由一道2021年高考創(chuàng)新題引發(fā)的研究

賀鳳梅 李昌成

(1.新疆伊犁鞏留縣高級(jí)中學(xué) 835400；2.新疆烏魯木齊市第八中學(xué) 830002)

高考的主要功能就是為高校選拔優(yōu)秀生源，為國(guó)家遴選人才，因此國(guó)家考試中心每年都會(huì)命制一些創(chuàng)新題，為甄別最優(yōu)秀的學(xué)生起到把關(guān)作用.今年全國(guó)乙卷的第12題就是一個(gè)典型代表.此類題不曾在過(guò)往的高考中出現(xiàn)，在鋪天蓋地的模擬卷中也未曾謀面，完全原創(chuàng)，絕對(duì)首創(chuàng)，只有能力水平達(dá)到相當(dāng)高度的學(xué)生方可在緊張的考場(chǎng)上成功突圍.下面我們嘗試研究它.

一、題目呈現(xiàn)

A.a

二、總體分析

我們知道，教材中比較大小的題目一般有兩種類型：一類是利用指數(shù)、對(duì)數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)等簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性比較兩個(gè)數(shù)的大??；另一類是通過(guò)橋梁“0”、“1”等比較兩個(gè)數(shù)的大小.而本題以壓軸題的形式出現(xiàn)，函數(shù)關(guān)系不明顯，屬于創(chuàng)新試題.初看此題，不知道如何入手，感覺(jué)是很接近的具體數(shù)，但卻無(wú)法找到合適的中間量來(lái)判斷他它們的大小.如何突破此題呢？我們企圖通過(guò)構(gòu)造非常見(jiàn)函數(shù)來(lái)突破此題.

三、試題解答

1.作差后構(gòu)造函數(shù)

解法1先比較b與c的大小.

接下來(lái)比較a與c的大小.

綜上可得b

因此選B.

評(píng)注利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合單調(diào)性比較大小，常常需要構(gòu)造新函數(shù)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的問(wèn)題. 此法根據(jù)b與c以及a與c之差的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)為突破口，成功構(gòu)造了恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，并借助導(dǎo)數(shù)完成試題的解答.

解法2 先比較b與c的大小.

接下來(lái)比較a與c的大小.

綜上可知b

因此選B.

評(píng)注解法2通過(guò)研究對(duì)應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)行巧妙變形，構(gòu)造函數(shù)，從而達(dá)到比較大小的目的.此法構(gòu)造函數(shù)的技巧性更強(qiáng)，這就需要我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)及學(xué)習(xí)過(guò)程中不斷思考、探索、歸納和總結(jié)，逐步提高解題能力和思維品質(zhì).

2.為了應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義而構(gòu)造函數(shù)

于是f(0)=0，g(0)=0，h(0)=0，f(0.01)=a，g(0.01)=b，h(0.01)=c.

因此選B.

評(píng)注解法3是根據(jù)a,b,c的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，構(gòu)造了三個(gè)函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義成功達(dá)到比較大小的目的.此法思維難度較大，需要數(shù)形結(jié)合，將數(shù)值大小賦予圖形特質(zhì).

3.構(gòu)造泰勒展開(kāi)式，并估算

綜上得b

因此選B.

評(píng)注泰勒公式是大學(xué)數(shù)學(xué)分析中的內(nèi)容，對(duì)高中學(xué)生來(lái)說(shuō)明顯超綱，不過(guò)對(duì)于程度好的學(xué)生，對(duì)應(yīng)班級(jí)的數(shù)學(xué)教師可以適當(dāng)介紹，不需要學(xué)生掌握，以此激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲.

4.構(gòu)造二項(xiàng)式

借助f(x)=lnx的單調(diào)性知a>b，排除選項(xiàng)A與D.

結(jié)合前文比較a與c的大小即可得到答案.

評(píng)注解法5是將a中變形后的真數(shù)1.012=(1+0.01)2由二項(xiàng)展開(kāi)式展開(kāi)，通過(guò)不等式放縮，比較a與b的真數(shù)的大小，進(jìn)而得a與b的大小.因?yàn)榇祟}是選擇題，可以排除部分選項(xiàng)，再有針對(duì)性地比較a與c的大小即可達(dá)成目標(biāo).

四、追根溯源

1.(2021南京師范大學(xué)《數(shù)學(xué)之友》考前指導(dǎo)卷第8題) 已知e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，π是圓周率，則下列不等式中π3<3π，3e

A.0 B. 1 C. 2 D. 3

2.(2017年高考全國(guó)卷Ⅰ理科第11題)設(shè)x,y,z為正數(shù)，且2x=3y=5z，則( ).

A.2x<3y<5zB.5z<2x<3y

C.3y<5z<2xD.3y<2x<5z