朱良麒，丁力平，陳文亮，周志光

（1.南京航空航天大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，江蘇 南京210016；2.江蘇雷利電機(jī)股份有限公司 工程中心，江蘇 常州213011）

1 引言

機(jī)器人工作空間是指機(jī)器人末端坐標(biāo)系的原點(diǎn)在空間中所能到達(dá)的區(qū)域［1］，是衡量機(jī)器人工作能力的重要運(yùn)動學(xué)指標(biāo)之一［2］，而雙機(jī)器人協(xié)作工作空間是指參與協(xié)作的機(jī)器人的工作空間所形成的交集［3］。工作空間與協(xié)作工作空間在機(jī)器人的機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)、安裝布局、路徑規(guī)劃、避碰、機(jī)器視覺和最佳操作位形等研究方面有著非常重要的參考意義，是當(dāng)下機(jī)器人領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)，但同時也是技術(shù)難點(diǎn)。

研究和分析機(jī)器人協(xié)作工作空間是提高機(jī)器人協(xié)作效率和確保其安全生產(chǎn)的關(guān)鍵。目前為止，國內(nèi)外學(xué)者在雙機(jī)器人協(xié)作工作空間問題求解上采用的方法與單個機(jī)器人工作空間求解方法類似，主要有：幾何圖解法、解析法和數(shù)值法［4］。尤其是近年來隨著電子計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，蒙特卡洛數(shù)值方法［5］在機(jī)器人工作空間的求解上得到了廣泛應(yīng)用，并且同時也比較適合分析協(xié)作工作空間，該方法不涉及逆運(yùn)動學(xué)求解，算法相對較簡單，具有較強(qiáng)的通用性。但這種方法生成的工作空間點(diǎn)云集只是對實(shí)際工作空間的一種近似表示，無法為工程實(shí)踐提供較為具體的數(shù)值分析。因此很多學(xué)者將研究目標(biāo)集中在由工作空間點(diǎn)云獲得工作空間曲面的方法尋求上［6～8］，其主要工作一般是對工作空間點(diǎn)云分層，再逐層提取邊界點(diǎn)，并擬合為邊界曲線，最后求出工作空間包絡(luò)曲面。該方法求解過程中邊界點(diǎn)提取以及包絡(luò)線求解較復(fù)雜，且通用性不強(qiáng)，更難對協(xié)作工作空間進(jìn)行求解。

為了使工作空間可視化和數(shù)字化，提高應(yīng)用性，范啟忠等［9］運(yùn)用了a-Shape算法處理單個機(jī)器人工作空間點(diǎn)云，對工作空間進(jìn)行三維重建，并通過調(diào)整a參數(shù)大小得到了較高的重建精度，該方法具有較好通用性?；诖?，這里進(jìn)行更深入的研究，通過一定算法獲取雙機(jī)器人協(xié)作工作空間的點(diǎn)云后，運(yùn)用a-Shape算法分別對機(jī)器人工作空間以及協(xié)作工作空間進(jìn)行重建，更加突顯該算法的優(yōu)越性，對機(jī)器人協(xié)作技術(shù)奠定了基礎(chǔ)。

2 協(xié)作工作空間定義及點(diǎn)云獲取

2.1 雙機(jī)器人協(xié)作工作空間定義

一般情況下，我們將參與協(xié)同作業(yè)的兩個機(jī)器人分別設(shè)置為主、從機(jī)器人，由機(jī)器人運(yùn)動學(xué)關(guān)系可知，其TCP點(diǎn)位置矢量與關(guān)節(jié)位移存在一一對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，可表示為：

式中：q-關(guān)節(jié)變量；p-位置矢量；下標(biāo)m、s-主機(jī)器人與從機(jī)器人，函數(shù)f與g由機(jī)器人正運(yùn)動學(xué)得出。

為了簡化計(jì)算，實(shí)際中一般選取世界坐標(biāo)系Fw與主機(jī)器人基坐標(biāo)系一致。則主機(jī)器人工作空間可表示為：

從機(jī)器人在其基坐標(biāo)系Fbs下的工作空間可表示為：

故雙機(jī)器人協(xié)作工作空間可表示為：

公式（3）～（6）用集合形式定義了機(jī)器人的工作空間與協(xié)作工作空間，其解集應(yīng)是連續(xù)的，但這種表達(dá)形式不直觀，解析過程太復(fù)雜，難以直接運(yùn)用。

