王焱萍， 毛維濤， 趙秋玲， 張清悅， 王 霞

(青島科技大學 數(shù)理學院；山東省新型光電材料與技術工程實驗室，山東 青島 266061)

近年來隨著拓撲絕緣體[1-2]概念的提出，拓撲物理學發(fā)展迅速[3-6]，拓撲光子結構也很快引起人們的極大關注。香港科技大學CHAN教授課題組理論研究了在一維拓撲光子結構中產(chǎn)生光學界面態(tài)(interface state)的條件，并指出在同一帶隙內(nèi)，表面阻抗符號相反的兩個半無限大光子結構可通過組合產(chǎn)生界面態(tài)[7]。由于單個結構的反轉(zhuǎn)對稱性，這類界面態(tài)具有拓撲保護特征，對實驗噪聲具有很強的魯棒性[8-9]，此外層狀光子結構通過常規(guī)的電子束蒸鍍等技術易于實現(xiàn)制備[10]，因此對具有反轉(zhuǎn)對稱特征的層狀光子結構的光學特性做進一步的分析研究具有實際的應用意義[11-16]。本研究基于傳輸矩陣方法研究了具有反轉(zhuǎn)對稱特征的層狀光子結構的光譜輪廓曲線和表面阻抗特性，分析了反轉(zhuǎn)對稱光子結構的表面阻抗符號在不同帶隙內(nèi)的變化規(guī)律。

1 一維無限大反轉(zhuǎn)對稱光子結構的反射光譜

1.1 傳輸矩陣法分析光子結構的反射光譜

考慮由兩種材料構成的二元層狀光子結構，如圖1所示，根據(jù)元胞分布不同將結構分為兩種類型，分別定義為PCI結構和PCII結構,藍色方框部分對應PCI結構的一個元胞，由厚度為xda的介質(zhì)A、厚度為db的介質(zhì)B以及厚度為(1-x)da的介質(zhì)A構成；紅色方框部分對應PCII結構的一個元胞，由厚度為xdb的介質(zhì)B、厚度為da的介質(zhì)A以及厚度為(1-x)db的介質(zhì)B構成。x為厚度系數(shù)，取值范圍為0～1。當x=0.5時，兩種結構均為反轉(zhuǎn)對稱層狀結構，其中PCI結構各層介質(zhì)厚度分布為0.5da-db-0.5da-0.5da-db-0.5da……-0.5da-db-0.5da，即反轉(zhuǎn)對稱中心位于介質(zhì)B中；PCII結構的各層介質(zhì)厚度分布為0.5db-da-0.5db-0.5db-da-0.5db……-0.5db-da-0.5db，反轉(zhuǎn)對稱中心位于介質(zhì)A中。當x取其它值時，兩種結構均不具備反轉(zhuǎn)對稱性?？紤]實際應用，在計算中選取SiO2和TiO2兩種常用的氧化物材料分別作為介質(zhì)A和介質(zhì)B，兩種材料在光學波段的折射率[17]分別為nTiO2=2.068+1.25×10-2·λ-2+4.90×10-4·λ-4、nSiO2=1.435+7.49×10-3·λ-2-5.07×10-4·λ-4，式中波長取μm的單位。這兩種氧化物介質(zhì)的折射率對比度較高，且在光學波段范圍內(nèi)的光吸收可以忽略不計。

圖1 由A和B兩種材料構成的PCI和PCII兩種光子結構示意圖Fig.1 Photonic structures of PCI and PCII consisting of A and B materials

傳輸矩陣方法是基于麥克斯韋方程組計算和分析一維光子結構常用的方法，光波垂直通過厚度為dj的第j層介質(zhì)的傳輸規(guī)律可用傳輸矩陣Pj表示為[18]

(1)

(2)

圖1(a)所示的PCI光子結構一個元胞的矩陣TABA可表示為

TABA(x)=P(ka,x·da)·Ma→b·P(kb,db)·

其中，

(3)

