental weaves of different repeats

HAO Ziqi， JIN Yao

（School of Information Science and Technology， Zhejiang SciTech University， Hangzhou 310018， China）

Abstract： To enrich the design ideas of fabric weaves，and provide more diversified and unique fabric weaves， a new tilingbased fabric weave deign method inspired by floor tilings is proposed. It adopts two fundamental fabric weaves with different repeats to generate new fabric weaves according to periodic tiling rule. The floortiling structure is represented as graph data structure firstly. Then， the tiling structure is built with the help of the spanning tree， which is constructed by the BFS traversal of the graph and is clipped according to the consecutive foursquare principal of fabric weaves. Finally， fundamental weaves are filled into the nodes of the tree in the traversal order. The proposed method is implemented with C++ programming language and several simulation experiments are performed with different parameter controls. The results show that the fabric weave design method is convenient， flexible， and can change variably in design. And the designed fabric weaves are rich in variable structures， and embodies features of periodic symmetry and wellarranged tilings， which are not shared by traditional weaves.

Key words： floor tilings; fabric weave design; fundamental weave; spanning tree; data structure

收稿日期： 20210321;

修回日期： 20210818

基金項目： 國家創(chuàng)新訓(xùn)練項目（202110338021）;國家自然科學(xué)基金項目（61702458）;紹興市技術(shù)創(chuàng)新計劃（揭榜掛帥）項目（2020B41006）

作者簡介： 郝梓淇（2000），男，2018級智能科學(xué)與技術(shù)專業(yè)本科生。通信作者：金耀，副教授，jinyao@zstu.edu.cn。

機織物經(jīng)緯紗線的交織方式與沉浮規(guī)律通常運用織物組織表示[1]。織物組織的變化形式不僅影響織物的結(jié)構(gòu)性能，而且直接影響織物的外觀[2-3]，是研究和開發(fā)新產(chǎn)品的重要手段[4]。因而織物組織設(shè)計一直是紡織品設(shè)計中的一個常規(guī)而重要的研究課題。

為了豐富織物組織的變化形式，同時提高織物組織的設(shè)計效率，研究者利用經(jīng)典的數(shù)學(xué)工具建立了各種組織表達(dá)與設(shè)計模型，并借助計算機技術(shù)實現(xiàn)高效的數(shù)字化設(shè)計，例如幾何模型[5-6]、矩陣模型[7]、圖像模型[8]、代數(shù)群模型[9]、分形模型[10]等。幾何模型通常利用幾何對稱性，例如旋轉(zhuǎn)、平移、反射等對局部組織進行變換重組，設(shè)計具有對稱結(jié)構(gòu)特點的組織。矩陣與圖像模型，則運用矩陣與圖像表示織物組織，對已有的織物組織施加某種變換生成新的組織，這兩類設(shè)計方法的變形形式往往較為單調(diào)。代數(shù)群模型從代數(shù)觀點對織物組織進行建模，使織物組織間能夠像代數(shù)一樣進行靈活運算，但其應(yīng)用研究的討論較少。分形模型則借助分形幾何原理，利用分形的自相似性特點，將單個組織循環(huán)作為幾何單元進行層次嵌套變化，能夠生成復(fù)雜多樣、風(fēng)格特異的織物組織。這種分形織物組織設(shè)計方法隨后得到了迅速發(fā)展，在生成方法、變化形式等方面出現(xiàn)了各種各樣的變種，如基于IFS[11]、各層基礎(chǔ)組織互異[12]、基于同層仿射變換[13]、基于斜紋基本組織設(shè)計方法[14]，以及更為一般的擴展分形模型[15]等。

