吳勝男

[摘 要]要深入理解分?jǐn)?shù)與小數(shù)的互化法則以及無限循環(huán)小數(shù)，就要探明其背后的換算規(guī)律，只有從進(jìn)制上聯(lián)通，才能做到融會(huì)貫通。

[關(guān)鍵詞]小數(shù);分?jǐn)?shù);無限循環(huán)小數(shù);本質(zhì)

[中圖分類號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2021）23-0048-02

隨著課改的持續(xù)推進(jìn)，教師對(duì)教學(xué)有了更深入、更獨(dú)到的體會(huì)?！鞍盐諗?shù)學(xué)本質(zhì)是一切教法始終不變的宗旨”“數(shù)學(xué)內(nèi)容本身蘊(yùn)含著無窮變化的教法”。因此，教師應(yīng)關(guān)注教學(xué)內(nèi)容本身，注重探查數(shù)學(xué)本質(zhì)。

對(duì)于小數(shù)本質(zhì)的探尋，一直是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的熱門話題。以下是筆者整理的教學(xué)心得，以期能夠拋磚引玉。

一、學(xué)習(xí)基礎(chǔ)方面

通用進(jìn)制分?jǐn)?shù)（十進(jìn)制分?jǐn)?shù)）是指“分母是整一十整一百……的分?jǐn)?shù)，也就是分母為10[n]（n為正整數(shù)）的所有分?jǐn)?shù)”，事實(shí)上，但凡分母能夠通分成10[n]（n為正整數(shù)）的特殊分?jǐn)?shù)，也可轉(zhuǎn)化成通用進(jìn)制分?jǐn)?shù)（如[25=410]，[18=1251000]）。因此，在判別通用進(jìn)制分?jǐn)?shù)的時(shí)候，需要多留心。

那么，為什么要定義通用進(jìn)制分?jǐn)?shù)呢？因?yàn)樾W(xué)數(shù)學(xué)一開始提到的數(shù)就是十進(jìn)制數(shù)，這是引入通用進(jìn)制分?jǐn)?shù)的主因。顯然，自然數(shù)與通用進(jìn)制分?jǐn)?shù)都嚴(yán)格遵守十進(jìn)制的進(jìn)位法則，自然數(shù)的學(xué)習(xí)打開了十進(jìn)制的“大門”，也為學(xué)習(xí)通用進(jìn)制分?jǐn)?shù)打下理論基礎(chǔ)，前后一脈相承，并為小數(shù)換算成分?jǐn)?shù)提供了理論支持，即有限小數(shù)化成分?jǐn)?shù)就是直接化成分母是10、100、1000……的分?jǐn)?shù)。而且，可以利用日常生活中的十進(jìn)制長(zhǎng)度單位“米、分米、厘米”，人民幣幣值單位“元、角、分”來揭示小數(shù)的意義。

在數(shù)學(xué)發(fā)展史中，“結(jié)構(gòu)變異”是數(shù)學(xué)技術(shù)得以創(chuàng)新的不竭動(dòng)力，橫式與豎式的演變轉(zhuǎn)換為這種“技術(shù)”積累了大量的經(jīng)驗(yàn)。因此，先在分?jǐn)?shù)中分離出“通用進(jìn)制分?jǐn)?shù)”，并借助“結(jié)構(gòu)變異”技術(shù)，打通不同數(shù)域之間的壁壘，再將分?jǐn)?shù)形式的“通用進(jìn)制分?jǐn)?shù)”轉(zhuǎn)換成非分?jǐn)?shù)形式的“小數(shù)”，也就水到渠成了。

不言而喻，對(duì)于小學(xué)生而言，要徹底理解“通用進(jìn)制分?jǐn)?shù)”與小數(shù)之間的關(guān)系，但是不理解有限小數(shù)（無限小數(shù)）的概念，缺乏分析能力是辦不到的。因此，教材不要求學(xué)生溝通“通用進(jìn)制分?jǐn)?shù)”與小數(shù)之間的對(duì)等關(guān)系，情有可原。

二、變換進(jìn)制方面

小學(xué)生一般會(huì)在同一個(gè)進(jìn)制下研究數(shù)論。但是，在分?jǐn)?shù)與小數(shù)單元，編者似乎忽略了分?jǐn)?shù)與小數(shù)互化是進(jìn)制在起紐帶和橋梁的作用，分?jǐn)?shù)的內(nèi)容只是聚焦于將一個(gè)整體平分，很少將總分?jǐn)?shù)與進(jìn)制聯(lián)系起來。

顯然，在十進(jìn)制下，把“單位1”平分成10份、100份、1000份……取其中任意份數(shù)，都可以用分母是10、100、1000的通用進(jìn)制分?jǐn)?shù)表示，如平均分成1000份，取其中的235份，寫成通用分?jǐn)?shù)就是[2351000]，分子恰好是取的份數(shù)，此時(shí)，小數(shù)的小數(shù)部分也剛好是分子（選取的份數(shù)），如上述分?jǐn)?shù)，分子是235，那么化成小數(shù)（0.235）后的小數(shù)部分就是235。反之，對(duì)任意一個(gè)純小數(shù)（如0.37），也可以直接將小數(shù)部分的數(shù)字原封不動(dòng)地挪作分子（分子為37），而將分母定為比分子（選取的份數(shù)）高一位的首位為1尾數(shù)全部為0的數(shù)作為分母（[37100]）。這樣一來，小數(shù)化成分?jǐn)?shù)就十分便利。