2.2 蒙特卡羅法機(jī)器人工作空間點(diǎn)云模型

蒙特卡羅法的思想是通過大量隨機(jī)樣本，對系統(tǒng)的特性進(jìn)行模擬，進(jìn)而得到問題的近似解。對機(jī)器人工作空間建立起隨機(jī)概率模型，將末端TCP點(diǎn)的空間位置看做隨機(jī)數(shù)，當(dāng)隨機(jī)樣本足夠大時，這些隨機(jī)點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域就近似代表了機(jī)器人的工作空間。因此，在關(guān)節(jié)空間內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生大量組關(guān)節(jié)位移q，通過一映射得到末端坐標(biāo)系原點(diǎn)的位置隨機(jī)點(diǎn)，這些點(diǎn)的集合就可以表示為機(jī)器人工作空間的離散模型，具體計(jì)算步驟如下：

（1）在各關(guān)節(jié)變量范圍［qimin，qimax］內(nèi)取隨機(jī)值，得到N組關(guān)節(jié)矢量；（2）進(jìn)行機(jī)器人正運(yùn)動學(xué)方程推導(dǎo)，并將上一步得到的N組關(guān)節(jié)矢量帶入，得到對應(yīng)的N個末端TCP點(diǎn)即隨機(jī)點(diǎn)；（3）利用計(jì)算機(jī)的繪圖功能將所有隨機(jī)點(diǎn)以描點(diǎn)的方式顯示，得到工作空間的點(diǎn)云圖。

2.3 協(xié)作工作空間點(diǎn)云獲取

獲取協(xié)作工作空間的點(diǎn)云圖，最簡單直接的方法是求解主、從機(jī)器人點(diǎn)云集的交集，找出重合的點(diǎn)。但由于點(diǎn)運(yùn)數(shù)據(jù)是離散的，這種方法只能搜索到極少部分的點(diǎn)，忽略了處于協(xié)作工作空間內(nèi)而沒有相互重合的點(diǎn)。如圖1所示，方形點(diǎn)表示主機(jī)器人的隨機(jī)點(diǎn)，圓形點(diǎn)表示從機(jī)器人的隨機(jī)點(diǎn)，可以看到大多數(shù)的點(diǎn)位于“協(xié)作區(qū)”卻不能按照求交集的方法尋到，誤差過大。

圖1 協(xié)作區(qū)域隨機(jī)點(diǎn)分布示意圖Fig.1 Schematic Diagram of Random Point Distribution in the Collaboration Area

為了獲得更多的協(xié)作工作空間點(diǎn)，可以采取計(jì)算點(diǎn)與點(diǎn)距離并加入一定閾值的判斷方法：遍歷主機(jī)器人點(diǎn)云集的每個隨機(jī)點(diǎn)再依次計(jì)算該點(diǎn)與從機(jī)器人點(diǎn)云集的隨機(jī)點(diǎn)的距離，設(shè)置允許的閾值為e，若存在滿足的兩點(diǎn)，則認(rèn)為pm、ps就是協(xié)作工作空間點(diǎn)，待遍歷完成后，就獲得了協(xié)作工作空間的原始點(diǎn)云數(shù)據(jù)。該方法可以提取到大部分位于協(xié)作區(qū)域而沒有相互重合的點(diǎn)。獲得雙機(jī)器人協(xié)作工作空間的離散模型即點(diǎn)云集后，可以通過繪圖方式粗略地看到點(diǎn)云的大體分布情況。