2020年，金耀等[16]借助鋪砌理論，從構(gòu)造織物組織空間布局的角度提出了基于椅子鋪砌的設(shè)計方法。該方法利用1個鋪砌塊組織作為基礎(chǔ)組織，在預(yù)設(shè)的鋪砌結(jié)構(gòu)下進行變換平鋪，所設(shè)計的織物組織風(fēng)格新穎，既具備分形織物組織的一些特點，又具有結(jié)構(gòu)獨有的局部對稱性。無論是分形組織還是椅子鋪砌織物組織，它們均由1個或多個同組織循環(huán)數(shù)的基礎(chǔ)組織經(jīng)過平移鋪砌而成。本文受到瓷磚鋪砌構(gòu)圖的啟發(fā)，嘗試用2種不同循環(huán)數(shù)的基礎(chǔ)組織，對平面空間進行錯落有致地鋪砌重構(gòu)，變化更為靈活自由，可實現(xiàn)由簡單基礎(chǔ)組織形成復(fù)雜多變、風(fēng)格新穎的鋪砌織物組織。

1瓷磚鋪砌

1.1鋪砌的概念

鋪砌已被人們廣泛運用于圖案設(shè)計[17]及日常生產(chǎn)與生活中，如圖1所示為各種不同鋪砌塊所形成的地磚鋪砌效果[18]，讓人賞心悅目。

如文獻(xiàn)[14-15]所述，通?？蛇\用集合語言描述這種能夠無空隙且不重疊覆蓋平面空間的“鋪砌”，由多個鋪砌塊（基本幾何單元）所構(gòu)成的集合，且滿足如下條件：1） 集合中每個鋪砌塊是一個閉集;2） 所有鋪砌塊的并集鋪滿二維歐式平面;3） 任意2個鋪砌塊內(nèi)部的交集為空。

1.2基于不同單元的瓷磚鋪砌及生成方法

圖1中，瓷磚鋪砌的形式豐富多樣，其中不乏各種基于不規(guī)則幾何形狀的鋪砌形式。本文選定一種特殊的瓷磚鋪砌形式，即圖1右上角由2種不同尺寸的正方形作為鋪砌塊（分別稱為大鋪砌塊與小鋪砌塊，統(tǒng)稱“基本組織”）形成的周期鋪砌結(jié)構(gòu)。該鋪砌與織物組織天然具有的矩形結(jié)構(gòu)相吻合，因此適用于織物組織設(shè)計。本文則著重討論如何利用該鋪砌結(jié)構(gòu)進行織物組織設(shè)計，所設(shè)計的組織稱為“瓷磚鋪砌織物組織”。

這種形式的瓷磚鋪砌可由2個大小方形鋪砌塊（圖2（a））拼合成圖2（b）所示的基本鋪砌單元，將其作為新的鋪砌塊，經(jīng)過平移對稱變換鋪滿整個平面。為了增加組織的空間變化形式，本文以1個小鋪砌塊和4個大鋪砌塊按圖2（c）所示進行拼合，由此所形成的圖形作為基本鋪砌單元。該基本單元具有中心對稱性，在進行組織設(shè)計時，可對4個大鋪砌塊進行幾何變換，易于織物組織的變化設(shè)計。

但是嚴(yán)格來講，圖2（c）所示基本鋪砌單元不構(gòu)成鋪砌塊，即不能無重疊地鋪滿平面空間。為此，本文放寬鋪砌條件，對其進行“局部可重疊”地鋪砌，當(dāng)待鋪砌的基本鋪砌單元與平面上已有鋪砌塊重疊時，則隱藏該基本鋪砌單元的重疊鋪砌塊。為了方便基于該基本鋪砌單元存儲并生成該瓷磚鋪砌結(jié)構(gòu)，本文利用鋪砌單元的中心對稱性，采用“圖”描述鋪砌結(jié)構(gòu)G=〈V，E〉：頂點集V表示大鋪砌塊和小鋪砌塊集合，邊集E表示兩個鋪砌塊的相鄰關(guān)系，即若兩者相鄰則存在邊e∈E（圖3（a））。該瓷磚鋪砌結(jié)構(gòu)具有規(guī)則的拓?fù)溥B接關(guān)系：1） 每個小鋪砌塊均連接4個大鋪砌塊，每個大鋪砌塊均連接4個小鋪砌塊與4個大鋪砌塊;2） 與每個鋪砌塊連接的其他鋪砌塊均分別位于該鋪砌塊4條邊的上下左右方位;3） 小鋪砌塊之間不直接相連。這種特殊的固定拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)能夠簡化鋪砌結(jié)構(gòu)及鋪砌織物組織的描述。

