因勢而『為』巧整合 精準(zhǔn)采『點(diǎn)』深思辨
——以《分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識》單元統(tǒng)整為例

文|陳飛 莊旦丹

錯(cuò)例：把2個(gè)相同的面包平均分給3位同學(xué)，每位同學(xué)分到這些面包的（）。

這一類型是學(xué)生熟悉得不能再熟悉，卻又“反復(fù)受傷”的題目，甚至到了畢業(yè)考試，正確率仍不容樂觀。筆者曾對本校五六年級的學(xué)生做過調(diào)查，錯(cuò)誤率分別高達(dá)58.6%和32.9%，在訪談中筆者還發(fā)現(xiàn)兩個(gè)現(xiàn)象：一是找不準(zhǔn)單位“1”。但當(dāng)教師在“這些面包”下面劃出橫線，標(biāo)上單位“1”時(shí)，有超過25%的學(xué)生發(fā)現(xiàn)了自己的問題，并能迅速答對。二是低階思維。回答正確的部分學(xué)生，機(jī)械記憶教師傳授的“秘訣”：有單位名稱的是把數(shù)量分一分，沒有單位名稱的是把單位“1”平均分。那么，怎樣從學(xué)生的認(rèn)知水平和思維特征出發(fā)，合理、有序地設(shè)計(jì)立體式的教學(xué)活動(dòng)，在三年級初識分?jǐn)?shù)時(shí)上好“種子課”呢？筆者嘗試從以下幾個(gè)方面出發(fā)，抓住核心本質(zhì)，探究深度學(xué)習(xí)。

一、為“診”而測，找準(zhǔn)起點(diǎn)

前測目的：了解學(xué)生對于分?jǐn)?shù)含義以及大小比較的認(rèn)知程度和表征能力。

前測對象：三年級全體學(xué)生272名。

前測方式：無提示筆試+后期訪談。

前測題目：

①把1個(gè)蘋果平均分成2份，每份是（）個(gè)。

②如果把每個(gè)圖形看成整體“1”，你能用分?jǐn)?shù)表示涂色部分嗎（圖略）？

從前測中我們可以看出：

1.分?jǐn)?shù)表征，存在欠缺。

第①題中，有超過半數(shù)的學(xué)生寫出了正確答案，其中有個(gè)班能用“個(gè)”符號表征結(jié)果的約占全部人數(shù)的13%，另一個(gè)班中表示“個(gè)”的人數(shù)有所下降，用半個(gè)表示的人較多，說明學(xué)生對整數(shù)以外的數(shù)有一定的了解。從第④題看出，學(xué)生具備了畫圖表征的經(jīng)驗(yàn)，但在“平均分”和“涂出一份”這兩個(gè)點(diǎn)上，學(xué)生錯(cuò)誤率較高，說明學(xué)生對于的圖像表征理解不完整，還存在著一定欠缺。

2.分?jǐn)?shù)含義，理解模糊。

學(xué)生對分?jǐn)?shù)的書寫形式有了初步的感知，有個(gè)班對于總份數(shù)理解尚可，但顛倒了總份數(shù)與所取份數(shù)的位置；另一個(gè)班不僅有同樣的錯(cuò)誤，而且對于總份數(shù)的理解還存在偏差，準(zhǔn)確率不到10%。由此可見，學(xué)生不能準(zhǔn)確把握分?jǐn)?shù)中總份數(shù)與所取份數(shù)這兩個(gè)量與分子、分母之間的聯(lián)系，對于分?jǐn)?shù)所表示的含義是模糊的，在分?jǐn)?shù)本質(zhì)理解上很不到位。

3.分?jǐn)?shù)比較，粗淺模仿。

純數(shù)字化的比大小較為抽象，學(xué)生還沒有這方面的表象。在訪談中發(fā)現(xiàn)，同分母分?jǐn)?shù)大小的比較學(xué)生建立在最初的整數(shù)大小比較的模式上，這種遷移僅僅停留在模仿層面，對同分子異分母分?jǐn)?shù)大小的比較很陌生。

