基于一維橢圓問題的瀑布型兩層算法研究

黃愛梅

(福建船政交通職業(yè)學(xué)院，福建 福州 350000)

0 引言

在工程與物理領(lǐng)域中，偏微分方程是最為重要的數(shù)學(xué)模型，解決了彈性力學(xué)、時間相關(guān)問題、流體力學(xué)和積分方程等方面的科學(xué)問題[1]。多重網(wǎng)格法是求解偏微分方程數(shù)值解的有效方法之一，具有收斂速度快和計算工作量少等優(yōu)點[2]。然而，多重網(wǎng)格法并不適用于求解橢圓界面問題，無法準(zhǔn)確求解界面差分格式的離散方程，需結(jié)合曲面信息和跳躍條件構(gòu)建插值算子進(jìn)行求解[3,4]。在求解偏微分方程時，通過插值算子處理，擬補(bǔ)了傳統(tǒng)有限差分法求解的矩陣大型、稀疏、病態(tài)等缺陷[5]。此外，許多數(shù)學(xué)家根據(jù)不同的插值和限制算子衍生出多種不同形式的瀑布型多重網(wǎng)格法(CMG)來解決橢圓方程的數(shù)值問題[6,7]。例如，賈學(xué)良等采用次插值作為插值延拓算子構(gòu)建了新的瀑布型多重網(wǎng)格法，在容許誤差精度能準(zhǔn)確求出橢圓界面數(shù)值[8]。考慮到一個好的插值算子能為細(xì)層提供較好的初始值，進(jìn)而可以減少磨光迭代步數(shù)[9]。本文采用牛頓二次插值代替?zhèn)鹘y(tǒng)的線性插值，構(gòu)造了一種新瀑布型多重網(wǎng)格法，并給出數(shù)值算例驗證算法的有效性。

1 橢圓模型問題的傳統(tǒng)解法與新型

1.1橢圓型問題的差分離散

考慮如下一維橢圓型問題

(1)

其中p(x)∈C1[a，b]；r(x)；p(x)≥pmin>0，q(x)≥0。α和β為給定的常數(shù)。

首先將求解區(qū)間[a，b]進(jìn)行剖分，為簡單起見，將區(qū)間[a，b]分成N等份，分點為xi=a+ih(i=0，1，…，N)，h=(b-a)/N，xi稱為網(wǎng)點(或結(jié)點、節(jié)點)，h稱為步長。然后將微分方程(1)在網(wǎng)點xi處離散化。設(shè)xi(i=0，1，…，N-1)是任一內(nèi)結(jié)點。在點xi處，對充分光滑的函數(shù)u，根據(jù)精度為o(h2)的中心拆分公式有[10]

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

將式(3)-(6)代入式(1)式中，即得二階精度的差分方程

(7)

邊值條件對應(yīng)的差分方程為

u0=α，uN=β

(8)

將式(7)和式(8)寫成如下矩陣形式

Au=g

(9)

其中

(10)

其中g(shù)=(g1+α1α，g2，…gN-2，gN-1+cN-1β)T；u=(u1，u2，…，uN-1)T；

可以驗證，當(dāng)h充分小時，關(guān)系式|bi|≥|ai|+|ci|，i=2，…，N-2，|b1|>|c1|，|bN-1|>|aN-1|成立，也即矩陣A具有嚴(yán)格對角占優(yōu)性。實際上后兩式顯然成立，對第一式，注意h充分小及p(x)≥pmin，必有

因此A是非奇異矩陣，差分方程(9)有唯一解。

1.2瀑布型多重網(wǎng)格法

多重網(wǎng)格法也稱為多格子方法，是目前應(yīng)用于大型科學(xué)計算的一類有效的、新穎的計算方法，它在理論上是最優(yōu)階的方法，近年來由于大型計算機(jī)的迅速發(fā)展和功能的日趨完善，從而使得多格子方法作為最優(yōu)階的算法從理論變?yōu)楝F(xiàn)實，使得許多生產(chǎn)實踐中的實際問題，尤其是求解橢圓型方程邊值問題，其優(yōu)點在于不要求粗網(wǎng)格校正和限制算子。

Aiui=Fi，i=1，2，…，H

(11)

(12)

可以看到，網(wǎng)格層從ZH到Z1，只用了插值與迭代，沒有限制，校正及后磨光，程序比較簡單，并且總的工作量只有O(n)。

1.3新瀑布型兩層網(wǎng)格法

瀑布型多重網(wǎng)格法的思想是將粗層上的解逐層插值、磨光，直至最細(xì)網(wǎng)格層為止，為了減少中間網(wǎng)格上的計算量，本文采用步長為4h和h，離散問題(1)，形成粗細(xì)兩層網(wǎng)格，而不需要生成步長為2h的中間網(wǎng)格，然后再將粗網(wǎng)上的解插值到細(xì)層，提出了瀑布型兩層網(wǎng)格法。