為了生成這種鋪砌結(jié)構(gòu)，本文利用鋪砌結(jié)構(gòu)所表示的圖的“生成樹”進行構(gòu)造式生成：以位于中心的小鋪砌塊為生成樹的根節(jié)點，按廣度優(yōu)先順序?qū)哟伪闅v圖的節(jié)點。即對于當(dāng)前節(jié)點（鋪砌塊），依次遍歷它的鄰域節(jié)點（鋪砌塊），若該鄰域節(jié)點未曾被訪問則將兩個節(jié)點加上邊（節(jié)點相鄰），否則不加邊（節(jié)點已被訪問），如此循環(huán)直到遍歷預(yù)設(shè)的層次數(shù)停止。圖3（b）所示是層次遍歷2層后得到的生成樹，其遍歷1層與遍歷2層得到的結(jié)果對應(yīng)于圖4（a）（b）左側(cè)的鋪砌結(jié)構(gòu)圖，由于其形狀不呈方形，因此可通過裁剪獲得矩形區(qū)域，作為鋪砌織物組織的框架，如圖4（a）（b）右側(cè)所示。

2基于瓷磚鋪砌的織物組織設(shè)計

2.1瓷磚鋪砌織物組織設(shè)計方法

類似于椅子鋪砌織物組織設(shè)計方法[16]，利用瓷磚鋪砌進行織物組織設(shè)計同樣遵循如下設(shè)計步驟：1） 構(gòu)造鋪砌結(jié)構(gòu);2） 設(shè)計鋪砌塊組織;3） 生成鋪砌織物組織。所不同的是本文提出的基于瓷磚鋪砌的設(shè)計方法需提供2個鋪砌塊組織，并且給出了更多的設(shè)計參數(shù)。

在實際應(yīng)用中，織物組織通常需具備四方連續(xù)性，使組織在平鋪過程中保持自然過渡。本文研究發(fā)現(xiàn)，對瓷磚鋪砌織物組織進行裁剪時，若其組織循環(huán)數(shù)滿足m2+n2的整數(shù)倍時（其中m、n分別是大小基本組織的循環(huán)數(shù)），則該鋪砌織物組織滿足四方連續(xù)性。該性質(zhì)可簡要證明如下：大基本組織有m種緯向交織形式，分別設(shè)為A1，A2，…，Am，而小基本組織有n種緯向交織形式，分別設(shè)為B1，B2，…，Bn;根據(jù)瓷磚鋪砌的鋪砌結(jié)構(gòu)規(guī)律，其第1條緯向交織形式依次由大小基本組織按某種順序排列，如A1B1A2B2，…，Am，其后的緯向交織形式可依次將隊首的兩個字母挪至隊尾生成;如第2條緯向交織形式為A2B2，…，AmA1B1，如此規(guī)律可獲得整個組織所有的緯向交織形式，即最小循環(huán)數(shù)的鋪砌織物組織，如圖5所示的紅色線框;因此，其循環(huán)數(shù)為m2+n2的倍數(shù)。圖5所示基本鋪砌單元中，m=3，n=2，則紅色線框的左側(cè)部分可為一個循環(huán)內(nèi)的一條經(jīng)紗，即其組織循環(huán)數(shù)最少為13。