3 α-Shape算法工作空間輪廓提取

3.1 α-Shape算法原理

文獻(xiàn)［9］第一次給出了面向點(diǎn)云數(shù)據(jù)α-Shape的通用概念，并給出了α-Shape族的一種計(jì)算方法α-Shape。算法可以從一堆無序離散點(diǎn)集中提取邊緣，并通過一定的算法獲得重建的圖形，平面點(diǎn)云的α-Shape為一個多邊形，三維空間點(diǎn)云集的α-Shape則是一個多面體。R2空間中，其原理如圖2所示，設(shè)S為一有限無序點(diǎn)集，α為（0，∞）范圍內(nèi)的實(shí)數(shù)，假想一個半徑為α的圓在點(diǎn)集S外滾動，若α足夠大時，這個圓就不會掉進(jìn)點(diǎn)與點(diǎn)之間的空隙，滾落到點(diǎn)集內(nèi)部，其滾動的痕跡便是該點(diǎn)集的邊界線。

圖2 α-Shape算法原理圖Fig.2 Schematic Diagram of α-Shape Algorithm

具體的判別方法可以描述為：點(diǎn)集S由n個點(diǎn)構(gòu)成，n個點(diǎn)組成n*（n-1）條線段，過點(diǎn)集S中任意兩點(diǎn)P1、P2作半徑為α的圓（一般可以得到兩個圓），如果有一個圓內(nèi)部不包含點(diǎn)集S中的其他任何點(diǎn)，就認(rèn)為P1、P2是邊界點(diǎn)，其連線為邊界線段。所以，當(dāng)α值非常小時，則每個點(diǎn)都在邊界上；若α很大（α→∞）時，則形成的邊界線為點(diǎn)集S的凸包［10］。

同理，R3空間中的α-Shape算法則是通過點(diǎn)集S中的三點(diǎn)作半徑為α的球來判別邊界點(diǎn)，并在得到的邊界點(diǎn)處建立三角片面，以三角片面的形式重構(gòu)出曲面。重構(gòu)結(jié)果隨著α取值的不同而變化，α值偏大會保留更多的三角面片，表現(xiàn)為點(diǎn)集的凸包，α值偏小則會出現(xiàn)空洞，α為0時，α-Shape退化為原始的點(diǎn)集［11］。

3.2 基于形體體積值的參數(shù)α確定

α-Shape算法直觀的表達(dá)了點(diǎn)云集的形狀，同時其精細(xì)程度由α控制。因此，為了獲得理想的三維重構(gòu)效果，需要確定出合適的參數(shù)α值。理論上，多自由度關(guān)節(jié)型機(jī)器人的工作空間類似球狀，受各關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動范圍限制和奇異性等因素的影響，空間分布會有所變化，其點(diǎn)云的三維重構(gòu)結(jié)果表現(xiàn)為一定形體的封閉空間。因此，可以考慮將形體的體積計(jì)算值作為參考衡量重構(gòu)效果。這里基于MATLAB volume（）函數(shù)對建立的三維α-Shape形狀體積進(jìn)行求解，計(jì)算大量組不同參數(shù)ai下對應(yīng)的多面體體積值Vi，將結(jié)果以坐標(biāo)（ai，Vi）的形式記錄，得到體積隨參數(shù)變化的趨勢關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)三維α-Shape形狀特點(diǎn)分析并確定參數(shù)a的值。

4 實(shí)例分析與驗(yàn)證

以兩臺ABB公司的IRB140型6軸多用途工業(yè)機(jī)器人為例，對文中方法進(jìn)行驗(yàn)證。該型機(jī)器人的實(shí)物圖如圖3所示，采用DH法［12］建立連桿坐標(biāo)系，結(jié)果如圖4所示，相應(yīng)的連桿參數(shù)如表1所示。機(jī)器人正運(yùn)動方程可以表示為：

圖3 IRB140機(jī)器人實(shí)物Fig.3 The Object of IRB140 Robot

圖4 機(jī)器人連桿坐標(biāo)系Fig.4 Robot Link Coordinate System

考慮末端安裝有法蘭，主從機(jī)器人實(shí)際的TCP點(diǎn)坐標(biāo)系到各自基坐標(biāo)系的總變換為：

表1 IRB140機(jī)器人D-H參數(shù)Tab.1 The D-H Parameters of IRB140 Robot

為便于從機(jī)器人工作空間計(jì)算，設(shè)兩臺機(jī)器人采取典型的地面式-地面式且兩者相對的安裝方式，基坐標(biāo)系原點(diǎn)之間距離為1.2m，則主、從機(jī)器人基坐標(biāo)系間的旋轉(zhuǎn)矩陣和平移矩陣為：