同理，圖1(b)所示的PCII光子結構的一個元胞的矩陣TBAB可表示為

TBAB(x)=P(kb,x·db)·Mb→a·P(ka,da)·

其中，

(4)

比較PCI和PCII結構元胞的矩陣元素a1、a2可知，a1、a2與x無關且有a1=a2，此處令a1=a2=a。根據(jù)文獻[19]可知，該矩陣元素a對應的表達式即為光子結構的色散關系表達式，又可以表示為

a=cos(KΛ)=cos(kada)cos(kbdb)-

(5)

其中，K為布洛赫波數(shù)，Λ=da+db為一個元胞的周期。由于該式中不含有結構厚度因子x，所以反轉(zhuǎn)對稱與非對稱光子結構的帶隙位置是相同的。圖2為光子結構能帶圖及反射光譜輪廓曲線。圖2(a)給出了由SiO2和TiO2兩種材料構成的層狀光子結構的帶結構分布，圖中黃色區(qū)域表示的即為帶隙位置,兩種介質(zhì)的厚度分別為da=173 nm，db=428 nm，圖2(b)給出相應范圍的a的取值，在帶隙范圍內(nèi)，有|a|=|cos(KΛ)|>1，K是復數(shù)。

一束光波從空氣垂直入射到PCI光子結構后再透射進入空氣，該光子結構的總傳輸矩陣TPCI可表示為

其中，

(6)

同理，可得PCII光子結構的總傳輸矩陣為

其中，

(7)

根據(jù)公式(6)和(7)可知，A1=A2，為簡化分析，令A1=A2=A。

當單位振幅的光波正入射時，經(jīng)過光子結構的傳輸規(guī)律有

(8)

將光子結構的總傳輸矩陣代入式(8)，可得到PCI和PCII兩個結構的反射系數(shù)分別為

(9)

圖2(c)～(f)給出結構元胞數(shù)目N=30情況下的光子結構的反射光譜，其中(c)和(d)給出兩個反轉(zhuǎn)對稱光子結構的反射光譜，(e)和(f)分別給出x=0.9條件下兩個結構的反射光譜，可以看到每一個結構的反射光譜表現(xiàn)出的帶隙位置均相同。

1.2 無限大光子結構的反射光譜

由圖2可知，元胞數(shù)目有限大的光子結構的反射光譜存在很強的振蕩，元胞數(shù)越多，振蕩峰越多，但這些振蕩峰值的輪廓分布與光子結構的類型有關，對于PCI和PCII兩種類型的結構，在x取不同值時，結構的反射光譜輪廓是不同的。當光子結構的元胞數(shù)目N趨向于無窮大時，振蕩峰無限多，反射光譜就演變?yōu)橛邢薮蠊庾咏Y構的反射光譜的輪廓曲線或包絡曲線。為了進一步分析不同類型光子結構的光譜輪廓分布特征，現(xiàn)在對公式(6)和(7)中的各矩陣元素作進一步分析。

圖2 光子結構能帶圖及反射光譜輪廓曲線Fig.2 Band diagram reflection spectrums and envelops of photonic crystal structures

rPCI(N→∞)=

(10)

rPCII(N→∞)=

(11)

由式(3)、(4)及式(6)、(7)可知，當x=0.5時，有c1=0，c2=0，以及C1=0，C2=0，此時結構為反轉(zhuǎn)對稱光子結構，從而PCI和PCII兩個無限大反轉(zhuǎn)對稱光子結構在通帶內(nèi)的反射系數(shù)可表示為

rPCI(N→∞,x=0.5)=

(12)

rPCII(N→∞,x=0.5)=

(13)

2 反轉(zhuǎn)對稱光子結構的表面阻抗在不同帶隙內(nèi)的分布規(guī)律

2.1 表面阻抗

在研究光子結構的理論中，表面阻抗是一個重要的概念。表面阻抗的定義與結構入射端的電場E0+和磁場H0+有關，其分別為E0+=(1+r)Ei，E0+=(1+r)Ei，其中Ei、Hi為入射光波的電場和磁場。表面阻抗定義為