此外，根據(jù)組織工藝要求，組織經(jīng)循環(huán)數(shù)不能超過內(nèi)經(jīng)紋針數(shù)或是內(nèi)經(jīng)紋針數(shù)的約數(shù)。因此在實際應(yīng)用中，可根據(jù)內(nèi)經(jīng)紋針數(shù)選取符合循環(huán)數(shù)約數(shù)要求的大小基本組織，或者擴大鋪砌織物組織的經(jīng)循環(huán)數(shù)，使經(jīng)循環(huán)數(shù)等于內(nèi)經(jīng)紋針數(shù)。

圖6展示了瓷磚鋪砌織物組織的設(shè)計過程。在該設(shè)計步驟中，前2步由用戶輸入設(shè)計意圖，根據(jù)織物組織的四方連續(xù)約束分別確定織物組織的空間結(jié)構(gòu)與局部鋪砌形式，第3步由計算機程序自動完成。其中，鋪砌結(jié)構(gòu)的構(gòu)造由輸入的2個基本組織的循環(huán)數(shù)及生成樹的深度確定，組織的結(jié)構(gòu)可由確定循環(huán)數(shù)的組織外形（矩形）與鋪砌結(jié)構(gòu)裁剪而成。2個鋪砌塊組織可選用符合組織工藝要求的組織，如常見的平紋組織、斜紋組織、緞紋組織等三原組織或其他復(fù)雜組織。得益于基本組織的循環(huán)數(shù)不同可錯落排列，亦可選擇使生成鋪砌織物組織滿足組織工藝要求，但經(jīng)紗或緯紗沒有交織點的“不合理”的組織。

2.2瓷磚鋪砌織物組織的變化設(shè)計

相比于椅子鋪砌織物組織[16]，本文所提出的瓷磚鋪砌織物組織設(shè)計方法由于采用了2種組織循環(huán)、類型不同的基本組織，進行錯落有致地空間鋪排，其設(shè)計自由度更大，變化形式更為多樣，并主要從基本組織的循環(huán)數(shù)、類型、幾何變換等方面對織物組織進行創(chuàng)新設(shè)計。

1） 基本組織的類型。對于確定鋪砌結(jié)構(gòu)及固定循環(huán)數(shù)的2個基本組織，進行基本組織的類型變化將最大程度地改變鋪砌織物組織的外觀。

2） 基本組織的循環(huán)數(shù)。設(shè)大小基本組織的循環(huán)數(shù)分別是R與r，則兩者滿足關(guān)系：R>r>0。通過調(diào)整大小基本組織循環(huán)數(shù)值R與r，將對整體鋪砌結(jié)構(gòu)帶來變化，從而形成不同的鋪砌織物組織效果。

3） 基本組織的幾何變換。本文所采用的瓷磚鋪砌結(jié)構(gòu)，從局部來看，由4個大基本組織環(huán)繞1個小基本組織（圖2（c）），因此通過對4個大基本組織施加不同的旋轉(zhuǎn)變換，可生成不同的鋪砌織物組織。圖7（a）中，大鋪砌塊內(nèi)的數(shù)字代表旋轉(zhuǎn)，數(shù)字0～3分別表示對大鋪砌塊組織執(zhí)行90°旋轉(zhuǎn)的次數(shù)，即分別為：{R0，R1，R2，R3}。在構(gòu)造生成樹時，僅需將樹的子節(jié)點依次編號即可，使小基本組織的四個鄰接大基本組織的數(shù)字編號互異，如圖7（b）所示。

3仿真實驗與討論

本文運用C++語言實現(xiàn)上述瓷磚鋪砌織物組織設(shè)計方法，并采用QT庫對所生成的織物組織意匠圖進行可視化仿真，進一步討論各種不同變化形式對織物組織設(shè)計效果的影響。