二、為“源”而理，聚合散點(diǎn)

要跨越以上幾點(diǎn)“障礙”，重要的是整體理解教學(xué)內(nèi)容的內(nèi)在關(guān)聯(lián)性，再加以分解，逐步把目標(biāo)具體化。為此，筆者從橫向和縱向兩個(gè)方面出發(fā)，做了深入的解讀分析，以此追根溯源，避免短視行為。

1.橫向梳理，解讀單元教材內(nèi)容。

通過橫向梳理教材內(nèi)容，我們可以發(fā)現(xiàn)，分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識是在學(xué)生掌握整數(shù)加減法、除法的意義等基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的。分?jǐn)?shù)和自然數(shù)一樣，是一種有大小的數(shù)，可以表示具體量的大小，也可以表示兩個(gè)量之間的倍比關(guān)系。從數(shù)的疊加到數(shù)的均分是數(shù)概念的一次擴(kuò)充，它是后續(xù)分?jǐn)?shù)的意義和小數(shù)初步認(rèn)識的基礎(chǔ)。

三年級上冊“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”是學(xué)生第一次接觸分?jǐn)?shù)，單元知識結(jié)構(gòu)為：分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識（認(rèn)識幾分之一，幾分之一比大小，認(rèn)識幾分之幾，同分母分?jǐn)?shù)比大?。环?jǐn)?shù)的簡單計(jì)算（分?jǐn)?shù)加減法，1減幾分之幾）；分?jǐn)?shù)的簡單應(yīng)用（把一些物體看成整體，解決問題，整理和復(fù)習(xí)）。

由于學(xué)生第一次接觸較為抽象的分?jǐn)?shù)，所以教材在內(nèi)容的編排上有以下幾個(gè)特點(diǎn)：（1）教學(xué)內(nèi)容，步子略小。從分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識——分?jǐn)?shù)的簡單計(jì)算——分?jǐn)?shù)的簡單應(yīng)用，在難度上進(jìn)行了分散，用分?jǐn)?shù)的計(jì)算緩沖了“一個(gè)物體”到“一些物體”帶給學(xué)生的認(rèn)知負(fù)擔(dān)。但從另一個(gè)角度而言，這樣的小步子教學(xué)略顯“碎片化”，就分?jǐn)?shù)含義揭示的一般性而言，缺乏整體化的觀察和對比，不利于學(xué)生抽象思維的發(fā)展。（2）大小比較，植入過早。同分子（母）分?jǐn)?shù)的大小比較，緊跟在分?jǐn)?shù)的認(rèn)識之后。多數(shù)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律后，就會直接進(jìn)行應(yīng)用，導(dǎo)致分?jǐn)?shù)大小比較過早形式化，對于分?jǐn)?shù)含義的鞏固不利。（3）畫圖表征，比重不足。在學(xué)習(xí)解決問題之前，教材基本以直接給出直觀圖為主，學(xué)生的畫圖能力沒有得到足夠的重視，這也使學(xué)生在后面的學(xué)習(xí)中出現(xiàn)不會表征或表征單一，以及題意和圖示不相對應(yīng)等現(xiàn)象，對于解決問題造成一定的困難。

2.縱向比較，把握教材前后脈絡(luò)。

“只見樹木不見森林”的教學(xué)，難于從整體上把握教材結(jié)構(gòu)。小學(xué)階段有關(guān)“分?jǐn)?shù)”的教學(xué)內(nèi)容主要分布在哪些年級？每節(jié)課的主線是什么？承載的目標(biāo)是什么？前后又有哪些關(guān)聯(lián)？筆者對教材進(jìn)行了縱向的比較，從比較中可以發(fā)現(xiàn)，三年級上冊的“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”直接影響著五年級下冊“分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)”的教學(xué)；“分?jǐn)?shù)的簡單計(jì)算”為五年級下冊“分?jǐn)?shù)的加法和減法”算理的理解和算法的掌握積累豐富的計(jì)算經(jīng)驗(yàn)；“分?jǐn)?shù)的簡單應(yīng)用”是六年級上冊分?jǐn)?shù)乘除法的雛形。由此可見，三年級中有關(guān)分?jǐn)?shù)的知識點(diǎn)，對后續(xù)的學(xué)習(xí)起著重要的奠基作用。