(14)

(15)

(16)

其中，rR、rI分別為反射系數(shù)的實部和虛部。由式(15)知，表面阻抗的實部大于或等于零。當光子結構為半無限大時，帶隙內(nèi)的反射率R=1，從而帶隙內(nèi)的表面阻抗實部等于零，即在帶隙內(nèi)表面阻抗是一個純虛數(shù)。由(16)式可知表面阻抗的虛部與反射系數(shù)的虛部正相關，根據(jù)式(9)，PCI以及PCII光子結構的反射系數(shù)可進一步表示為

(17)

(18)

由式(17)～(18)可知，PCI和PCII的反射系數(shù)分母的值大于0，因此兩個光子結構的表面阻抗虛部的符號分別與-(B1C1+AD1)和-(B2C2+AD2)有關。

對于反轉(zhuǎn)對稱光子結構有C1和C2為0，可得其反射系數(shù)為

(19)

(20)

因此反轉(zhuǎn)對稱光子結構表面阻抗的虛部符號僅取決于-AD1和-AD2。

2.2 表面阻抗虛部在不同帶隙內(nèi)的分布

為了進一步分析反轉(zhuǎn)對稱層狀光子結構的表面阻抗在不同帶隙內(nèi)的分布規(guī)律，根據(jù)式(6)、(7)，-AD1和-AD2可寫成

(21)

(22)

其中，

(23)

(24)

(25)

在帶隙內(nèi)|a|>1，可知-AD1與-AD2的分母大于0，所以帶隙內(nèi)阻抗虛部的符號由分子pq1和pq2決定。

比較公式(12)～(13)和(24)～(25)可知，對于反轉(zhuǎn)對稱光子結構，q1=0和q2=0的位置即對應光子結構反射光譜輪廓曲線的零點，如圖3所示。每經(jīng)過一個反射光譜輪廓曲線零點，q在帶隙內(nèi)的符號就會發(fā)生改變，所以光子結構在經(jīng)過含有奇數(shù)個反射光譜輪廓曲線零點的通帶時，通帶前后的兩個帶隙內(nèi)q的符號是相反的，而經(jīng)過含有偶數(shù)個反射光譜輪廓曲線零點的通帶時，通帶前后的兩個帶隙內(nèi)q的符號相同。

由前述分析可知，p的符號在相鄰帶隙中是相反的，若某通帶對應的光譜輪廓曲線中含有偶數(shù)個零點時，則該通帶前后的帶隙內(nèi)q的符號相同，從而該通帶前后兩個帶隙內(nèi)的表面阻抗的虛部符號相反；若通帶對應的光譜輪廓曲線中含有奇數(shù)個零點時，則該通帶前后的帶隙內(nèi)q的符號相反，從而該通帶前后兩個帶隙內(nèi)的表面阻抗虛部符號相同。

另外通過計算表明，PCI和PCII兩個光子結構的q1、q2在奇數(shù)帶隙內(nèi)符號相反，在偶數(shù)帶隙內(nèi)相同，比較圖3中的(a)和(b)可見，在第一個和第三個帶隙內(nèi)，q1與q2符號是相反的，而在第二個帶隙內(nèi)兩者的符號相同。又因為兩個結構中p的符號相同，所以反轉(zhuǎn)對稱的PCI和PCII兩個光子結構的表面阻抗虛部在奇數(shù)帶隙內(nèi)異號，而在偶數(shù)帶隙內(nèi)同號，該結論與圖3給出的兩個結構的表面阻抗虛部曲線一致。

圖3 PCI和PCII兩個反轉(zhuǎn)對稱光子結構的表面阻抗虛部在前三個帶隙范圍內(nèi)的分布，結構元胞數(shù)目N=30Fig.3 Imaginary parts of the surface impedances of PCI and PCII structures with inversion symmetry in first three bandgaps, the unit cells number is N=30

