沈麗莉
【摘要】通過對近兩年高中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試試卷的研究發(fā)現(xiàn),其習(xí)題類型與高考題型基本相同,難度較高于會考,但低于高考,很多試題都涉及不等式知識,在錯題研究中也發(fā)現(xiàn)出現(xiàn)錯誤集中在基本不等式內(nèi)容方面。因此,掌握好基本不等式的解題方法具有重要的作用。
【關(guān)鍵詞】學(xué)考;高中數(shù)學(xué);基本不等式
一、引言
通過對近幾年的學(xué)考分析發(fā)現(xiàn),考試題型和難度相差不多,但依據(jù)學(xué)考考試準則,處于全省后百分之五的學(xué)生是不允許通過的。這對于參加高考但基礎(chǔ)較差的學(xué)生來說是一個十分巨大的挑戰(zhàn)。在學(xué)考分析中發(fā)現(xiàn),學(xué)生學(xué)考丟分主要集中在不等式這一塊,尤其體現(xiàn)在基本不等式方面。因此,掌握基本不等式的解題思路具有十分重要的意義。
二、不等式考查的重要性
不等式在高中數(shù)學(xué)中占據(jù)重要地位,基于其知識內(nèi)容特性,高中數(shù)學(xué)學(xué)考的考查形式相對豐富,與當(dāng)下學(xué)考全面考查學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)情況的形勢相契合。其綜合性較強的特征,使得學(xué)生在實際解答問題的過程中需要調(diào)動各項基礎(chǔ)知識,將數(shù)學(xué)思維轉(zhuǎn)化為具體的解題過程。在時代與教育發(fā)展驅(qū)動下,高中數(shù)學(xué)學(xué)考發(fā)生了一定變化,即以邏輯思維、推理判斷、數(shù)學(xué)運算等基礎(chǔ)數(shù)學(xué)能力為首要考查內(nèi)容。不等式題目不局限于特定的證明推理或證明演繹形式,與現(xiàn)代數(shù)學(xué)高考發(fā)展趨勢相呼應(yīng)。
基于上述變化的高中數(shù)學(xué)學(xué)考不等式考查內(nèi)容,不僅可為各高校提供比較全面的招生參考標準,而且便于學(xué)生借助學(xué)考內(nèi)容梳理不等式學(xué)習(xí)情況,及時調(diào)整復(fù)習(xí)規(guī)劃,填補相應(yīng)漏洞。因此,學(xué)考中的不等式考查內(nèi)容除學(xué)考自身功能外,還兼具促進學(xué)生合理開展數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的功能。
三、學(xué)習(xí)目標應(yīng)明確
高中基本不等式主要知識較少,但相關(guān)題型較多。在解答問題中,學(xué)生需要掌握基本不等式的知識,能進行相應(yīng)的轉(zhuǎn)化與推導(dǎo),且理解幾何意義。同時,學(xué)生要具有縝密的邏輯思維,能注重基本不等式的取值范圍與取等號條件等細節(jié)知識。由于不等式題目一般綜合性較強,調(diào)用單一散落的不等式知識點不僅不利于學(xué)生提升考場解題效率,而且使其在相對混亂的思維模式下難以及時尋求不等式證明的最優(yōu)解,導(dǎo)致錯誤率居高不下。因此,基于學(xué)科考查內(nèi)容,學(xué)生需要以數(shù)學(xué)思維為框架,以各類不等式專項問題為節(jié)點,針對不等式知識內(nèi)容建立完整的數(shù)學(xué)知識體系。教師在指導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)這一知識時,應(yīng)運用數(shù)形結(jié)合和情境教學(xué)等方式,從不同角度論述基本不等式以及它成立的條件[1]。
四、考試標準要求
理解與這兩個公式的形成過程;具有將兩個正變量的和或者積轉(zhuǎn)化為基本不等式求最值問題的能力;具有靈活運用和變化基本不等式的能力。
五、條件及應(yīng)用
(一)成立條件
第一,,必須是正變量;第二,當(dāng)?shù)忍柍闪r,。
(二)最值問題記清條件與目標
確保,為正變量。第一,如果,之積為常數(shù),則當(dāng),相等時,兩者之和的最小值為;第二,如果,之和為常數(shù),則當(dāng),相等時,兩者之積的最大值為。
(三)巧用“拆”“拼”“湊”等方法求解最值
在基本不等式問題中,有時候變量取值范圍難以滿足基本不等式“一正二定三相等”的使用條件,這時可以運用“拆”“拼”“湊”等方法轉(zhuǎn)化不等式,從而滿足使用條件[2]。
六、高中數(shù)學(xué)學(xué)考不等式常見思路
高中數(shù)學(xué)學(xué)考不等式常見思路包括分析法、比較法、放縮法和綜合法四種方法。學(xué)考題目考查形式以重基礎(chǔ)、偏廣度為主,在不斷變化的高中數(shù)學(xué)學(xué)考命題形勢下,上述解題思路仍是主要考查內(nèi)容。
七、常見問題
在高中數(shù)學(xué)學(xué)考中,不等式的考查內(nèi)容難度并不大,主要可以分為三種類型,分別為恒成立、證明和求最值。在這三種類型中,主要運用與這兩個公式,考查內(nèi)容集中在它的注意條件“一正二定三相等”。在試題研究中發(fā)現(xiàn),不等式問題的錯誤原因有很多,比如過度將精力集中于解題過程,忽略等式成立的條件等,所以在解答不等式問題時要十分細心[3]。
(一)恒成立問題
例1:對于任意的,,都有恒成立,求不等式中正實數(shù)的最小值.