三、為“效”而整，撬動(dòng)支點(diǎn)

分?jǐn)?shù)概念的建構(gòu)是一個(gè)螺旋上升的過程。三年級學(xué)生認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)是有局限的，認(rèn)知方式是感性的。此時(shí)學(xué)生只要結(jié)合具體情境進(jìn)行平均分和分?jǐn)?shù)之間的自如轉(zhuǎn)化，并感受到分?jǐn)?shù)是一個(gè)由三個(gè)部分組成的整體來表示“平均分不到1的結(jié)果的大小”，目標(biāo)即達(dá)成。因此，學(xué)生只有撬動(dòng)“行為”和“符號”之間的一一對應(yīng)關(guān)系這一支點(diǎn)，才能從直觀經(jīng)驗(yàn)建構(gòu)概念深入到充分關(guān)注分?jǐn)?shù)的本質(zhì)內(nèi)涵。

1.聚焦目標(biāo)，讓整合教學(xué)更有“理”。

綜合前測解讀和教材分析，筆者認(rèn)為在教學(xué)中應(yīng)該做到以下三點(diǎn)：（1）增加有關(guān)分?jǐn)?shù)“量”的學(xué)習(xí)，并加強(qiáng)在“量”的聯(lián)系對比中過渡到“率”，理解分?jǐn)?shù)的含義。（2）通過豐富的操作活動(dòng)，從面積模型、數(shù)線模型過渡到數(shù)量的關(guān)系，進(jìn)一步感知分?jǐn)?shù)的本質(zhì)特征。（3）引導(dǎo)學(xué)生在可視化的表征中理解掌握解決分?jǐn)?shù)問題的多樣化策略。為此，筆者對本單元的內(nèi)容做了以下的重組和調(diào)整——認(rèn)識幾分之一和幾分之幾；練習(xí)課；把一些物體看成一個(gè)群體；解決問題；練習(xí)課；分?jǐn)?shù)比大?。环?jǐn)?shù)的計(jì)算；練習(xí)課；整理和復(fù)習(xí)。

2.分層推進(jìn)，讓知識銜接更有“利”。

立足“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”中分?jǐn)?shù)的含義、應(yīng)用與計(jì)算三個(gè)知識內(nèi)容，將本單元學(xué)習(xí)課時(shí)進(jìn)行重組、調(diào)整。（1）把“認(rèn)識幾分之一”和“認(rèn)識幾分之幾”4個(gè)例題合并成1課時(shí)，讓學(xué)生從整體的角度更好地感知分?jǐn)?shù)的含義，明確總份數(shù)、所取份數(shù)和分子、分母的一一對應(yīng)關(guān)系。（2）將“把一些物體看成一個(gè)群體”、“解決問題”2個(gè)例題進(jìn)行前置，在原有教學(xué)目標(biāo)的基礎(chǔ)上，整合“分?jǐn)?shù)的簡單運(yùn)用”中“以多當(dāng)一”的內(nèi)容，讓學(xué)生在理解“幾分之一”的基礎(chǔ)上，從單個(gè)數(shù)量的幾分之一走向多個(gè)數(shù)量的幾分之一模型建構(gòu)，并趁熱打鐵用多種表征解決分?jǐn)?shù)的相關(guān)問題。（3）將“分?jǐn)?shù)比大小”和“分?jǐn)?shù)計(jì)算”2課時(shí)延至第三階段，引導(dǎo)學(xué)生從“一個(gè)物體”和“一些物體”兩個(gè)維度出發(fā)去思考、去表征，讓分?jǐn)?shù)的大小比較在具象和抽象之間來回溝通，更加豐富、更加立體，從而進(jìn)一步鞏固分?jǐn)?shù)的含義，明確行為和符號的對應(yīng)關(guān)系。另外，每一大塊知識點(diǎn)之后都設(shè)置了相應(yīng)的練習(xí)課，對整合的內(nèi)容進(jìn)行及時(shí)鞏固和拓展。