進(jìn)而由公式（5）計(jì)算得到從機(jī)器人的工作空間解集為：

式中：si、ci-sinqi和cosqi，sij、cij-sin（qi+qj）和cos（qi+qj），且qimin￡qi￡qi-max，i=1，2，3。

根據(jù)上述主、從機(jī)器人工作空間解集Wm和Wsw，按照1.2中方法，可以分別得到兩臺機(jī)器人工作空間的點(diǎn)云數(shù)據(jù)。一般情況下，隨機(jī)點(diǎn)數(shù)量越多，機(jī)器人工作空間計(jì)算精度越高，但當(dāng)隨機(jī)點(diǎn)數(shù)多達(dá)一定數(shù)量時，工作空間點(diǎn)云圖像已經(jīng)非常清晰，增大隨機(jī)點(diǎn)數(shù)量的意義不大。這里多次試驗(yàn)后最終確定主、從機(jī)器人各取隨機(jī)點(diǎn)15萬為佳，并將結(jié)果繪制在同一坐標(biāo)系下，得到圖5所示的點(diǎn)云圖，其中藍(lán)色、紅色區(qū)域分別表示主、從機(jī)器人工作空間的點(diǎn)云圖。

圖5 主、從機(jī)器人工作空間點(diǎn)云Fig.5 Point Cloud of Master and Slave Robot Workspace

利用1.3中給出的協(xié)作工作空間點(diǎn)云獲取方法，提取上圖的協(xié)作區(qū)域點(diǎn)云，共尋到69370個點(diǎn)，結(jié)果如圖6所示?；赼-Shape算法對協(xié)作工作空間進(jìn)行三維重建，為確定出合適的a值，這里在區(qū)間（0，150）內(nèi)隨機(jī)選取了1000組數(shù)據(jù)，并計(jì)算出對應(yīng)的多面體體積Vi，將結(jié)果以坐標(biāo)（ai，Vi）的形式記錄，結(jié)果如圖7所示。

圖6 協(xié)作工作空間點(diǎn)云Fig.6 Collaborative Workspace Point Cloud

圖7 體積與參數(shù)a關(guān)系Fig.7 The Relationship between Volume and Parameter a

可以明顯的看到，體積隨著參數(shù)a的變化曲線有著較強(qiáng)的連續(xù)性和規(guī)律性，在a值較小的一段區(qū)間內(nèi)，體積一直為零，這是由于a值過小導(dǎo)致重建的曲面空洞太多，表現(xiàn)為一些離散的三角片，如圖8（a）所示為a=15mm對應(yīng)的重構(gòu)結(jié)果；當(dāng)a超過圖中第一個“轉(zhuǎn)折點(diǎn)”后，體積值發(fā)生明顯變化，隨著參數(shù)的增加上升趨勢加快，這一過程重建效果逐步完善；當(dāng)a超過第二個“轉(zhuǎn)折點(diǎn)”后，曲線明顯變得平緩，體積值基本無變化，表明重建效果已達(dá)最佳，再增加a值已經(jīng)沒有意義，只會保留更多的三角片面。因此，選取本例中第二個轉(zhuǎn)折點(diǎn)對應(yīng)的a值為合適的參數(shù)，此時a=49.6572mm，計(jì)算體積V=0.32493m3，對應(yīng)的重建結(jié)果如圖8（b）所示。為了驗(yàn)證該方法的重建精度，將協(xié)作區(qū)域點(diǎn)云與圖8中a=49.6572mm的重建曲面一同繪制，進(jìn)行對比分析，如圖8（c）所示，可以看到藍(lán)色的點(diǎn)云輪廓邊界點(diǎn)均勻分布在曲面上，表明該方法具有較高的精度。

圖8 協(xié)作工作空間重建效果Fig.8 Reconstruction Results of Collaborative Workspace

由于主、從機(jī)器人型號相同，只對主機(jī)器人的工作空間點(diǎn)云進(jìn)行三維重建，其體積與參數(shù)a的關(guān)系如圖9（a）所示，確定參數(shù)a=44.2570mm，對應(yīng)體積為2.22039m3，采用該參數(shù)的重建結(jié)果如圖9（b）所示。為了便于分析，將主、從機(jī)器人工作空間和協(xié)作工作空間的重建結(jié)果相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，如表2所示。