分析:從“恒成立”三個字可以發(fā)現(xiàn)這是一個恒成立問題,但是這道題主要是運用基本不等式求最值,解答這種問題的最好方式是展開。這是學(xué)考中不等式的基礎(chǔ)考查形式,側(cè)重考查學(xué)生對不等式基礎(chǔ)知識的掌握情況。
解:
由基本不等式得:
解得,所以的最小值為4.
例2:對于任意的,,有不等式恒成立,求其中實數(shù)的最小值.
分析:這種帶有參數(shù)的不等式恒成立問題,可以采用較為簡單的分離參數(shù)方法,求證其中的最小值,考查學(xué)生移項處理不等式的數(shù)學(xué)能力,屬于學(xué)考中的進階不等式恒成立問題考查形式,同樣考查學(xué)生對不等式證明基礎(chǔ)變形的掌握程度。
解:
通過移項變化可得:
根據(jù)基本不等式,可知:
所以的最小值為-4.
(二)證明問題
例3:對于任意的,,證明以下正確:(1);(2).
分析:針對這兩個問題,運用基本不等式進行求解就可以,但是需要注意運用條件為,,且兩邊相等時,。
解:(1)因為對于任意的,,所以.
(2)因為,,所以.
習(xí)題補充:當(dāng),當(dāng)取什么值時,可以取到最小值并且這個最小值為多少?
解:由基本不等式可知,當(dāng)時,可以取到最小值,所以時取到最小值4.
習(xí)題反思:這一習(xí)題充分體現(xiàn)了基本不等式的運用,并詮釋了其使用條件“一正二定三相等”中每一項的意思。
例4:如果,,且,求證.
分析:這一題主要考查基本不等式,當(dāng),時,,同時注意其中的使用條件。這一題還包含一個重要考點,就是1的替換,即運用這一性質(zhì),替換中的系數(shù)1。
解:,當(dāng)時,可以取得等號,經(jīng)計算可知,當(dāng),時,等號成立.
(三)求最值問題
例5:已知,求的最小值.
解:,
因為,所以.
例6:已知,若,求的最小值.
解:因為,所以.
運用不等式公式需要求證范圍,因為,所以,所以且,即.
所以當(dāng),即時,等號成立,取得最小值為9.
無論何種考查形式,“一正二定三相等”的題目條件分析,以及“積定和最小”“和定積最大”的有效分析,都是學(xué)考中不等式題目的解題重點;同時,最值問題、證明問題也是不等式問題的重要考查內(nèi)容。缺乏基本解題思路是導(dǎo)致學(xué)生在高中數(shù)學(xué)學(xué)考中不等式解題錯誤的主要因素。學(xué)考命題設(shè)計呈現(xiàn)的不等式考查內(nèi)容以正確應(yīng)用思考模式與規(guī)范解題步驟為主,凸顯了學(xué)考為高考服務(wù)的功能,為學(xué)生應(yīng)對不斷變化的高考中的不等式內(nèi)容給予了一定的學(xué)習(xí)方向指導(dǎo),為學(xué)生開展數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。
上述不等式問題是當(dāng)下高中數(shù)學(xué)學(xué)考中常見的不等式問題。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)變化影響下,學(xué)考中的不等式考查類型與形式并不局限于上述。并且基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)工作,高中數(shù)學(xué)學(xué)考中的不等式問題將與其他章節(jié)知識相結(jié)合,以增強考查的全面性與科學(xué)性,在強化學(xué)考功能的同時,便于學(xué)生及時調(diào)整學(xué)習(xí)目標,采用正確的策略進行復(fù)習(xí)。
八、結(jié)語
高中學(xué)考的考試方向和側(cè)重點還處在不斷摸索中。在復(fù)習(xí)階段,應(yīng)以基本內(nèi)容作為主要的復(fù)習(xí)內(nèi)容。不等式的考查依然是圍繞基礎(chǔ)知識展開,因此在復(fù)習(xí)基本不等式時要掌握好基礎(chǔ)題型與解題方法,避免不必要的失分。
【參考文獻】
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林雪.例析高中數(shù)學(xué)基本不等式常見解法[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究,2018(15):136.