3.多元表征，讓探究生長更有“力”。

筆者從概念表征的視角出發(fā)，對本單元主要新授課的思路進(jìn)行架構(gòu)。通過“原型再現(xiàn)”、“表征內(nèi)化”、“完善結(jié)構(gòu)”三個(gè)主要步驟，完整表征間的轉(zhuǎn)化和互譯，順應(yīng)兒童學(xué)習(xí)心理的發(fā)展，引導(dǎo)學(xué)生逐步認(rèn)識分?jǐn)?shù)，讓學(xué)習(xí)充滿生長的力量。

（1）尋分?jǐn)?shù)產(chǎn)生之源，循序漸進(jìn)。

以“分紙”切入，架構(gòu)除法和分?jǐn)?shù)之間的聯(lián)系；用“量”呈現(xiàn)，感受分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的必要性；以“量”導(dǎo)“率”，畫物體或圖形的個(gè)——折幾分之一個(gè)——涂幾分之幾個(gè)——提煉分?jǐn)?shù)含義——構(gòu)建分?jǐn)?shù)模型，感受計(jì)數(shù)單位的累計(jì)。

（2）探分?jǐn)?shù)結(jié)構(gòu)之本，抽象建模。

“以一當(dāng)一”延伸至“以多當(dāng)一”，引發(fā)認(rèn)知沖突，溝通聯(lián)系區(qū)別；借助圖形，呈現(xiàn)“整體”的不同類型，構(gòu)建分?jǐn)?shù)模型，探究分?jǐn)?shù)結(jié)構(gòu)的本質(zhì)；任務(wù)驅(qū)動(dòng)，利用《學(xué)習(xí)單》表示一些物體的幾分之一和幾分之幾，摒棄一問一答式的教學(xué)方式；交流探究，在對比中體會變與不變。

（3）融分?jǐn)?shù)理法之美，策略共生。

如何讓圖示會“說話”，最重要的是“會悟”。教材中的分?jǐn)?shù)比較是直接給出直觀圖，降低了難度。整合后的教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生從“一個(gè)物體”和“一些物體”兩個(gè)層面出發(fā)進(jìn)行思考，探究過程中需要悟出三個(gè)層次：一是統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)。在同分母分?jǐn)?shù)比較大小時(shí)，學(xué)生出現(xiàn)了分子大的分?jǐn)?shù)反而小的情況，通過觀察，學(xué)生發(fā)現(xiàn)錯(cuò)例中所取的標(biāo)準(zhǔn)不一，的正方形圖大，的正方形圖反而小。通過對比，學(xué)生明白必須統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，即同一個(gè)物體或同樣多的一些物體，否則就不公平。二是確定數(shù)量。在幾分之一的大小比較（和）時(shí)，選擇“一些物體”表征有一定難度，學(xué)生發(fā)現(xiàn)統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)（數(shù)量為5個(gè)）后，無法表示。通過討論發(fā)現(xiàn)，只統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)還不夠，數(shù)量的確定還大有講究，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生需要找兩個(gè)分母的公倍數(shù)（分母相乘）。三是等值“替身”。拓展部分給出分子和分母都不同的兩個(gè)分?jǐn)?shù)，引導(dǎo)學(xué)生明白除了畫圖，還可以尋找“替身”即等值分?jǐn)?shù)比較更為簡單，實(shí)現(xiàn)策略的多樣化和優(yōu)化。在三個(gè)“悟”中，進(jìn)一步鞏固分?jǐn)?shù)的含義，也讓學(xué)生感悟到分?jǐn)?shù)的大小比較就是在比相同計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)。