表2 重建結(jié)果相關(guān)數(shù)據(jù)Tab.2 Ralated Data of the Reconstruction Results

圖9 主機(jī)器人工作空間三維重建Fig.9 3D Reconstruction of the Master Robot Workspace

為了驗(yàn)證volume（）函數(shù)對重建多面體體積計(jì)算的可靠性，這里以球形工作空間的重建結(jié)果體積計(jì)算為例，對計(jì)算精度進(jìn)行驗(yàn)證。隨機(jī)點(diǎn)數(shù)取3萬，計(jì)算結(jié)果如表3所示?？梢钥吹?，幾種不同半徑的球體采用α-Shape三維重建后，應(yīng)用volume（）函數(shù)計(jì)算的體積值誤差均小于1%，說明該方法比較可靠。

表3 體積計(jì)算精度Tab.3 Volumetric Accuracy

工業(yè)中，機(jī)器人協(xié)作完成搬運(yùn)任務(wù)一般對協(xié)作工作空間的要求不高，但完成裝配、焊接、涂膠等任務(wù)或研究避碰問題時，協(xié)作工作空間的相關(guān)數(shù)據(jù)就有著重要的參考意義。例如，采用這里方法可以在協(xié)同作業(yè)的多臺機(jī)器人安裝固定之前，計(jì)算得到工作空間與協(xié)作工作空間的相關(guān)數(shù)據(jù)，進(jìn)而結(jié)合實(shí)際的任務(wù)需求判斷機(jī)器人布局方式是否滿足要求，避免多次安裝所帶來的額外人力及物力，提高生產(chǎn)效率。本例中，根據(jù)工作空間在空間的分布狀況以及協(xié)作區(qū)域相對整個機(jī)器人工作空間的占比，雙機(jī)器人相對布局比較利于機(jī)器人協(xié)作完成一定的裝配任務(wù)。

若只將公式（11）中兩臺機(jī)器人基坐標(biāo)系間平移矩陣第一個元素分別設(shè)置為600mm和1600mm，不改變兩臺機(jī)器人的姿態(tài)和其他條件，采用相同的方法計(jì)算得到協(xié)作工作空間體積分別為1.12236m3和0.05296m3，協(xié)作空間體積占比分別為50.55%和2.39%。容易看出，0.6m的布局下協(xié)作區(qū)域過大，機(jī)器人與工具、工件以及機(jī)器人與機(jī)器人之間容易發(fā)生碰撞；1.6m的布局下，協(xié)作工作空間體積過小，主、從機(jī)器人在該區(qū)域作業(yè)時關(guān)節(jié)易出現(xiàn)奇異值而且TCP點(diǎn)不能以多種姿態(tài)到達(dá)某個點(diǎn)，兩種布局均不滿足要求。

5 結(jié)論

通過機(jī)器人運(yùn)動學(xué)方程結(jié)合蒙特卡羅法得到了主、從機(jī)器人工作空間的點(diǎn)云模型；分析了求交集法提取協(xié)作空間點(diǎn)的缺點(diǎn)，并給出了通過計(jì)算點(diǎn)與點(diǎn)距離并加入一定閾值的判斷方法，有效的提取到了協(xié)作區(qū)域的點(diǎn)云；為了使工作空間可視化和數(shù)字化，提高應(yīng)用性，這里運(yùn)用三維重建相關(guān)理論，采用a-Shape算法分別對機(jī)器人工作空間和協(xié)作工作空間進(jìn)行了重建，以形體的體積計(jì)算值作為參考衡量重構(gòu)效果，給出了基于體積值的參數(shù)a確定方法，并得到了較好的重建效果；最后對重建結(jié)果的相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，表明該方法對規(guī)劃機(jī)器人的布局方式具有較強(qiáng)的參考意義，為工業(yè)中機(jī)器人協(xié)作完成各種任務(wù)提供一定的理論依據(jù)。