采用一種有效的插值算子，給出細(xì)層上一個較好的初始值，進(jìn)而減少磨光迭代步數(shù)，可以加快瀑布型多重網(wǎng)格法的收斂速度。由于通常線性插值效果一般，導(dǎo)致采用線性插值的瀑布型多重網(wǎng)格法的計算精度一般，為了提高計算精度，本文引入牛頓二次插值作為插值算子，構(gòu)造了一種新的瀑布型兩層網(wǎng)格法。

1.3.1牛頓二次插值算子的構(gòu)造方法

在討論牛頓插值公式之前，先介紹與之相關(guān)的差商的概念及其性質(zhì)。

設(shè)已知x0，x1，x2及f(xi)=yi，i=0，1，2，f(x)在xi點的零階差商f[xi]記為

f[xi]=f(xi)

(13)

f(x)在x0，x1兩點的一階差商f[x0，x1]記為

f(x)在x0，x1，x2三點處的二階差商f[x0，x1，x2]記為

利用差商，來構(gòu)造牛頓二次插值公式。

f(x)=f[x]=f(x0)+(x-x0)f[x，x0]

f[x，x0]=f[x0，x1]+(x-x1)f[x，x0，x1]

依次類推，有

f[x，x0，x1]=f[x0，x1，x2]+(x-x2)f[x，x0，x1，x2]

從而有

(14)

將(14)式中后一式代入前一式便有

f(x)=f[x0]+(x-x0)f[x0，x1]+(x-x0)(x-x1)f[x0，x1，x2]

牛頓二次插值公式為

N2(x)=f[x0]+(x-x0)f[x0，x1]+(x-x0)(x-x1)f[x0，x1，x2]，

即

把x0，x1，x2及f(xi)=yi，j=0，1，2代入上式得

(15)

所以，式(15)即為牛頓二次插值公式。

1.3.2新瀑布型兩層網(wǎng)格法

2 數(shù)值實驗

為了驗證本文算法的有效性與準(zhǔn)確性，分別采用如下兩個算例進(jìn)行分析。對以下的兩個算例，均采用中心差分離散，光滑算子為CG迭代，迭代終止條件為‖uk-uk-1‖<10-6，其中k為迭代步，“迭代步”欄中為最細(xì)層的迭代步數(shù)，“能量誤差E”為采用不同的插值算子的瀑布型多重網(wǎng)格法得到的數(shù)值解與問題的真解的能量誤差。

算例1.-u″(x)+u(x)=f，x∈[0,1]，u(0)=u(1)=0。

其中f=(-4x-2)ex-x2+2，真解u=x2(ex-1)

如表1所示，算例1在進(jìn)行迭代步數(shù)6和構(gòu)建8192個粗層點數(shù)與32767個細(xì)層點數(shù)后迭代終止。牛頓二次插值的能量誤差均小于線性插值的能量誤差，且迭代步數(shù)也相對少，節(jié)省了運算的時間。

表1 采用不同的插值算子的瀑布型兩層網(wǎng)格法對算例1的數(shù)值結(jié)果

算例2.-u″(x)+u(x)=f，x∈[0,1]，u(0)=u(1)=0。

其中f=(-2+2x2)sinx-4xcosx-x2+2，真解u=x2(sinx-1)。

從表2可以看出，實驗結(jié)果與算例1類似，對于瀑布型二層網(wǎng)格法，采用牛頓二次插值作為插值算子比線性插值的效果要好一些，甚至能量誤差相差一個數(shù)量級且無限接近問題的真解，充分說明了牛頓二次插值的瀑布型二層算法具有計算精度高，迭代步數(shù)少的優(yōu)點，因此，本文設(shè)計的新瀑布型兩層網(wǎng)格法，進(jìn)一步豐富了求解一維橢圓型問題數(shù)值算法。

表2 采用不同的插值算子的瀑布型兩層網(wǎng)格法對算例2的數(shù)值結(jié)果

3 結(jié)論

對于一維橢圓問題的離散方程組，通過比較牛頓二次插值和線性插值作為插值算子運算過程構(gòu)建了瀑布型二層網(wǎng)格法。在相同的參數(shù)限制條件下，基于牛頓二次插值算子的瀑布型二層網(wǎng)格法具有更低的能量誤差，即算法的精度更高。