在現(xiàn)行的課本中，十進(jìn)制一統(tǒng)天下，可以通過除法將三進(jìn)制下的分?jǐn)?shù)[13]轉(zhuǎn)化成十進(jìn)制下的小數(shù)0.333333……，即[13]=1÷3=0.3333（[? 333333……1000000……]）。顯然，這樣換算是在兩種進(jìn)制之間切換。

然而，在分?jǐn)?shù)教學(xué)中，把整體“1”平分成3份，其中的一份就構(gòu)成一個(gè)新的計(jì)數(shù)單位“[13]”，這樣的三份加起來，就湊成更高一級(jí)的計(jì)數(shù)單位“1”。這顯然與三進(jìn)制運(yùn)算機(jī)制吻合。這樣就容易理解如何把三進(jìn)制分?jǐn)?shù)改寫成小數(shù)。

因此，在同一進(jìn)制下，小數(shù)就是“去分母化”后的特殊分?jǐn)?shù)，而且所有的分?jǐn)?shù)在相應(yīng)進(jìn)制下都可以寫成小數(shù)部分唯一確定的數(shù)（有限小數(shù)），循環(huán)小數(shù)則是不同進(jìn)制分?jǐn)?shù)互化的產(chǎn)物。

三、除法運(yùn)算方面

教材在小數(shù)除法運(yùn)算之后推出了“循環(huán)小數(shù)”這個(gè)概念，并給“循環(huán)小數(shù)”下了確切的定義：“一個(gè)數(shù)的小數(shù)部分，從某一位起，一個(gè)數(shù)字或者幾個(gè)數(shù)字依次不斷重復(fù)出現(xiàn)，這樣的小數(shù)叫作循環(huán)小數(shù)?！憋@然，例題中的除法算式的商是沒有分母的小數(shù)（400÷75=5.33……），原因有二：一是定義中出現(xiàn)了“這樣的小數(shù)叫作循環(huán)小數(shù)”的語句，明確指出是小數(shù);二是這個(gè)數(shù)形式上與之前由通用進(jìn)制分?jǐn)?shù)改寫而來的去分母化的特異分?jǐn)?shù)如出一轍，都包含有“小數(shù)點(diǎn)”。從直觀上，學(xué)生很容易區(qū)分分?jǐn)?shù)和小數(shù)，但也容易割裂分?jǐn)?shù)和小數(shù)之間的聯(lián)系，使人容易忽略同一進(jìn)制這一本質(zhì)屬性，從而造成學(xué)生只從表面形式上來認(rèn)定與理解何為小數(shù)，而沒有從內(nèi)在構(gòu)成的機(jī)理上來認(rèn)識(shí)小數(shù)。因此，有必要將小數(shù)與分?jǐn)?shù)從進(jìn)制上辯證統(tǒng)一起來，將小數(shù)視為去分母化的特異分?jǐn)?shù)。

小學(xué)數(shù)學(xué)教材第十冊(cè)出現(xiàn)了“分?jǐn)?shù)與除法”相關(guān)內(nèi)容，這樣一來，學(xué)生又會(huì)掌握一項(xiàng)將分?jǐn)?shù)（任意進(jìn)制下的分?jǐn)?shù)）改寫成去分母化的特異分?jǐn)?shù)（十進(jìn)制下的小數(shù)）的技能，即借助除法運(yùn)算，用“分?jǐn)?shù)的分子”除以“分?jǐn)?shù)的分母”來將一個(gè)任意進(jìn)制下的分?jǐn)?shù)（如[18]，八進(jìn)制下的“0.1”）改寫成十進(jìn)制下去分母化后的特異分?jǐn)?shù)（1÷8=0.125，剛好整除），如果恢復(fù)成十進(jìn)制下的帶分母的分?jǐn)?shù)，就是[1251000]，這也是一個(gè)通用進(jìn)制分?jǐn)?shù);如果是[17]（七進(jìn)制下的“0.1”），那么同樣利用除法運(yùn)算可以將其轉(zhuǎn)化成十進(jìn)制下去分母化后的特異分?jǐn)?shù)（1÷7=0.142857142857……，無法整除），如果要將它恢復(fù)成通用進(jìn)制分?jǐn)?shù)，就是[142857……1000000……]。這樣一來學(xué)生就在除法運(yùn)算中不斷感知除法運(yùn)算結(jié)果的有限（小數(shù)）與無限（循環(huán)小數(shù)）。

然而，教材并沒有要求學(xué)生不斷辨析有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)的異同。因此，無論是教師還是學(xué)生，就會(huì)自動(dòng)放棄去研究“小數(shù)”是否都源自“通用進(jìn)制分?jǐn)?shù)”。那么，用除法運(yùn)算將一個(gè)數(shù)變換成十進(jìn)制下去分母化的特異分?jǐn)?shù)（通俗意義上的小數(shù)），究竟蘊(yùn)含著怎樣的算術(shù)機(jī)制？事實(shí)上，我們所說的除法運(yùn)算，都是十進(jìn)制下的除法運(yùn)算。顯然，0.1（1÷10）和0.333……（1÷3）都是十進(jìn)制下除法運(yùn)算的結(jié)果，因此，0.1或0.333……都是十進(jìn)制下的小數(shù)。然而，“[110]”的分?jǐn)?shù)單位正好滿足十進(jìn)制，和整數(shù)計(jì)數(shù)單位的進(jìn)制高度一致，而“[13]”的分?jǐn)?shù)單位卻脫離十進(jìn)制，進(jìn)入三進(jìn)制。因此，除法運(yùn)算的作用相當(dāng)于將三進(jìn)制下的“分?jǐn)?shù)”（如[13]）轉(zhuǎn)化成十進(jìn)制下的“去分母化后的特異分?jǐn)?shù)”（如0.3333……）。

（責(zé)編 羅 艷）