四元數(shù)張量方程A*NX=B 超對(duì)稱(chēng)極小范數(shù)最小二乘解2

蔣 華，袁仕芳

（五邑大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣東，江門(mén) 529020）

0 引言

本文記RI1×···IN×J1×···×JN為I1×· · ·IN×J1×· · ·×JM實(shí)張量集合，CI1×···IN×J1×···×JN為I1×· · ·IN×J1×· · ·×JM復(fù)張量集合，QI1×···IN×J1×···×JN為I1×· · ·IN×J1×· · ·×JM四元數(shù)張量集合，SSRI1×…×IN為I1×… ×IN實(shí)超對(duì)稱(chēng)張量集合，SSQI1×…×IN為I1×… ×IN四元數(shù)超對(duì)稱(chēng)張量集合；對(duì)于A∈CI1×…×IN×J1×…×JN，Re(A) ，Im(A) 和A+分別表示張量A的實(shí)部、虛部和廣義逆。

四元數(shù)是William Rowan Hamilton于1843年首次提出的。任意四元數(shù)q可以用實(shí)數(shù)q0,q1,q2,q3唯一表示為

張量A和B的Einstein 積*N定義為

1 幾個(gè)引理和定義

A和B的行塊張量定義為

2 Hilbert 內(nèi)積空間中的一類(lèi)線性最小二乘問(wèn)題

定理2 如果問(wèn)題II 中的張量方程(15)是不相容的，則問(wèn)題III 的解集與方程(16)的解集相同。

3 一種張量與向量乘積

4A *N X = B 在 X∈SS下的結(jié)構(gòu)

所以

5 問(wèn)題I 的解

現(xiàn)在求解問(wèn)題I。利用定理3，可以將四元數(shù)張量方程A*NX=B的最小二乘問(wèn)題轉(zhuǎn)化為實(shí)張量方程的最小二乘問(wèn)題，并用Moore-Penrose廣義逆求解。

對(duì)于四元數(shù)張量

證明 根據(jù)定理2 和定理3，問(wèn)題I 等價(jià)于下面相容的矩陣方程

6 數(shù)值算法和數(shù)值例子

本節(jié)利用MATLAB 軟件給出求解問(wèn)題I 的數(shù)值算法和數(shù)值例子。

算法 1

其中

其中