3.1基本組織形式的變化

改變基本組織的形式能夠最大程度地改變鋪砌織物組織的外觀，因而通過設(shè)計不同的鋪砌塊組織可獲得更多的瓷磚鋪砌織物組織。圖8為采用不同的鋪砌塊組織設(shè)計的鋪砌織物組織，其大小基本組織見于各組圖的左下角，對應(yīng)的鋪砌結(jié)構(gòu)同圖6（a）。由圖8可見，不同的鋪砌塊組織所生成的瓷磚鋪砌織物組織外觀效果差異較大，風(fēng)格各不相同。

3.2基本組織循環(huán)數(shù)的變化

鋪砌織物組織由2種不同循環(huán)數(shù)的基本組織生成，可通過調(diào)整基本組織的循環(huán)數(shù)改變組織外觀。對于給定的2個基本組織，在保持大鋪砌塊組織不變，而僅改變小鋪砌塊組織的循環(huán)數(shù)時，所生成的鋪砌織物組織雖然在整體上仍具有一定的相似性，但其局部產(chǎn)生了擾動變化，形成了新的組織，如圖9所示。

3.3基本組織的空間旋轉(zhuǎn)變化

由于本文瓷磚鋪砌的基本鋪砌單元具有中心對稱性，即1個小鋪砌塊被4個大鋪砌塊圍繞。因此，通過對小鋪砌塊或者4個大鋪砌塊進行局部旋轉(zhuǎn)變換也將生成新的組織。但施加旋轉(zhuǎn)變換過后，4個大鋪砌塊中會有a個大鋪砌塊會發(fā)生變化，大基本組織有（a+1）m種緯向交織形式，此時所得到的織物組織將破壞四方連續(xù)性。類似2.1節(jié)的證明可知，當(dāng)循環(huán)數(shù)為（a+1）m2+n2的整數(shù)倍時，該鋪砌織物組織滿足四方連續(xù)性。為此，本文根據(jù)大鋪砌塊發(fā)生旋轉(zhuǎn)變換的數(shù)目a，對施加旋轉(zhuǎn)變換后鋪砌織物組織的循環(huán)數(shù)進行擴增。如圖10所示，保持小鋪砌塊組織不變，而對大鋪砌塊組織采用不同的旋轉(zhuǎn)變換得到了不同的鋪砌織物組織。其中圖10（a）未經(jīng)旋轉(zhuǎn)變換，圖10（b）對所有大基本組織旋轉(zhuǎn)了90°，而圖10（c）則采用了圖7（a）的互異旋轉(zhuǎn)變換。

3.4任意“基本組織”形式

與分形組織及椅子鋪砌織物組織不同，本文的瓷磚鋪砌織物組織對基本組織的限制較松，不嚴(yán)格要求基本組織要符合工藝要求，即經(jīng)紗或緯紗必須交織至少1次。如圖11所示，由一些不符合實際工藝要求的基本組織相互配合進行鋪砌，將生成一些具有特殊效果的織物組織，所形成的鋪砌織物組織呈現(xiàn)各種別樣的小花型，如階梯狀、風(fēng)車狀等花型效果。

4結(jié)論

由計算機仿真實驗表明，本文基于瓷磚鋪砌方法，利用2種不同基本組織生成織物組織的設(shè)計方法是可行的。該方法在織物組織四方連續(xù)性約束下利用圖數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)運用生成樹的構(gòu)造過程生成鋪砌結(jié)構(gòu)，并將2種不同的基本組織在鋪砌結(jié)構(gòu)的相應(yīng)位置進行填充，最終形成鋪砌織物組織。該方法的組織變化形式多樣，所生成的織物組織獨具一格。該方法在椅子鋪砌織物組織的基礎(chǔ)上，進一步探索了鋪砌理論在組織設(shè)計的應(yīng)用，開拓出不同的織物組織設(shè)計空間。未來將挖掘更多的可用于織物組織設(shè)計且風(fēng)格新穎的鋪砌結(jié)構(gòu)，并研究建立設(shè)計鋪砌織物組織的一般理論與方法。

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