3 基于表面阻抗特性分析組合結構產(chǎn)生界面態(tài)的應用

基于兩個反轉(zhuǎn)對稱中心不同的光子結構的表面阻抗虛部在奇數(shù)帶隙內(nèi)符號相反、而在偶數(shù)帶隙內(nèi)符號相同的性質(zhì)，將PCI和PCII兩個光子結構進行組合，進一步分析了在組合結構中產(chǎn)生界面態(tài)的分布特征。圖4給出了組合結構的反射光譜以及兩個光子結構的表面阻抗虛部之和，其中圖4(a)和(b)分別給出的是單個光子結構元胞數(shù)為N=10和N=5的結果。由圖中的曲線可見，組合結構在第一個和第三個帶隙均出現(xiàn)了界面態(tài)，并且在界面態(tài)頻率處，兩個反轉(zhuǎn)對稱光子結構的表面阻抗虛部之和等于零，這說明在界面態(tài)處，兩個反轉(zhuǎn)對稱光子結構的表面阻抗虛部大小相等，符號相反。而在偶數(shù)帶隙中由于兩個光子結構的表面阻抗虛部符號相同，不存在表面阻抗虛部之和等于零的條件，所以在第二個帶隙中沒有出現(xiàn)界面態(tài)。另外，光子結構元胞數(shù)越多，帶隙特征越顯著，出現(xiàn)的界面態(tài)銳度也越好，根據(jù)圖4(b)可知，即使在單個結構元胞數(shù)N=5的條件下，組合結構在第一個和第三個帶隙內(nèi)產(chǎn)生的界面態(tài)也表現(xiàn)出良好的特征，其中心頻率對應的反射率均為零，譜線寬度分別為0.011 6和0.006 1 μm-1(R=0.5對應的界面態(tài)寬度)，而該結構通過電子束蒸鍍技術易于實現(xiàn)制備，因此反轉(zhuǎn)對稱層狀光子結構通過組合產(chǎn)生界面態(tài)，對窄帶濾波器、光纖通信、傳感器等方面具有重要的應用意義。

圖4 反轉(zhuǎn)對稱光子結構PCI和PCII的組合結構在前三個帶隙的反射光譜以及兩個結構的表面阻抗虛部之和Fig.4 The reflection spectrum of the combined structure and the sum of imaginary parts of the surface impedances between PCI and PCII in the first three bandgaps

4 結 語

本研究基于傳輸矩陣法，對具有反轉(zhuǎn)對稱特征的層狀光子結構的光學特性進行了計算研究。構建結構參數(shù)相同、反轉(zhuǎn)對稱中心不同的兩個光子結構PCI和PCII，兩個結構的帶隙位置相同，但帶隙光譜輪廓分布不同，通過推導分析結構元胞數(shù)N趨于無窮大時的反射系數(shù)，計算了結構的反射光譜輪廓曲線；在此基礎上分析了光子結構的表面阻抗虛部在不同帶隙內(nèi)的分布，結果表明表面阻抗虛部的符號在不同帶隙內(nèi)的分布與反射光譜輪廓曲線零點的分布有關，若某通帶中的反射光譜輪廓曲線含有奇數(shù)個零點，則表面阻抗虛部在該通帶后相鄰帶隙內(nèi)的符號與前一個帶隙相同，若某通帶中的反射光譜輪廓曲線含有偶數(shù)個零點，則表面阻抗虛部在該通帶后相鄰帶隙內(nèi)的符號與前一個帶隙相反；另外計算分析表明，PCI和PCII兩個光子結構由于反轉(zhuǎn)對稱中心不同，表面阻抗虛部的符號在奇數(shù)帶隙內(nèi)相反、在偶數(shù)帶隙內(nèi)相同。若將兩個對稱中心不同的光子結構進行組合，其組合結構在所有奇數(shù)帶隙內(nèi)存在界面態(tài)，并且在界面態(tài)頻率處，兩個反轉(zhuǎn)對稱光子結構的阻抗虛部之和等于零。研究結果可以為一維光子結構在產(chǎn)生界面態(tài)等方面的應用提供理論參考。