4.題盡其用，讓知識聯(lián)結(jié)更有“底”。

單元重組并不一定是單元內(nèi)所有知識的一個(gè)整合，也可以是單元內(nèi)習(xí)題的整合、內(nèi)容的補(bǔ)充、知識的拓展等，關(guān)鍵是要具備單元整合的意識。

（1）以小見大，提升高度。

“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”第1課時(shí)跟進(jìn)練習(xí)：你能表示出下面這條線段的幾分之一或幾分之幾嗎？

（線段長10厘米，事先不告訴學(xué)生長度）

在揭示分?jǐn)?shù)的各部分名稱、初步認(rèn)識分?jǐn)?shù)的含義后，學(xué)生已經(jīng)對“平均分”深有感觸。所以碰到這道題時(shí)，學(xué)生會先進(jìn)行測量，然后根據(jù)經(jīng)驗(yàn)平均分成若干份（2、5、10份），并選取其中的1份和幾份用分?jǐn)?shù)表示。教師給予肯定并及時(shí)追問：為什么同樣一根線段，大家所表示的分?jǐn)?shù)卻不一樣呢？討論后引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，在0-1之間有無數(shù)個(gè)分?jǐn)?shù)，并用數(shù)線的形式進(jìn)行展示，讓學(xué)生感悟分?jǐn)?shù)就是把“1”進(jìn)行不斷均分產(chǎn)生的。

（2）動(dòng)態(tài)分步，拓寬廣度。

“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”第2課時(shí)跟進(jìn)練習(xí)：①出示圖（a），估一估灰色小正方形是整個(gè)大正方形的幾分之幾？你有什么方法驗(yàn)證？②出示圖（b），你能用分?jǐn)?shù)表示陰影部分嗎？③出示圖（c），現(xiàn)在你還能想到哪些分?jǐn)?shù)呢？

在本題中，題①結(jié)合估算培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念，并鼓勵(lì)學(xué)生用折一折、量一量、分一分等方法進(jìn)行驗(yàn)證，感受策略的多樣化；題②的陰影部分是離散的，讓學(xué)生感受分?jǐn)?shù)單位的累計(jì)產(chǎn)生新的分?jǐn)?shù)；題③的陰影部分通過移動(dòng)，讓學(xué)生感知可以從不同角度進(jìn)行觀察，滲透了分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。通過動(dòng)態(tài)分步呈現(xiàn)習(xí)題，把看似比較簡單的內(nèi)容進(jìn)行合理拓展，使學(xué)生的思維逐漸變得深刻、靈活。

（3）內(nèi)容延伸，挖掘深度。

“分?jǐn)?shù)的大小比較”跟進(jìn)練習(xí)：

先出示題①，引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突，質(zhì)疑為什么同樣的兩個(gè)分?jǐn)?shù)，大小會不一樣呢？引導(dǎo)學(xué)生畫圖驗(yàn)證。隨后馬上跟進(jìn)題②，從部分推理整體，考查學(xué)生的逆向思考能力。通過題組對比練習(xí)拓展延伸，讓學(xué)生明白當(dāng)單位“1”的量不同時(shí)，得到的分?jǐn)?shù)可能相同也可能不同，為以后分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)埋下伏筆。

單元重組教學(xué)不是教學(xué)內(nèi)容簡單的合并、增加與調(diào)換，教師“心中需有一盤顧全大局的棋”才能高瞻遠(yuǎn)矚；學(xué)生“腦中需有一張思維導(dǎo)航的圖”才能觸類旁通。只有抓住核心、觸及本質(zhì)的統(tǒng)整，才能讓深度學(xué)習(xí)真正發(fā)生。